differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 08.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
eine defintion der differenzierbarkeit einer funktion f in dem punkt [mm] x_0 [/mm] ist folgende:
Eine Funktion f ist differenzierbar an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] ihres Definitionsbereichs genau dann, wenn eine reelle Zahl a und eine Funktion g (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass:
[mm] f(x_0+h)=f(x_0)+a*h+g(h)
[/mm]
und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich [mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] für [mm] h\to0 [/mm] ) Den Wert a bezeichnet man als die Ableitung von f an der Stelle x0.
was ich nicht genau daran verstehe ist folgendes:
durch das [mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] für [mm] h\to0 [/mm] wird ja irgendwie festgelegt, dass man durch [mm] f(x_0)+a*h [/mm] die tangente an dem punkt bekommt oder nicht? nur warum genau ist das so?
[mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] für [mm] h\to0 [/mm] sagt doch eigentlich "nur" aus, dass g(h) schnell gegen 0 gehen muss als h für [mm] h\to0 [/mm] oder? warum hat man damit dann genau festgelegt, dass man die tangente erwischt?
hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)
gruß ari ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mo 08.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Tangente ist doch [mm] y=f(x_0)*a*(x-x_0)
[/mm]
das ist ne Gerade durch [mm] (x_0),f(x_0)) [/mm] mit der Steigung a und das bezeichnet man als Tangente, weil man a als Steigung des Graphen bezeichnet. Du kannst statt Tangente auch best mögliche lineare Näherung sagen.
Oder ich hab dein Problem nicht verstanden. Genau wie "Steigung in einem Punkt" nicht berechnet, sondern definiert wird, wird auch die Tangente definiert und nicht berechnet. Allerdings beides so, dass es der "primitiven" Anschauung nicht widerspricht und sie nur präzisiert. Wie definierst du denn eine Tangente?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:38 Di 09.10.2007 | | Autor: | AriR |
frage ich mal anders.
warum stellt die bedingung [mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] für [mm] h\to0 [/mm] sicher, dass die gerade $ [mm] y=f(x_0)\cdot{}a\cdot{}(x-x_0) [/mm] $
die best mögliche lineare Näherung ist?
hoffe das ich mich so etwas verständlicher ausdrücke :)
danke schonmal und gruß ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 09.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(x_0+h)-y(x_0+h)=g(h)
heisst z.bsp dass die durch y def. Tangente zwischen Tangente an 2Parabeln ist, die die Kurve bei [mm] x_0 [/mm] einklemmen, oder an 2 Kreise, die die Kurve einklemmen.
Kannst du dir denn ne bessere Näherung vorstellen? es ist ja nicht verboten, dass g(h)mit [mm] h^8 [/mm] gegen 0 geht, aber das kann man niicht bei jeder Kurve erreichen.
Wenn man die Kurve zwischen 2 Kurven der Form [mm] k^x^8 [/mm] einklemmen kann, dann bekommt man auch dieses g.
Solange du keine bessere lim. Näherung allgemein finden kannst ist das die beste Möglichkeit!
Stört dich vielleicht, dass die lin Näherung für verschieden Funktionen verschieden große Fehler hat? das liegt ja aber an der allgemeinen def, für alle diffb. Funktionen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 09.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich glaube so langsam verstehe ich das
das [mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] sagt eigentlich, dass der fehlerterm schneller als linear gegen 0 gehen muss.
wenn man sich das jetzt graphisch veranschaulicht wäre das also folgendes:
wenn man sagen mir mal eine funktion f hat und die tangente an den punkt [mm] f(x_0) [/mm] anglegt heißt das doch z.B für den fehlerterm [mm] g(h):=h^2, [/mm] dass wenn man die parabel genau in den punkt [mm] f(x_0) [/mm] einträgt, die tangente schön gleichmäßig unten an der parabel verläuft wie zB die x-achse bei der standardparabel f(x)=x oder?
und der fehlerterm hat durch [mm] \bruch{g(h)}{h}\to0 [/mm] min den grad 2... je höher der grad um so genauer ist die approximation oder?
ist das so richtig? :)
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 09.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich verstehe dein unten gesagtes Beispiel nicht so ganz. Wenn du dir das grafisch vorstellen möchtest, dann besagt die Definition lediglich, dass die Tangente in der Nähe von [mm] x_{0} [/mm] sehr gut übereinstimmt.
Dabei erfüllt der Fehlerterm gerade die genannte Bedingung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 09.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich hab das mal versucht aufzuzeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
rot ist die tangente t
grün die parabel P
der fehlerterm sagt doch jetzt sozusagne nur aus, das man min so eine parabel an dem punkt legen kann und die tangente so dadrunter verlaufen muss, da sie nur im scheitepunkt der parabel einen schnittpunkt damit hat oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Di 09.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das wasdu geigzeichnet hast ist bis auf die Parabel richtig. Die Parabel versthe ich nicht, die hat doch damit gar nichts zu tun. Der Fehlerterm muss keine Parabel sein, wenn das damit gemein, er muss nur die genannte Abschätzung erfüllen, was bedeutet, dass er sehr schnell gegen 0 (schneller als h) gegen 0 konvergiert.
Das bedeutet, dass der Fehlerterm g(h) z.B. so aussehen könnte:
g(h)=h²
g(h)=h³, aber nicht so:
g(h)=1+h²
g(h)=h.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 09.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich mein ja im schlechtesten fall ist es ne parabel.. also es muss mindestens eine parabel sein, das ist doch richtig oder? also damit der fehlerterm g(h) schneller gegen 0 geht als h muss es ja einfach nur schneller als linear gegen 0 gehen und das ist min ne parabel oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
g muss schneller als linear gegen 0 streben, muss aber kein Polynom sein.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 10.10.2007 | | Autor: | AriR |
ne dumme frage jetzt vllt, aber wäre zB eine solche funktion, die langsamer als [mm] f(x)=x^2 [/mm] wächst aber schneller f(x)=x??
ja deine antwort hat ca das bestätigt was ich vermutet habe :)
danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 10.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel [mm] f(x)=x^{1,5}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Mi 10.10.2007 | | Autor: | AriR |
:D klar sorry für die frage +g+
|
|
|
|
