differenzialgleichung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Maik226 |
| Aufgabe | | bestimmen sie die lösung der folgenden differentialgleichung |
hallo mathe-fans
zum lösen meiner aufgabe muss ich ein integral der folgenden gleichung bilden und bin mir nicht sich ob das so stimmt:
[mm] y'=y(sin^{2}x(\bruch{1}{cos^{2}x}+1)+cos^{2}x
[/mm]
mein integral wäre
[mm] \integral{ \bruch{dy}{y}}=\integral{\bruch{dx}{(sin^{2}x(\bruch{1}{cos^2x}+1}+cos^2x)}
[/mm]
nun müssen wir das integral bestimmen da habe ich
[mm] ln|y|=-cosx+c(tan^2 [/mm] x +1) +tanx+c
ist das denn richtig so bzw kann ich denn noch weiter zusammen fassen????
wäre super nett wenn mir da jemand hilft
danke mfg maik
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> mein integral wäre
>
> [mm]\integral{ \bruch{dy}{y}}=\integral{\bruch{dx}{(sin^{2}x(\bruch{1}{cos^2x}+1}+cos^2x)}[/mm]
Warum "rutscht" denn bei Dir die halbe rechte Seite plötzlich nach unten in den Nenner?
Hast Du hier auch die Funktion korrekt eingetippt?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Maik226 |
im unterricht haben wir das so gemacht das müsste eigendlich so stimmen oder nicht????
evt hab ich da auch was falsch verstanden könntest du mir da evt witer helfen wie man das bestimmt???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Maik226 |
man muss ja schreiben
[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> man muss ja schreiben [mm]\bruch{dy}{y}=\bruch{dx}{x}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum sollte hier das $x_$ in den Nenner wandern?
Du teilst Deine Gleichung doch erst durch $y_$ und ersetzt: $y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dx}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> [mm]y'=y(sin^{2}x(\bruch{1}{cos^{2}x}+1)+cos^{2}x[/mm]
Wo schließt denn hier die Klammer gleich hinter dem $y_$ ? Ich nehme nun mal an, dass sie bis ganz nach hinten greift.
Dann solltest Du hier zunächst erst zusammenfassen, um Dir nicht das Leben unnötig schwer zu machen.
Es gilt:
[mm] $$\sin^2(x)*\left(\bruch{1}{\cos^2(x)}+1\right)+\cos^2(x)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\sin^2(x)+\cos^2(x)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2+\underbrace{\sin^2(x)+\cos^2(x)}_{= \ 1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \tan^2(x)+1$$
[/mm]
Damit ergibt sich dann folgendes Integral:
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\left[\tan^2(x)+1\right] \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Maik226 |
ok vielen dank dann hätte ich da noch ne frage wenn man zb eine gleichung hat [mm] y´=\bruch{1-2x}{y^2} [/mm] wie lautet denn dafür das integral bzw hast du ein paar hinweise zum bilden von integralen??
steh da echt auf dem schlauch und will es aber kappieren...
bitte helf mir
mfg maik
|
|
|
| |
|
Hallo Maik,
> ok vielen dank dann hätte ich da noch ne frage wenn man zb
> eine gleichung hat [mm]y´=\bruch{1-2x}{y^2}[/mm]
Benutze für den Ableitungsstrich besser "Shift+Rautetaste", deiner wird nicht angezeigt 
> wie lautet denn
> dafür das integral bzw hast du ein paar hinweise zum bilden
> von integralen??
Na, erstmal beide Seiten mit [mm] $y^2$ [/mm] multiplizieren, dann hast du
[mm] $y'\cdot{}y^2=1-2x$, [/mm] also [mm] $\frac{dy}{dx}y^2=1-2x$
[/mm]
Damit [mm] $y^2 [/mm] \ dy=(1-2x) \ dx$
Integrieren
[mm] $\int{y^2 \ dy}=\int{(1-2x) \ dx}$
[/mm]
Und das kannst du 100%ig !
Achte aber auf den Definitionsbereich der Lösungsfunktion und bedenke, dass sie auf einem zusammenhängenden Intervall definiert sein muss ...
>
> steh da echt auf dem schlauch und will es aber
> kappieren...
>
> bitte helf mir
>
> mfg maik
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
|
