diffbar und stetig < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 06.10.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zu zeigen, dass
1) f in (0,0) partiell diffbar ist.
2) f in (0,0) nicht stetig ist. |
Hallo an alle,
bei Differenzierbarkeit und Stetigkeit habe ich noch einige Lücken, die ich euch beim Bearbeiten dieser Aufgabe versuche zu verdeutlichen, sodass ihr mir helfen könnt 
Zu 1:
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie partielle Diffbarkeit gezeigt wird. Ist das einfach die Differenzierbarkeit in einem Punkt, hier in (0,0)?
Dies zeige ich über den Differentialquotienten:
[mm] \bruch{df}{dx}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h^{4}}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0
[/mm]
Somit habe ich meiner Meinung nach die partielle Diffbarkeit gezeigt, oder?
Für die totale Differenzierbarkeit würde ich wie folgt argumnetieren:
Für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] ist die Funktion diffbar, da sie aus diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist. Deshalb muss nur noch die Diffbarkeit im Nullpunkt geprüfut werden.
(Das hab ich ja gemacht, somit ist die Funktion doch insgesamt differenzierbar, oder nicht???)
Das nächste was ich nicht verstehe:
Man sagt doch, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist. Diese Funktion ist differenzierbar, also müsste sie doch auch stetig sein, wieso prüfen wir dann die Unstetigkeit???
Zu 2:
Unstetigkeit prüfen kann ich nur über die Annäherung mit 2 verschiedenen Geraden:
(Leider schaffe ich es bei dieser Aufgabe mit dieser Methode nicht.)
sei y=0
[mm] \limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{x^{2}}=0
[/mm]
sei x=y
[mm] \limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}f(x,x)=\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{x}{1+x^{2}}=(Satz [/mm] v. [mm] L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{1}{2x}=(Satz [/mm] v. [mm] L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{2}=0
[/mm]
Wie ihr seht, klappt diese Methode hier leider nicht. Mache ich was falsch? Funktioniert diese Methode doch?? Bitte zeigen
Oder hat jemand eine einfache andere Methode, Unstetigkeit zu zeigen?
Leider kann ich keine Stetigkeit bei 2 Vielfachen zeigen.
Könnte mir jemand bitte eine Methode zeigen, wie ich bei so einer Funktion Stetigkeit zeigen kann??
Vielen Dank für die Mühen im Voraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Zu zeigen, dass
> 1) f in (0,0) partiell diffbar ist.
> 2) f in (0,0) nicht stetig ist.
>
> Hallo an alle,
> bei Differenzierbarkeit und Stetigkeit habe ich noch
> einige Lücken, die ich euch beim Bearbeiten dieser Aufgabe
> versuche zu verdeutlichen, sodass ihr mir helfen könnt
>
>
> Zu 1:
> Ich bin mir nicht ganz sicher, wie partielle Diffbarkeit
> gezeigt wird. Ist das einfach die Differenzierbarkeit in
> einem Punkt, hier in (0,0)?
>
> Dies zeige ich über den Differentialquotienten:
> [mm]\bruch{df}{dx}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
Besser:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h^{4}}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
S.o.
>
> Somit habe ich meiner Meinung nach die partielle
> Diffbarkeit gezeigt, oder?
Ja
>
> Für die totale Differenzierbarkeit würde ich wie folgt
> argumnetieren:
> Für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] ist die Funktion diffbar, da sie aus
> diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist. Deshalb muss nur
> noch die Diffbarkeit im Nullpunkt geprüfut werden.
> (Das hab ich ja gemacht, somit ist die Funktion doch
> insgesamt differenzierbar, oder nicht???)
Ja, sie ist differenzierbar aif [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}$
[/mm]
>
> Das nächste was ich nicht verstehe:
> Man sagt doch, dass jede differenzierbare Funktion stetig
> ist. Diese Funktion ist differenzierbar, also müsste sie
> doch auch stetig sein, wieso prüfen wir dann die
> Unstetigkeit???
Über die Differenzierbarkeit von f in (0,0) wissen wir noch nichts. Wenn Du zeigen kannst, dass f in (0,0) nicht stetig ist, so ist f in (0,0) auch nicht differenzierbar.
>
> Zu 2:
> Unstetigkeit prüfen kann ich nur über die Annäherung
> mit 2 verschiedenen Geraden:
Wieso "nur" ???
