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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für den Graphen einer ganzrationalen Funktion 2. Grades für den mittleren Abszissenwert [mm] x_{m}[/mm] im Intervall [mm] \left[ a; b \right][/mm] [mm] x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm] gilt.
Anleitung: [mm] f'(x_{m})[/mm] muss [mm] \bruch{f(b) - f(a)}{b - a}[/mm] sein |
Hallo,
komme mit der Aufgabe nicht zurecht.
Es geht also um ein Polynom zweiten Grades:
[mm] f(x) = a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{0}[/mm]
kann mir jemand weiter helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für den Graphen einer ganzrationalen
> Funktion 2. Grades für den mittleren Abszissenwert [mm]x_{m}[/mm] im
> Intervall [mm]\left[ a; b \right][/mm] [mm]x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm] gilt.
> Anleitung: [mm]f'(x_{m})[/mm] muss [mm]\bruch{f(b) - f(a)}{b - a}[/mm] sein
> Hallo,
>
> komme mit der Aufgabe nicht zurecht.
> Es geht also um ein Polynom zweiten Grades:
>
> [mm]f(x) = a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{0}[/mm]
>
> kann mir jemand weiter helfen?
Sorry, aber wie habt ihr den Begriff "mittlerer Abszissenwert" definiert? Der ist mir nicht geläufig. D.h., Du müsstest damit noch die "Anleitung" eigentlich beweisen.
Ansonsten:
Laut Anleitung muss
[mm] $f\,'(x_m)=2a_1 x_m+a_2=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ [/mm] gelten. Inwiefern Dir das hilft, weiß ich nicht, weil mir, wie gesagt, der Begriff "mittlerer Abszissenwert" nicht geläufig ist und ich auch mit Google etc. nichts dazu finden konnte.
Gruß,
Marcel
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Habe die Aufgabe in meinen Unterlagen gefunden und da ist der mittlere Abzissenwert nicht weiter definiert.
Zur Lösung steht da:
Ermittlung: [mm] f'(x)[/mm] und [mm] f'(x_{m})[/mm]
Koeffizientenvergleich für [mm] a_{2} [/mm] aus [mm] f'(x_{m})=\bruch{f(b)-f(a)}{a-b} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Do 24.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Habe die Aufgabe in meinen Unterlagen gefunden und da ist
> der mittlere Abzissenwert nicht weiter definiert.
>
> Zur Lösung steht da:
> Ermittlung: [mm]f'(x)[/mm] und [mm]f'(x_{m})[/mm]
> Koeffizientenvergleich für [mm]a_{2}[/mm] aus
> [mm]f'(x_{m})=\bruch{f(b)-f(a)}{a-b}[/mm]
das verstehe ich - ehrlich gesagt - nicht. Hast Du denn irgendeine Idee, wie Du es selbst erklären könntest, was damit gemeint ist? Ansonsten macht es ja sowieso keinen Sinn, eine Aufgabe zu lösen, bei der die Fragestellung unklar ist. Das ist in etwa so, dass man zeigen soll, dass eine Funktion eine gewisse Eigenschaft $A$ habe, ohne die Eigenschaft $A$ anzugeben. Also der Begriff des "mittleren Abszissenwertes" muss geklärt werden. Wenn Dir klar ist, was damit gemeint ist, dann versuche das wenigstens irgendwie mal in Worte zu fassen, denn ich kann mit diesem Begriff halt leider nichts anfangen?! Und wenn Du selbst nicht weißt, was damit gemeint ist, macht es hier doch sowieso keinen Sinn, über die Aufgabe zu diskutieren, dann müsstest Du Dich vorher einmal informieren, was damit gemeint ist. Oder wir warten einfach, bis jemand, der diesen Begriff kennt, sich hier meldet, in der Hoffnung, dass es so jemanden gibt 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Do 24.04.2008 | | Autor: | tim_tempel |
Hallo,
habe erst mal die Funktion gezeichnet und bin davon ausgegangen, dass [mm] x_{m} [/mm] die Mitte des Intervalls ist.
