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differenzierbare Funktionen: gerade und ungerade
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mi 24.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Für folgende - sicher nicht allzu schwierige - Aufgabe, fehlt mir gerade irgendwie der Ansatz:

Eine Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] heißt gerade, wenn f(x)=f(-x) für alle [mm] x\in\IR, [/mm] und ungerade, wenn f(x)=-f(-x) für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

i) Man zeige: Die Ableitung einer geraden (ungeraden) Funktion ist ungerade (gerade).

Wenn ich das für Polynome zeigen sollte, würde ich das wohl hinbekommen. Aber wie mache ich das denn für allgemeine Funktionen? Wovon gehe ich da aus? Könnte mir das jemand sagen?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]




        
Bezug
differenzierbare Funktionen: Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 24.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Bastiane!


Das gibt gleich wieder das Hammer-Smiley ;-) ...


Gerade Funktion: $f(x) \ = \ f(-x)$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es muß auch gelten:  [mm] $\left[ \ f(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ f(-x) \ \right]'$ [/mm]


Einfach die Kettenregel anwenden:

[mm] $\left[ \ f(x) \ \right]' [/mm] \ = \ f'(x)$

[mm] $\left[ \ f(-x) \ \right]' [/mm] \ = \ f'(-x) * (-1) \ = \ -f'(-x)$

Durch Gleichsetzen erhältst Du dann Deine Behauptung.


Für ungerade Funktionen klappt das dann analog.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
differenzierbare Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Mi 24.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo Loddar!
> Das gibt gleich wieder das Hammer-Smiley ;-) ...

Okay, dir zu liebe (;-)): [bonk]

> Gerade Funktion: [mm]f(x) \ = \ f(-x)[/mm]   [mm]\Rightarrow[/mm] es muß auch
> gelten:  [mm]\left[ \ f(x) \ \right]' \ = \ \left[ \ f(-x) \ \right]'[/mm]
>  
>
> Einfach die Kettenregel anwenden:
>  
> [mm]\left[ \ f(x) \ \right]' \ = \ f'(x)[/mm]
>  
> [mm]\left[ \ f(-x) \ \right]' \ = \ f'(-x) * (-1) \ = \ -f'(-x)[/mm]
>  
> Durch Gleichsetzen erhältst Du dann Deine Behauptung.
>  
>
> Für ungerade Funktionen klappt das dann analog.

Da wäre es dann:
$f(x)=-f(-x)$
dann muss auch gelten: $[f(x)]'=[-f(-x)]'$

$[f(x)]'=f'(x)$
$[-f(-x)]'=-(-f'(-x))=f'(-x)$

und somit $f'(x)=f'(-x)$ also eine gerade Funktion. :-)

Dann werde ich mich jetzt mal an den zweiten Teil der Aufgabe machen...

Viele Grüße und danke
Bastiane
[banane]





Bezug
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