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hallO!!
ich halte am donnerstag ein vortrag über differentialgleichungen und habe hier eine aufgabe bekommen. diese ist zwar eine sachaufgabe, aber ich poste hier mal nur die rechnung... (es geht um einen regentropfen, der in luft fällt)
v ' = -2*v + 9,81
ach ja ich löse diese aufgabe mit der variation der konstanten nach Lagrange (ist ein teilthema)
1. Lösung der homogen DGL
dy/dx = -2*y .... dann kommt raus: y hom=e^(-2*x) *C1
2. Variation der Konstanten
y1 (x) = e^(-2*x) *C1 --> jetzt die Produktregel angewandt
y ' 1 (x)= C'1 * e^(-2*x) + C1 * (-2*e^(-2*x))
3. Spezielle Lösung der inhomogenen DGL
ich hab y1 und y '1 in die inhomogene DGL eingesetzt und erhalte
C'1 * e^(-2*x) + C1 * (-2*e^(-2*x)) = -2* e^(-2*x) *C1 +9,81
dann bleibt übrig --> C '1 = 9,81 * e^(2*x)
nun integriere ich und erhalte C1(x) = 9,81/2 * e^(2*x)
jetzt diesen term in y1 (x) eingesetzt --> 9,81/2 * e^(2*x) * e^(-2*x)
übrig bleibt y1 (x) = 9,81/2
4. allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:
y inh = y1 + y hom
y inh = 9,81/2 + e^(-2*x) *C1
ist das ergebnis richtig??
mfg
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Hi, Christoph,
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> v ' = -2*v + 9,81
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> ach ja ich löse diese aufgabe mit der variation der
> konstanten nach Lagrange (ist ein teilthema)
>
> 1. Lösung der homogen DGL
>
> dy/dx = -2*y .... dann kommt raus: y hom=e^(-2*x) *C1
>
> 2. Variation der Konstanten
>
> y1 (x) = e^(-2*x) *C1 --> jetzt die Produktregel angewandt
> y ' 1 (x)= C'1 * e^(-2*x) + C1 * (-2*e^(-2*x))
>
> 3. Spezielle Lösung der inhomogenen DGL
>
> ich hab y1 und y '1 in die inhomogene DGL eingesetzt und
> erhalte
> C'1 * e^(-2*x) + C1 * (-2*e^(-2*x)) = -2* e^(-2*x) *C1
> +9,81
> dann bleibt übrig --> C '1 = 9,81 * e^(2*x)
> nun integriere ich und erhalte C1(x) = 9,81/2 * e^(2*x)
> jetzt diesen term in y1 (x) eingesetzt --> 9,81/2 *
> e^(2*x) * e^(-2*x)
> übrig bleibt y1 (x) = 9,81/2
> 4. allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:
>
> y inh = y1 + y hom
> y inh = 9,81/2 + e^(-2*x) *C1
>
> ist das ergebnis richtig??
Ja! Hab' dasselbe raus!
Aber zwei Fragen:
(1) Warum schreibst Du [mm] \bruch{9,81}{2} [/mm] und nicht 4,905?
(2) Warum verwendest Du nicht "t" als Variable? Es geht doch sicher um eine Funktion der Zeit!
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hi!
gut dann bin ich ja beruhigt!
und ich werde mich dann am donnerstag oder freitag melden, was für eine note ich bekommen habe (es wurde danach gefragt)
mfg
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natürlich werde ich dann noch x durch t ersetzen und das anderen umschreiben..
mfg
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hallo!!
hab nochmal über die aufgabe gegrübelt und gibt es eine möglichkeit (die allerdings nicht zu schwer sein sollte, da vortrag) hier eine spezielle lösung zu errechnen?
also ich könnte ja für x bzw. t dann eine zeit angeben oder? also z.B. 5 sekunden, aber dann fehlt nur noch ne idee für C1 und y (x) inh ?!
schon mal danke im voraus
mfg
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Hi, Christoph,
naja: Am einfachsten ist, Du nimmst an, dass der Regentropfen zu Beginn des Vorgangs "in Ruhe" ist, also:
t=0 => v=0.
Dann musst Du also in die Gleichung
v(t) = 4,905 + [mm] c*e^{-2t} [/mm]
für t=0 einsetzen und Du erhältst letztlich:
c = -4,905.
Hilft Dir das?
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also ist die spezielle lösung einfach C = -4,905! gibt es noch einen besseren antwortsatz?? mit dem ausformulieren hab ich immer so meine probleme...
mfg
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Hallo ...
> also ist die spezielle lösung einfach C = -4,905! gibt es
> noch einen besseren antwortsatz??
Nein, die spezielle Lösung ist natürlich dann die gesamte Funktion mit dem eingesetzten Wert für $C$ :
$v(t) \ = \ 4,905 - 4,905 * [mm] e^{\red{-}2*t} [/mm] \ = \ 4,905 * [mm] \left(1 - e^{\red{-}2*t}\right)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Roadrunner und declatereter,
> Nein, die spezielle Lösung ist natürlich dann die gesamte
> Funktion mit dem eingesetzten Wert für [mm]C[/mm] :
>
> [mm]v(t) \ = \ 4,905 - 4,905 * e^{2*t} \ = \ 4,905 * \left(1 - e^{2*t}\right)[/mm]
>
Das Vorzeichen im Exponenten ist natürlich weiterhin Minus:
v(t) = 4,905 - 4,905 * [mm] e^{-2t} [/mm] = 4,905 * (1 - [mm] e^{-2t})
[/mm]
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oh ok. alles klar. werd mich dann morgen melden, was ich bekommen hab.
mfg
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
und ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
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