Da es dann aber heisst [mm] x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm], habe ich damit meine Probleme. Wenn vom Intervall [mm] a[/mm] positiv ist demnach [mm] b [/mm] auch passt mein erster Gedanke nicht mehr.
Habe jetzt noch etwas gestöbert und die Formulierung und geometrische Interpretation des Mittelwertsatzes gefunden (hatte das Kapitel schon gelesen, Kurzzeitgedächnis)
Da heisst es:
[mm] \bruch{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi)[/mm], da [mm] \bruch{f(b) - f(a)}{b-a}[/mm] die Steigung der Sekante ist, ist [mm] f'(\xi)[/mm] die Steigung der Tangente an den Graphen von [mm] y = f(x)[/mm] im Punkt [mm] x = \xi [/mm]. Der Mittelwertsatz besagt also, dass es einen (nicht näher bestimmten) [mm] x[/mm]-Wert [mm] \xi[/mm] mit [mm] a< \xi
Jetzt habe ich zwar die interpretation des Mittelwertsatzes, komme aber mit der Aussage [mm] x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm] immer noch nicht weiter??
(konnte leider nicht früher Antworten)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> habe erst mal die Funktion gezeichnet und bin davon
> ausgegangen, dass [mm]x_{m}[/mm] die Mitte des Intervalls ist.
> Da es dann aber heisst [mm]x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm], habe ich
> damit meine Probleme. Wenn vom Intervall [mm]a[/mm] positiv ist
> demnach [mm]b[/mm] auch passt mein erster Gedanke nicht mehr.
dass das Intervall $[a,b]$ den "Mittelpunkt" [mm] $\frac{a+b}{2}$ [/mm] hat, ist schon klar. Der Mittelpunkt berechnet sich z.B. entweder, indem man die Formel direkt einsieht, oder (mach' Dir das geometrisch klar):
Mittelpunkt von $[a,b]$: [mm] $a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$
[/mm]
(Das passt immer, auch wenn $a,b$ beide $>0$: z.B.:
$[a,b]=[3,7]$ hat den Mittelpunkt $5$, und [mm] $5=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}$ [/mm] stimmt offensichtlich auch.)
Was gar nicht klar ist, ist, dass hier der "mittlere Abszissenwert" mit dem Mittelpunkt von $[a,b]$ übereinstimmt. Insbesondere ist das deshalb nicht klar, weil der Begriff "mittlerer Abszissenwert" nicht geklärt ist. Denn ich kann nicht über den "mittleren Abszissenwert" sprechen, ohne zu wissen, was das denn nun sein soll?!
> Habe jetzt noch etwas gestöbert und die Formulierung und
> geometrische Interpretation des Mittelwertsatzes gefunden
> (hatte das Kapitel schon gelesen, Kurzzeitgedächnis)
>
> Da heisst es:
>
> [mm]\bruch{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi)[/mm], da [mm]\bruch{f(b) - f(a)}{b-a}[/mm]
> die Steigung der Sekante ist, ist [mm]f'(\xi)[/mm] die Steigung der
> Tangente an den Graphen von [mm]y = f(x)[/mm] im Punkt [mm]x = \xi [/mm]. Der
> Mittelwertsatz besagt also, dass es einen (nicht näher
> bestimmten) [mm]x[/mm]-Wert [mm]\xi[/mm] mit [mm]a< \xi
> Tangente an den Graphen von [mm]y = f(x)[/mm] parallel zur Sekante
> ist.
>
> Jetzt habe ich zwar die interpretation des
> Mittelwertsatzes, komme aber mit der Aussage [mm]x_{m} = \bruch{a+b}{2}[/mm]
> immer noch nicht weiter??