>
> (Leider schaffe ich es bei dieser Aufgabe mit dieser
> Methode nicht.)
>
> sei y=0
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{x^{2}}=0[/mm]
>
> sei x=y
> [mm]\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}f(x,x)=\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{x}{1+x^{2}}=(Satz[/mm]
> v. [mm]L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{1}{2x}=(Satz[/mm]
> v. [mm]L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{2}=0[/mm]
Meine Güte !!! Für den GW [mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] bemühst Du den Herrn L'Hospital ? Kaum zu glauben !
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x}{1+x^{2}}= \bruch{0}{1+0^{2}}=0
[/mm]
>
> Wie ihr seht, klappt diese Methode hier leider nicht. Mache
> ich was falsch?
Nichts, Du bist nur sehr eingeschränkt mit Deiner "Methode" !
Schau Dir mal an:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})
[/mm]
FRED
> Funktioniert diese Methode doch?? Bitte
> zeigen
>
> Oder hat jemand eine einfache andere Methode, Unstetigkeit
> zu zeigen?
>
> Leider kann ich keine Stetigkeit bei 2 Vielfachen zeigen.
> Könnte mir jemand bitte eine Methode zeigen, wie ich bei
> so einer Funktion Stetigkeit zeigen kann??
>
> Vielen Dank für die Mühen im Voraus!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 06.10.2011 | | Autor: | paula_88 |
> > Sei [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen, dass
> > 1) f in (0,0) partiell diffbar ist.
> > 2) f in (0,0) nicht stetig ist.
> >
> > Hallo an alle,
> > bei Differenzierbarkeit und Stetigkeit habe ich noch
> > einige Lücken, die ich euch beim Bearbeiten dieser Aufgabe
> > versuche zu verdeutlichen, sodass ihr mir helfen könnt
> >
> >
> > Zu 1:
> > Ich bin mir nicht ganz sicher, wie partielle
> Diffbarkeit
> > gezeigt wird. Ist das einfach die Differenzierbarkeit in
> > einem Punkt, hier in (0,0)?
> >
> > Dies zeige ich über den Differentialquotienten:
> > [mm]\bruch{df}{dx}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
> Besser:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\bruch{df}{dy}(x,y)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{0}{h^{4}}-0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0}{h}=0[/mm]
>
>
>
> S.o.
>
>
> >
> > Somit habe ich meiner Meinung nach die partielle
> > Diffbarkeit gezeigt, oder?
>
> Ja
>
>
> >
> > Für die totale Differenzierbarkeit würde ich wie folgt
> > argumnetieren:
> > Für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] ist die Funktion diffbar, da sie
> aus
> > diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist. Deshalb muss nur
> > noch die Diffbarkeit im Nullpunkt geprüfut werden.
> > (Das hab ich ja gemacht, somit ist die Funktion doch
> > insgesamt differenzierbar, oder nicht???)
>
> Ja, sie ist differenzierbar aif [mm]\IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
>
Ich dachte durch die Überprüfung im Nullpunkt oben ist sie auch diffbar in Nullpunkt? Oder zeigt man partielle diffbarkeit immer über den Nullpunkt??
>
> >
> > Das nächste was ich nicht verstehe:
> > Man sagt doch, dass jede differenzierbare Funktion
> stetig
> > ist. Diese Funktion ist differenzierbar, also müsste sie
> > doch auch stetig sein, wieso prüfen wir dann die
> > Unstetigkeit???
>
> Über die Differenzierbarkeit von f in (0,0) wissen wir
> noch nichts. Wenn Du zeigen kannst, dass f in (0,0) nicht
> stetig ist, so ist f in (0,0) auch nicht differenzierbar.
>
>
> >
> > Zu 2:
> > Unstetigkeit prüfen kann ich nur über die Annäherung
> > mit 2 verschiedenen Geraden:
>
> Wieso "nur" ???
>
>
> >
> > (Leider schaffe ich es bei dieser Aufgabe mit dieser
> > Methode nicht.)
