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Forum "Uni-Stochastik" - dichtefunktion zeigen
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dichtefunktion zeigen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

Aufgabe
Betrachten sie für [mm] $\alpha [/mm] >0$ die Funktion [mm] $f_{\alpha}:\IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)} 1_{[1,\infty)}(x)$ [/mm]

a) Zeigen sie,dass$ [mm] f_{\alpha}$ [/mm] Dichte eines W'maßes auf $  [mm] \IR [/mm]  $ ist, und bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion$ [mm] F_{\alpha}$ [/mm]

b) sein nun [mm] $\alpha [/mm] > 2 $ und sei $X$ eine reelle Zufallsvariable,deren Verteilung  die Dichte [mm] $f_{\alpha}$ [/mm] besitzt. Bestimmen sie Erwartungswert und Varainz von $ X$ sowie die W'keit $P(X>E(X))$

[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} =\underbrace{\integral_{-\infty}^{1}{f_{\alpha}(x)dx}}_{=0}+\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}=\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)}dx}=\alpha\cdot{}\integral_{1}^{\infty}{x^{-(\alpha+1)}dx} [/mm] = [mm] [-x^{-\alpha}]_{1}^{\infty} [/mm] = 1$

ist eine Dichte eine W'maßes auf [mm] $\IR$ [/mm]


[mm] $F_{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\-x^{-\alpha}, & \mbox{für } 1\leq x < \infty \end{cases}$ [/mm]

ist die Dichte funktion.

b) wollte ich machen wenn a) richtig ist

        
Bezug
dichtefunktion zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo PeterPaul!


> Betrachten sie für [mm]\alpha >0[/mm] die Funktion [mm]f_{\alpha}:\IR \to \IR , x \mapsto \alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)} 1_{[1,\infty)}(x)[/mm]
>  
> a) Zeigen sie,dass[mm] f_{\alpha}[/mm] Dichte eines W'maßes auf [mm]\IR [/mm]
> ist, und bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion[mm] F_{\alpha}[/mm]
>  
> b) sein nun [mm]\alpha > 2[/mm] und sei [mm]X[/mm] eine reelle
> Zufallsvariable,deren Verteilung  die Dichte [mm]f_{\alpha}[/mm]
> besitzt. Bestimmen sie Erwartungswert und Varainz von [mm]X[/mm]
> sowie die W'keit [mm]P(X>E(X))[/mm]
>  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} =\underbrace{\integral_{-\infty}^{1}{f_{\alpha}(x)dx}}_{=0}+\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx}=\integral_{1}^{\infty}{f_{\alpha}(x)dx} = \integral_{1}^{\infty}{\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1)}dx}=\alpha\cdot{}\integral_{1}^{\infty}{x^{-(\alpha+1)}dx} = [-x^{-\alpha}]_{1}^{\infty} = 1[/mm]
>  
> ist eine Dichte eine W'maßes auf [mm]\IR[/mm]

Bei dir steht nun, dass [mm] \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x} [/mm] eine Dichte ist. Stimmt das?

> [mm]F_{\alpha}=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\-x^{-\alpha}, & \mbox{für } 1\leq x < \infty \end{cases}[/mm]
>  
> ist die Dichte funktion.

Die Dichtefunktion?

Konzentration! Wenn [mm] f_{\alpha} [/mm] eine Dichtefunktion ist, dann ist mit

      [mm] F_{\alpha}(t)=\int_{-\infty}^{t}f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x [/mm]

eine Verteilungsfunktion gegeben. Demnach hast du es geschafft
in zwei Wörtern zwei Fehler zu machen. Wenn ihr schon die schicke
Indikatorfunktion benutzt, dann benutze sie doch auch zur Angabe
von [mm] F_{\alpha}. [/mm]

Edit: Die Verteilungsfunktion ist falsch, siehe Gono's Antwort.

> b) wollte ich machen wenn a) richtig ist

Okay.


Gruß
DieAcht

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dichtefunktion zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

jap, das wollte ich sagen ,dass $ \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x} $ eine Dichte ist und das F_{\alpha} die Verteilungsfunktion der Dichte ist.

b)$ E_{\alpha}[X]= \integral_{1}^{\infty}{x*f_{\alpha} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx= [\frac{\alpha x^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-1}$ klappt da aus der Aufg. entnommen wird \alpha>2

$ E_{\alpha}[X^2]= \integral_{1}^{\infty}{x^2*f_{\alpha} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x^2\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx}= [\frac{\alpha x^{2-\alpha}}{2-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-2}$ mit \alpha>2$


$Var_{\alpha}(X) = E_{\alpha}[X^2]-(E_{\alpha}[X])^2 =  \frac{\alpha}{\alpha-2}-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^2$

bei  $ P(X>E[X])$ habe ich keine Ahnung

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht


> ,dass [mm]\integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x}[/mm] eine Dichte ist

Falsch. Richtig: Wegen [mm] \integral_{\IR}{f_{\alpha}(x)\mathrm{d}x}=1 [/mm] ist [mm] f_{\alpha} [/mm] eine Dichtefunktion.