> (konnte leider nicht früher Antworten)
Dass der Tipp mit dem Mittelwertsatz zu tun hat, war mir (in einer offensichtlichen Weise) auch klar. Nur inwiefern der MWS hier mit dem "mittleren Abszissenwert" zusammenhängt, ist mir nicht klar, weil mir, wie schon mehrfach erwähnt, der Begriff des "mittleren Abszissenwertes" nicht geläufig ist und Du mir bis dato auch noch immer nichts weiter dazu sagen konntest, was das denn ist oder vll. sein könnte.
Ich finde es ja gut und schön, dass Du Dir hier auch die Mühe machst, zu versuchen, die Tipps etc. zu verstehen und was die Aussage ist (die Aussage ist: Der mittlere Abszissenwert ist der Mittelpunkt des Intervalls, wenn ich das einfach mal mit Deinen Überlegungen umformulieren darf). Das ist wirklich gut und hilft Dir auch (insbesondere für später), Zusammenhänge zu sehen. 
Nur:
Solange wir nicht wissen, was denn der "mittlere Abszissenwert per Definitionem" überhaupt ist, macht es eigentlich keinen Sinn, sich mit der Aufgabe, der Lösung, den Tipps etc. zu befassen, da wir so doch die Aufgabenstellung gar nicht verstehen. Stelle Dir mal vor, Du wärst ein Schüler, der noch nie etwas über Wurzeln gehört hat und man stellt Dir die Aufgabe, [mm] $\sqrt{10}$ [/mm] zu berechnen. Da würdest Du nun auf die Suche gehen, wie denn [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] überhaupt definiert ist, und dann vll. versuchen, die Aufgabe zu lösen. Wenn Du keine Ahnung hättest, was das Symbol [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] denn überhaupt für eine Bedeutung haben könnte, wüßtest Du gar nicht, was Du zu tun hättest.
Genauso ist es hier: Solange wir nicht wissen, was denn dieser - entschuldige meine Ausdrucksweise - verfluchte "mittlere Abszissenwert" denn überhaupt ist oder sein könnte, brauchen wir uns eigentlich gar nicht weiter an der Aufgabe versuchen, da wir keine Ahnung haben, was denn da eigentlich zu zeigen ist
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mo 28.04.2008 | | Autor: | tim_tempel |
Hallo,
habe einen Tipp bekommen und leite diesen mal weiter:
ein polynom 2'ten grades erfüllt den mittelwertsatz der
differentialrechnung auf einem intervall [c,d] im mittleren abszissenwert(der
mittelpunkt des intervalls)
lösung:
das polynom sei [mm] f(x) = ax*x + bx + c[/mm].
dann is [mm] f'(x) = 2ax +b[/mm].
der mittelpunkt des intervalls ist [mm] (c+d)/2 [/mm] (mittlerer abszissenwert
meinetwegen).
die ableitung an dieser stelle ist dann [mm]f'((c+d)/2) = ac + ad + b[/mm].
das ist aber genau die Steigung der Sekande mit den endwerten [mm]f(c)[/mm] und
[mm]f(d)[/mm].
denn [mm](f(d)-f(c))/(d-c) = (ad*d + b*d -ac*c-bc)/(d-c) =
((d-c)(ac + ad + b))/(d-c)[/mm].
der mittelwertsatz besagt eben, dass es im intervall mindestens eine
solche stelle gibt, und bei einem quadratischen polynom ist es eben
genau der mittelpunkt des intervalls.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo tim_tempel,
Aufgabe
Zeigen Sie, dass für den Graphen einer ganzrationalen Funktion 2. Grades für den mittleren Abszissenwert $ [mm] x_{m} [/mm] $ im Intervall $ [mm] \left[ a; b \right] [/mm] $ $ [mm] x_{m} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] $ gilt.
Anleitung: $ [mm] f'(x_{m}) [/mm] $ muss $ [mm] \bruch{f(b) - f(a)}{b - a} [/mm] $ sein
> Hallo,
>
> habe einen Tipp bekommen und leite diesen mal weiter:
>
> ein polynom 2'ten grades erfüllt den mittelwertsatz der
> differentialrechnung auf einem intervall [c,d] im
> mittleren abszissenwert(der
> mittelpunkt des intervalls)
>
> lösung:
> das polynom sei [mm]f(x) = ax*x + bx + c_{\red{1}}[/mm].
