diff.bare Umkehrfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y,z) := \vektor{e^z+cos y\\e^z-cos x\\sin x + sin y} [/mm]
Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U von [mm] a:=\vektor{\pi\\\bruch{\pi}{2}\\0} [/mm] gibt, sodass [mm] f|_U [/mm] eine differenzierbare Umkehrfunktion g besitzt und bestimmen Sie [mm] g'(f(a)) [/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe f auf Differenzierbarkeit geprüft, die Funktionalmatrix ist
[mm] f'(x,y,z)=\pmat{0&-sin y&e^z\\sin x&0&e^z\\cos x&cos y&0} [/mm]
Die Determinante davon ist [mm] det f'(x,y,z)=-sin y \cdot sin x \cdot cops y + e^z \cdot sin x \cdot cos y [/mm], sie wird 0 für [mm] sin y = e^z [/mm], also für [mm] y=\pi/2 [/mm] und z=0 und somit genau im dem Punkt [mm]a=\vektor{\pi\\\bruch{\pi}{2}\\0} = 0 [/mm]
Was bedeutet das denn dann ?
Und wie komme ich auf die Umkehrfunktion - in meinem Skript wird hier irgendwas mit [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] gemacht, was ich aber nicht verstehe ?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 25.05.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Susanne,
ich hab bei der Determinante was anderes raus ... dann ist auch a nicht mehr Nullstelle der Determinante.
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Uli,
vielen Dank für den Hinweis !!
Ich habe nochmal nachgerechnet und als Determinante jetzt Folgendes herausbekommen:[mm] det f'(x,y,z)=e^z \cdot (sin(x-y)) [/mm]
Also gibt es eine Umkehrfunktion wenn x ungleich y ist, was im Punkt a der Fall ist.
Ich hoffe, das stimmt jetzt - danke !
Aber mit der Umkehrfunktion und g'(f(a)) komme ich immer noch nicht weiter.
Danke, Susanne.
|
|
|
| |
|
Hallo SusanneK,
> Hallo Uli,
> vielen Dank für den Hinweis !!
> Ich habe nochmal nachgerechnet und als Determinante jetzt
> Folgendes herausbekommen:[mm] det f'(x,y,z)=e^z \cdot (sin(x-y))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also gibt es eine Umkehrfunktion wenn x ungleich y ist, was
> im Punkt a der Fall ist.
Genauer: Es gibt eine Umkehrfunktion, wenn [mm]x-y \not= k*\pi,\ k \in \IZ[/mm]
> Ich hoffe, das stimmt jetzt - danke !
>
> Aber mit der Umkehrfunktion und g'(f(a)) komme ich immer
> noch nicht weiter.
>
> Danke, Susanne.
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
danke für den Hinweis !!
> Genauer: Es gibt eine Umkehrfunktion, wenn [mm]x-y \not= k*\pi,\ k \in \IZ[/mm]
>
LG, Susanne.
|
|
|
| |
|
Hallo SusanneK,
> Sei [mm]f:\IR^3 \to \IR^3[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y,z) := \vektor{e^z+cos y\\e^z-cos x\\sin x + sin y}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U von
> [mm]a:=\vektor{\pi\\\bruch{\pi}{2}\\0}[/mm] gibt, sodass [mm]f|_U[/mm] eine
> differenzierbare Umkehrfunktion g besitzt und bestimmen Sie
> [mm]g'(f(a)) [/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe f auf Differenzierbarkeit geprüft, die
> Funktionalmatrix ist
> [mm]f'(x,y,z)=\pmat{0&-sin y&e^z\\sin x&0&e^z\\cos x&cos y&0}[/mm]
>
> Die Determinante davon ist [mm]det f'(x,y,z)=-sin y \cdot sin x \cdot cops y + e^z \cdot sin x \cdot cos y [/mm],
> sie wird 0 für [mm]sin y = e^z [/mm], also für [mm]y=\pi/2[/mm] und z=0 und
> somit genau im dem Punkt [mm]a=\vektor{\pi\\\bruch{\pi}{2}\\0} = 0[/mm]
>
> Was bedeutet das denn dann ?
> Und wie komme ich auf die Umkehrfunktion - in meinem
> Skript wird hier irgendwas mit [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] gemacht, was ich
> aber nicht verstehe ?
Für die Umkehrfunktion gilt, analog zum 1-dimensionalen:
[mm]g\left(f\left(x,y,z\right)\right)=\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
Differentiation ergibt:
[mm]g'\left(f\left(x,y,z\right)\right)*f'\left(x,y,z\right)=\left(\pmat{x \\ y \\ z}\right)'[/mm]
Beachte hier, daß es sich um Matrizen handelt.
>
> Danke, Susanne.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