> b)[mm] E_{\alpha}[X]= \integral_{1}^{\infty}{x*f_{\alpha}\red{(x)} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx= [\frac{\alpha x^{1-\alpha}}{1-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-1}[/mm]
> klappt da aus der Aufg. entnommen wird [mm]\alpha>2[/mm]

(Beachte: Korrektur mit roter Farbe!)

> $ [mm]E_{\alpha}[X^2]= \integral_{1}^{\infty}{x^2*f_{\alpha}\red{(x)} dx}= \integral_{1}^{\infty}{x^2\cdot{}\alpha\cdot{}x^{-(\alpha+1) } dx}= [\frac{\alpha x^{2-\alpha}}{2-\alpha}]_{1}^{\infty}= \frac{\alpha}{\alpha-2}$[/mm]
> mit [mm]\alpha>2$[/mm]

(Beachte: Korrektur mit roter Farbe!)

> [mm]Var_{\alpha}(X) = E_{\alpha}[X^2]-(E_{\alpha}[X])^2 = \frac{\alpha}{\alpha-2}-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^2[/mm]

> bei  [mm]P(X>E[X])[/mm] habe ich keine Ahnung

Das kannst du mit Sicherheit äquivalent umschreiben. ;-)

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

wieso vertauscht? $Var(X)= [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] $laut wiki

muss ich wirklich das zusammenfassen? :D


bei letzten wäre es dann doch


$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] $ und jetzt

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht


> wieso vertauscht? [mm]Var(X)= E[X^2]-(E[X])^2 [/mm]laut wiki
>  
> muss ich wirklich das zusammenfassen? :D

Du kannst die rechte Seite zusammenfassen.

> bei letzten wäre es dann doch
>  
>
> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})[/mm]

Richtig.

> und jetzt

Jetzt fehlen dir wieder Basics. Wie ist die Verteilungsfunktion
einer reellen Zufallsvariable definiert?

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

$Var(X)= [mm] \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha^3-5\alpha^2+4\alpha}{(\alpha-1)\cdot{}(\alpha-2)^2} [/mm]  $





$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] $

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht


> [mm]Var(X)= \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha^3-5\alpha^2+4\alpha}{(\alpha-1)\cdot{}(\alpha-2)^2} [/mm]

Ich erhalte

      [mm] \frac{\alpha}{\alpha-1}- (\frac{\alpha}{\alpha-2})^2=\frac{\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}. [/mm]

> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1})[/mm]

Jetzt kannst du noch einsetzen und zusammenfassen, wobei du das
Einsetzen noch begründen könntest.


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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

meinst du so?


$ P(X>E[X])= 1-P(X [mm] \leq [/mm] E[X])= 1-P(X [mm] \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) [/mm] = [mm] 1-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^{-\alpha}= [/mm] 1- [mm] \frac{\alpha\cdot{}(\alpha-1)}{\alpha}= 1-(\alpha-1)= \alpha [/mm] +2 $

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht


> meinst du so?
>
>
> [mm]P(X>E[X])= 1-P(X \leq E[X])= 1-P(X \leq \frac{\alpha}{\alpha-1})= 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1}) = 1-(\frac{\alpha}{\alpha-1})^{-\alpha}= 1- \frac{\alpha\cdot{}(\alpha-1)}{\alpha}= 1-(\alpha-1)= \alpha +2[/mm]

Nein. Es ist

       [mm] 1-F_{\alpha}(\frac{\alpha}{\alpha-1})=1-\left(-\left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)^{-\alpha}\right)=1+\left(\frac{\alpha-1}{\alpha}\right)^{\alpha}. [/mm]


Das war natürlich Quark und das hätte ich merken sollen, denn es
wäre hier [mm] $P(X>E(X))>1\$ [/mm] und somit ein Widerspruch zum W'Maß. Gono
hat den Fehler erkannt.

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

Wenn das einsetzten denn richtig gewesen waere,waere ich jetzt fertig oder?

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Mi 04.02.2015
Autor: DieAcht


> Wenn das einsetzten denn richtig gewesen waere,waere ich
> jetzt fertig oder?

Ja.

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Mi 04.02.2015
Autor: PeterPaul

Ich hab keine ahnung wie ich dasmachen mussdass der positive limes gegen1 geht

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Mi 04.02.2015
Autor: DieAcht

Zunächst: Es tut mir leid, dass ich darauf nicht geachtet habe!

> Ich hab keine ahnung wie ich dasmachen mussdass der positive limes gegen1 geht

Du musst eigentlich nichts machen, weil jede Verteilungsfunktion
diese Eigenschaft besitzt. Gono wollte damit verdeutlichen, dass
es damit keine Verteilungsfunktion sein kann! Eigentlich hast du
nur falsch gerechnet und ich habe es einfach übersehen, sorry!