$c$ ist schon oben beim Intervall vergeben.
> dann is [mm]f'(x) = 2ax +b[/mm].
>
> der mittelpunkt des intervalls ist [mm](c+d)/2[/mm] (mittlerer
> abszissenwert
> meinetwegen).
> die ableitung an dieser stelle ist dann [mm]f'((c+d)/2) = ac + ad + b[/mm].
>
> das ist aber genau die Steigung der Sekande mit den
> endwerten [mm]f(c)[/mm] und
> [mm]f(d)[/mm].
> denn [mm](f(d)-f(c))/(d-c) = (ad*d + b*d -ac*c-bc)/(d-c) =
((d-c)(ac + ad + b))/(d-c)[/mm].
>
> der mittelwertsatz besagt eben, dass es im intervall
> mindestens eine
> solche stelle gibt, und bei einem quadratischen polynom
> ist es eben
> genau der mittelpunkt des intervalls.
ehrlich gesagt verstehe ich hier gar nicht, was das ganz mit der Aufgabenstellung zu tun hat. Zudem schreibst Du hier, dass der Mittelpunkt des Intervalls $[c,d]$ gerade der mittlere Abszissenwert des Intervalls $[c,d]$ ist.
Also ich blicke hier, ehrlich gesagt, absolut nicht mehr durch. Liegt es vielleicht daran, dass Du gar nicht zeigen sollst, dass [mm] $x_m=\frac{a+b}{2}$ [/mm] für $[a,b]$, sondern etwas anderes? Solltest Du irgendwas für [mm] $f\,'(x_m)$, $f(x_m)$ [/mm] ... zeigen, oder, dass ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ existiert mit...?
In welchem Zusammenhang steht denn der Tipp/bzw. Deine Rechnung oben überhaupt mit der Aufgabe? Also ich habe hier vollkommen den roten Faden verloren, gebe ich ehrlich zu.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mo 28.04.2008 | | Autor: | tim_tempel |
Hallo Marcel,
möchte keine weitere Verwirrung stiften. Für mich ist der Tipp, die Lösung plausibel.
In der Aufgabe heisst es: für den mittleren Abzissenwert [mm] x_{m}[/mm] im Intervall [a, b] gilt [mm] x_{m}= \bruch{a+b}{2}[/mm], also die Mitte des Intervalls (ist mir jetzt klar) und eben genau Das ist zu beweisen.
Dann gibt es die Anleitung:
[mm] f'(x_{m})[/mm] muss $ [mm] \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$
[/mm]
Das heisst, die Tangente an dem Graphen im Mittelpunkt des Intervalls [a, b] ist parallel zur Sekande mit den Endwerten f(a) und f(b).
Da kann man jetzt an den Mittelwertsatz denken. Wobei es hier heisst, es gibt einen nicht näher bestimmten $ x$-Wert $ [mm] \xi$ [/mm] im Intervall [a, b] mit $ [mm] a<\xi
Bei einem Polynom zweiten Grades ist der nicht näher bestimmte $ x$-Wert $ [mm] \xi$ [/mm] im Intervall [a, b] eben genau die Mitte.
Gruß, Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo tim_tempel,
> Hallo Marcel,
>
> möchte keine weitere Verwirrung stiften. Für mich ist der
> Tipp, die Lösung plausibel.
das ist ja auch die Hauptsache
> In der Aufgabe heisst es: für den mittleren Abzissenwert
> [mm]x_{m}[/mm] im Intervall [a, b] gilt [mm]x_{m}= \bruch{a+b}{2}[/mm], also
> die Mitte des Intervalls (ist mir jetzt klar) und eben
> genau Das ist zu beweisen.
