differenzierbare Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 20.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] eine differenzierbare Funktion von $f(1,0)=0$, [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=1$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=2$. [/mm] Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
[mm] $g(t):=f(e^{t-1},f(log(t)+1,t^2))$
[/mm]
an der Stelle t=1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nämlich verwirrt mich sehr die Definition von g als
[mm] $g(t):=f(e^{t-1},f(log(t)+1,t^2))$
[/mm]
insbesondere das hier im zweiten Eintrag die Funktion selbst wieder vorkommt.
Wenn ich nun g' bilden möchte, wie würde ich dabei vorgehen?
Das verwirrt mich gerade sehr.
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Bitte korrigiere die Klammersetzung. Das kann so nicht stimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 20.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Du hast recht, da fehlt eine Klammer am Ende, ich kann es gerade aber nicht editieren.
Also [mm] $g'(x):=f(e^{t-1}, f(log(t)+1,t^2))$
[/mm]
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Hallo YuSul,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/mm] eine differenzierbare
> Funktion von [mm]f(1,0)=0[/mm], [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=1[/mm]
> und [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=2[/mm]. Berechnen Sie die
> Ableitung der Funktion
>
> [mm]g(t):=f(e^{t-1},f(log(t)+1,t^2)[/mm]
>
> an der Stelle t=1
>
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nämlich verwirrt
> mich sehr die Definition von g als
>
> [mm]g(t):=f(e^{t-1},f(log(t)+1,t^2)[/mm]
>
Wenn das so in der Aufgabe steht, dann benötigst Du
noch f(1,1) sowie die entsprechenden partiellen Ableitungen
an dieser Stelle.
> insbesondere das hier im zweiten Eintrag die Funktion
> selbst wieder vorkommt.
> Wenn ich nun g' bilden möchte, wie würde ich dabei
> vorgehen?
Schreibe zunächst
[mm]g\left(t\right)=f\left(\ r\left(t\right), \ s\left(t\right) \ \right)[/mm]
Bilde zunächst formal die Ableitung von f nach t.
Setze dann:
[mm]s\left(t\right)=f\left( \ u\left(t\right), \ v\left(t\right) \ \right)[/mm]
Differenziere dann s nach t und setze in die obige Ableitung ein.
> Das verwirrt mich gerade sehr.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 20.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Erhalte ich dann erst einmal nur:
[mm] $g'(t)=grad\,\,g\begin{pmatrix} r '(t)\\ grad\,\,s\begin{pmatrix} u'(t)\\v '(t)\end{pmatrix}\end{pmatrix}$
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] $g'(t)=grad\,\,g\begin{pmatrix} e^{t-1}\\ grad\,\,s\begin{pmatrix} \frac{1}{t}\\2t\end{pmatrix}\end{pmatrix}$
[/mm]
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Hallo YuSul,
> Erhalte ich dann erst einmal nur:
>
>
> [mm]g'(t)=grad\,\,g\begin{pmatrix} r '(t)\\ grad\,\,s\begin{pmatrix} u'(t)\\v '(t)\end{pmatrix}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Insgesamt also:
>
> [mm]g'(t)=grad\,\,g\begin{pmatrix} e^{t-1}\\ grad\,\,s\begin{pmatrix} \frac{1}{t}\\2t\end{pmatrix}\end{pmatrix}[/mm]
Nein.
Berechne doch zuerst die ABleitung von
[mm]f\left( \ r\left(t\right), \ s\left(t\right) \ \right)[/mm]
nach t mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel.
Dann ist
[mm]g_{t}=f_{r}*r_{t}+f_{s}*s_{t}[/mm]
Berechne dann die Ableitung von
[mm]s\left(t\right)=f\left( \ u\left(t\right), \ v\left(t\right) \ \right)[/mm]
nach t. Das geht nach demselben Schema wie beschrieben.
Apropo: Ich glaube in der Aufgabe ist statt (1,0) der Punkt (1,1) gemeint.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 So 20.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das kann gut sein, dass in der Aufgabe ein Fehler ist, da auf diesem Zettel bereits schon ein Fehler war.
Es handelt sich also nicht um einen Tippfehler meinerseits, nur um das noch einmal auszuschließen.
Meinst du es dann so?
Sei der erste Eintrag [mm] $x_1$ [/mm] und der zweite Eintrag [mm] $x_2$ [/mm] für die Kennzeichnung der Ableitungen.
$g'(t)=(f(r(t),s(t))'$
[mm] $=g'(r(t))\cdot\frac{\partial g}{\partial x_1}(r(t),s(t))+g'(s(t))\cdot\frac{\partial g}{\partial x_2}(r(t),s(t))$
[/mm]
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Hallo YuSul,
> Das kann gut sein, dass in der Aufgabe ein Fehler ist, da
> auf diesem Zettel bereits schon ein Fehler war.
> Es handelt sich also nicht um einen Tippfehler meinerseits,
> nur um das noch einmal auszuschließen.
>
Ok, es muss ausserdem f(1,1)=1 sein,
sonst ist die ganze Aufgabe nicht loesbar.
> Meinst du es dann so?
> Sei der erste Eintrag [mm]x_1[/mm] und der zweite Eintrag [mm]x_2[/mm] für
> die Kennzeichnung der Ableitungen.
>
> [mm]g'(t)=(f(r(t),s(t))'[/mm]
>
> [mm]=g'(r(t))\cdot\frac{\partial g}{\partial x_1}(r(t),s(t))+g'(s(t))\cdot\frac{\partial g}{\partial x_2}(r(t),s(t))[/mm]
Setze doch das um, was ich Dir im letzten Post geschrieben habe:
Zunächst ist
[mm]g_{t}=f_{r}*r_{t}+f_{s}*s_{t}[/mm]
Ausserdem ist
[mm]s_{t}=f_{u}*u_{t}+f_{v}*v_{t}[/mm]
Und jetzt ineinander einsetzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 20.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe leider etwas Probleme mit dieser Notation.
Meinst du mit [mm] s_t [/mm] zum Beispiel einfach s(t)?
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Hallo,
> Ich habe leider etwas Probleme mit dieser Notation.
> Meinst du mit [mm]s_t[/mm] zum Beispiel einfach s(t)?
Nein, MathePower meint mit der Notation folgendes:
[mm] s_t=\frac{\partial s(t)}{\partial t}
[/mm]
Also ist damit die Ableitung der Funktion s(t) nach der Variablen t gemeint.
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