Vielleicht noch einmal strukturiert, damit es auch klar wird:


Jede Abbildung [mm] f\colon\IR\to[0,\infty) [/mm] mit [mm] \int_{\IR}f(x)\mathrm{d}x=1 [/mm] heißt Dichte.

(Das kann man natürlich noch anders definieren.)


Eine Abbildung [mm] f\colon\IR\to[0,1] [/mm] heißt Verteilungsfunktion, falls gelten:

1) [mm] $F\$ [/mm] ist monoton steigend,
2) [mm] \lim_{t\to\infty}F(t)=1 [/mm] und [mm] \lim_{t\to -\infty}F(t)=0, [/mm]
3) [mm] $F\$ [/mm] ist rechtsseitig stetig.


Nun kann man zeigen: Ist [mm] $f\$ [/mm] eine Dichte, so ist

      [mm] F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t [/mm]

eine Verteilungsfunktion (sogar stetig).






Nun hast du bereits gezeigt, dass

      [mm] f_{\alpha}(x)=\alpha*x^{-(\alpha+1)}1_{[1,\infty)}(x) [/mm]

eine Dichte ist. Demnach ist mit

      [mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t [/mm] für alle(!) [mm] x\in\IR [/mm]

eine Verteilungsfunktion gegeben.

1. Fall: Sei [mm] $x<1\$, [/mm] dann gilt:

      [mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{x}0{d}t=0. [/mm]

2. Fall: Sei [mm] $x\ge [/mm] 1$, dann gilt:

      [mm] F_{\alpha}(x)=\int_{-\infty}^{1}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t+\int_{1}^{x}f_{\alpha}(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{1}0\mathrm{d}t+\int_{1}^{x}\alpha*t^{-(\alpha+1)}\mathrm{d}t=[-t^{-\alpha}]_1^x=-x^{-\alpha}-(-1^{-\alpha})=1-x^{-\alpha}. [/mm]

Demnach ist

      $ [mm] F_{\alpha}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x<1 \\1-x^{-\alpha}, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases} [/mm] $.

(Oder kurz: [mm] F_{\alpha}(x)=(1-x^{-\alpha})1_{[1,\infty)}(x).) [/mm]

(Nun gilt (auch): [mm] $F_{\alpha}(x)\to [/mm] 1$ für [mm] x\to\infty. [/mm] ;-))


Durch den Patzer musst du natürlich noch einmal $P(X>E[X])$ be-
rechnen, aber das sollte kein Problem sein.

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Do 05.02.2015
Autor: PeterPaul

Ich hab da [mm] $(\frac {\alpha -1}{\alpha})^{\alpha}$ [/mm] raus

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Do 05.02.2015
Autor: DieAcht


> Ich hab da [mm](\frac {\alpha -1}{\alpha})^{\alpha}[/mm] raus

Passt. [ok]

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dichtefunktion zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

Hallo :)

Ich habe allgemein auch schwierig keiten beim aufstellen einer Verteilungsfunktion . Koenntest du vielleicht ein Beispiel geben wie man da so allgemein vorgeht,biiiiteee :)

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht

Hier stand nicht viel richtiges!
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dichtefunktion zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

dann hab ich ja doch alles richtig gemacht nur schlecht hingeschrieben,oder?

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dichtefunktion zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Di 03.02.2015
Autor: DieAcht


> dann hab ich ja doch alles richtig gemacht nur schlecht hingeschrieben,oder?

Man kann nicht etwas falsch aufschreiben und alles richtig machen. ;-)

Du hast geschrieben, dass [mm] F_{\alpha} [/mm] die Dichtefunktion ist.

[mm] F_{\alpha} [/mm] ist aber eine(!) Verteilungsfunktion (von [mm] f_{\alpha}). [/mm]

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dichtefunktion zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:51 Di 03.02.2015
Autor: PeterPaul

ahhh oke :) danke das du da ein wenig Begriffsklärung durchgeführt hast!:)

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dichtefunktion zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 08:04 Mi 04.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Acht,

wenn du Fragen beantwortest, korrigiere doch bitte auch Fehler.
Insbesondere da die Verteilungsfunktion falsch ist, haben sich hier Folgefehler eingeschlichen....

Gruß,
Gono

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dichtefunktion zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Mi 04.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Verteilungsfunktion ist falsch.

Bedenke: Für eine Verteilungsfunktion muss gelten: [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] F(x) = 1$, was bei dir offensichtlich nicht gilt.
Du hast was essenzielles vergessen.

Gruß,
Gono

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dichtefunktion zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mi 04.02.2015
Autor: PeterPaul

Wie muss sie verteilungsfunktion denn sein?

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dichtefunktion zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Mi 04.02.2015
Autor: DieAcht


> Wie muss sie verteilungsfunktion denn sein?

Antwort steht hier.

Noch einmal: Vielen Dank für's Aufpassen Gono!

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