>
> Dann gibt es die Anleitung:
> [mm]f'(x_{m})[/mm] muss [mm]\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}[/mm]
>
> Das heisst, die Tangente an dem Graphen im Mittelpunkt des
> Intervalls [a, b] ist parallel zur Sekande mit den
> Endwerten f(a) und f(b).
Das ist die geometrische Interpretation des Tipps. Oder hat das irgendwas mit dem Begriff des "mittleren Abszissenwertes" zu tun, wobei ich bis dato immer noch nicht weiß, was dieser Begriff bedeutet.
> Da kann man jetzt an den Mittelwertsatz denken. Wobei es
> hier heisst, es gibt einen nicht näher bestimmten [mm]x[/mm]-Wert
> [mm]\xi[/mm] im Intervall [a, b] mit [mm]a<\xi
> parallel zur Sekande mit den Endwerten f(a) und f(b) ist.
> Bei einem Polynom zweiten Grades ist der nicht näher
> bestimmte [mm]x[/mm]-Wert [mm]\xi[/mm] im Intervall [a, b] eben genau die
> Mitte.
Naja, wenn es Dir plausibel ist, dann weißt Du anscheinend mehr als ich, nämlich, was denn dieser mittlere Abszissenwert nun doch ist. Anfangs dachte ich, das sollte geklärt werden, zumindest mir ist es immer noch nicht klar, was dieser Begriff nun bedeutet.
In Deinem letzten Beitrag hast Du gerechnet und dabei gesagt, dass der mittlere Abszissenwert die Mitte des Intervalls $[c,d]$ ist, und dass die Mitte von $[c,d]$ einfach [mm] $\frac{c+d}{2}$ [/mm] ist, ist wirklich eine Banalität. Dann macht die Aufgabe aber auch schon keinen Sinn, wenn der mittlere Abszissenwert als die Mitte des Intervalls definiert wäre, denn da stünde dort quasi:
"Beweisen Sie die Definition..."
Mittlerweile ist Dir wohl klar, was der mittlere Abszissenwert nun per Definitionem ist, mir allerdings immer noch nicht. Das macht aber auch nichts, denn solange Dir damit nun alles klar ist, ist das in Ordnung. Es gibt sehr viel schönere und interessantere Dinge in der Mathematik, so dass ich mich nicht wirklich weiter damit aufhalten will, was dieser Begriff nun per Definitionem ist. Wenn ich Zeit und Lust hätte, könnte ich sicher Deine Rechnung verfolgen und mit ein paar Skizzen etc. käme ich sicher irgendwann zu einem Ergebnis, was das eigentlich nur sein kann. Nichtsdestotrotz genügt mir eigentlich schon die Tatsache, dass mir dieser Begriff bis dato noch nie untergekommen ist, schon dafür, dass er sicher keine große theoretische Bedeutung hat. Jedenfalls nicht in den Bereichen, mit denen ich mich auseinandersetze
Und nur, damit da keine Missverständnisse entstehen:
Ich bin mir sicher, wenn ich den Begriff des "mittleren Abszissenwertes" mal per Definitionem kennenlernen würde und damit überhaupt die Aufgabe mal verstehen würde, mir hier eigentlich alles klar wäre. Denn Dinge wie MWS, ZWS, zweiter MWS etc. anzuwenden oder zu sehen, dass man sie anwenden kann oder wie man sie anwenden muss, ist eigentlich wirklich keine große Kunst, wenn man mal ein wenig Erfahrung darin gesammelt hat.
Und nur zur Ergänzung:
Du solltest Dir, wenn dort oben der MWS angewendet wird, nichtsdestotrotz klarmachen, dass die Voraussetzungen zur Anwendung dafür gegeben sind, also dass ein Polynom $P$ 2en Grades auch stetig auf $[c,d]$ und auch diff'bar auf $(c,d)$ ist (wobei Polynome generell eigentlich ja immer sehr schöne, sehr glatte Funktionen sind, also eigentlich noch viel mehr erfüllen, aber insbesondere halt die Voraussetzungen des MWS).
Gruß,
Marcel
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