> >
> > sei y=0
> > [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{x^{2}}=0[/mm]
>
> >
> > sei x=y
> > [mm]\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}f(x,x)=\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{x}{1+x^{2}}=(Satz[/mm]
> > v. [mm]L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{1}{2x}=(Satz[/mm]
> > v. [mm]L'Hopital)\limes_{(x,x)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{2}=0[/mm]
>
>
> Meine Güte !!! Für den GW [mm]\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x}{1+x^{2}}[/mm]
> bemühst Du den Herrn L'Hospital ? Kaum zu glauben !
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}\bruch{x}{1+x^{2}}= \bruch{0}{1+0^{2}}=0[/mm]
>
Oh ja, da habe ich zu kompliziert gerechnet
> >
> > Wie ihr seht, klappt diese Methode hier leider nicht. Mache
> > ich was falsch?
>
>
> Nichts, Du bist nur sehr eingeschränkt mit Deiner
> "Methode" !
>
> Schau Dir mal an:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})[/mm]
>
Darauf würde ich in der Klausur aber nicht kommen. Meine Methode sagt ja anscheinend in diesem Fall nichts aus über die Unstetigkeit!??
Gibt es nicht noch ein allgemeineres Vorgehen als [mm]\limes_{x \rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})[/mm]? Da ich dieses ja nicht immer anwenden kann.
>
> FRED
>
> > Funktioniert diese Methode doch?? Bitte
> > zeigen
> >
> > Oder hat jemand eine einfache andere Methode, Unstetigkeit
> > zu zeigen?
> >
Leider kann ich keine Stetigkeit bei 2 Vielfachen zeigen.
Könnte mir jemand bitte eine Methode zeigen, wie ich
bei so einer Funktion Stetigkeit zeigen kann??
> >
> > Vielen Dank für die Mühen im Voraus!!!
>
Vielen Dank für die Gedulg.
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Hallo paula_88,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht und lösche Unnötiges weg. So ist es sehr lang und unübersichtlich im thread ...
> Ich dachte durch die Überprüfung im Nullpunkt oben ist
> sie auch diffbar in Nullpunkt?
Erstmal ja nur partiell diffbar in [mm](0,0)[/mm]
Daraus folg noch lange nicht Diffbarkeit! (oder Stetigkeit)
> Oder zeigt man partielle
> diffbarkeit immer über den Nullpunkt??
Das hängt doch von der oder den kritischen Stelle(n) ab.
Hier ist doch allein [mm](x,y)=(0,0)[/mm] "spannend", anderenorts ist doch die Funktion als Zusammensetzung aus (partiell) diffbaren Funktionen sicher (partiell) diffbar
> > Schau Dir mal an:
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})[/mm]
> >
> Darauf würde ich in der Klausur aber nicht kommen. Meine
> Methode sagt ja anscheinend in diesem Fall nichts aus über
> die Unstetigkeit!??
>
> Gibt es nicht noch ein allgemeineres Vorgehen als [mm]\limes_{x \rightarrow 0+0}f(x, \wurzel{x})[/mm]?
Nun, das Folgenkriterium der Stetigkeit eignet sich doch meist sehr gut, um Stetigkeit zu widerlegen.
Mache dich auf die Suche nach einer Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] die für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm](0,0)[/mm] (den kritischen Punkt) konvergiert, aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] konvergiert.
Mit etwas Basteln kommt man schnell auf etwa [mm](x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)[/mm]
> Da ich dieses ja nicht immer anwenden kann.
Zur WIDERLEGUNG von Stetigkeit funktioniert das Folgenkriterium immer, fragt sich nur, wie leicht sich eine passende Folge findet 
> Leider kann ich keine Stetigkeit bei 2 Vielfachen zeigen.
> Könnte mir jemand bitte eine Methode zeigen, wie ich
> bei so einer Funktion Stetigkeit zeigen kann??
Um die Stetigkeit zu zeigen, nimmst du entweder das [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium der Stetigkeit her oder - was sich häufig empfiehlt - du rechnest die gegebene Funnktion erstmal in Polarkoordinaten um ...
> Vielen Dank für die Gedulg.
>
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Mach Dir den Unterschied zwischen partieller Differenzierbarkeit und (totaler)
Differenzierbarkeit klar !
Ist eine Funktion f in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] partiell differenzierbar, so ist das i.a. ein "schwache" Eigenschaft, denn f muß in [mm] x_0 [/mm] nicht einmal stetig sein. Das zeigt obige Aufgabe !
FRED
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