differenzierung u differentia. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 02.05.2009 | | Autor: | scr3tchy |
| Aufgabe 1 | | Für die Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 3 soll im Intervall I = [1,4] gezeigt werden, ob sie beschränkt und monoton ist. Außerdem soll der größte und kleinste Funktionswert von f angegeben werden. Hat f eine Nullstelle in I? Nimmt f die Werte -5, 3, 10 an??? |
| Aufgabe 2 | Für die Funkion f(x) soll gezeigt werden, ob sie differenzierbar ist, an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 2
[mm] f(n)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{falls } x < 2 \\ (x - 4)^{2}, & \mbox{falls } x >= 2 \end{cases} [/mm] |
Bei der ersten Aufgabe weiß ich noch nich so ganz wie ich da ran gehen soll....wobei beschränktheit und monotonie ist mir klar wie ich das zeigen kann...jedoch noch nich so wirklich in einem Intervall....
Die zweite Aufgabe habe ich bereits gelöst. Wollte nur fragen, ob wirklich für linksseitig 4 und für rechtsseitig -4 raus kommt....und ich weiß noch nich so wirklich was das heißt....is das nun differenzierbar oder nur linksseitig/rechtsseitig differenzierbar...
Hoffe mir kann hier jemand helfen.... :)
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> Für die Funktion f(x) = [mm]x^{2}[/mm] - 3 soll im Intervall I =
> [1,4] gezeigt werden, ob sie beschränkt und monoton ist.
> Außerdem soll der größte und kleinste Funktionswert von f
> angegeben werden. Hat f eine Nullstelle in I? Nimmt f die
> Werte -5, 3, 10 an???
> Für die Funkion f(x) soll gezeigt werden, ob sie
> differenzierbar ist, an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] = 2
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{falls } x < 2 \\ (x - 4)^{2}, & \mbox{falls } x >= 2 \end{cases}[/mm]
>
> Bei der ersten Aufgabe weiß ich noch nich so ganz wie ich
> da ran gehen soll....wobei beschränktheit und monotonie ist
> mir klar wie ich das zeigen kann...jedoch noch nich so
> wirklich in einem Intervall....
Hallo,
such mal ein bißchen in Deiner Vorlesungsmitschrift.
Ihr hattet bestimmt, daß stetige Funktionen über kompakten Intervallen ihr Minimum und Maximum annehmen. Damit hast Du's dann eigentlich schon.
Monotonie? Schau die Ableitungen im Intervall (1,4) an. Sind die alle positiv oder alle negativ?
Größter und kleinster Funktionswert: das Procedere mit der Extremwertbestimmung kennst Du ja, wenn Dir der Verlauf des Graphen bekannt ist, wirst Du wissen, daß Du mithilfe von f'(x)=0 usw. keinen im besagten Intervall finden wirst.
Du wirst auch zuvor gezeigt haben, daß die Funktion monoton ist.Wo wird sie dann also den größten und kleinsten Wert haben. (Gesunden Menschenverstand verwenden..)
> Die zweite Aufgabe habe ich bereits gelöst. Wollte nur
> fragen, ob wirklich für linksseitig 4 und für rechtsseitig
> -4 raus kommt....und ich weiß noch nich so wirklich was das
> heißt....is das nun differenzierbar oder nur
> linksseitig/rechtsseitig differenzierbar...
Veilleicht sagst Du hier ggf. nachmal genauer, was Du getan hast.
Zunächst wäre die Stetigkeit zu prüfen, im Falle der Unstetigkeit kann man gleich zu Bett gehen, denn dann kann sie nicht diffbar sein.
Die Diffbarkeit steht ja nur an der Stelle x=2 in Fragex=2 nicht differenzierbar.
Berechnest Du den Limes des Differenzenquotienten von rechts, dann bekommst Du 4, von links -4. Also hat der Diffenrenzenquotient keinen Grenzwert, somit ist die Funktion in x=2 nicht diffbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Sa 02.05.2009 | | Autor: | scr3tchy |
> Ihr hattet bestimmt, daß stetige Funktionen über kompakten
> Intervallen ihr Minimum und Maximum annehmen. Damit hast
> Du's dann eigentlich schon.
also ich hab schon gestern das skript und meine mitschrift durchsucht und nichts dergleichen gefunden...leider....deshalb hoffe ich ja das mir das hier jemand erklären kann..wie funktioniert das denn genau mit dem kompakten intervall????
> Die Diffbarkeit steht ja nur an der Stelle x=2 in Fragex=2
> nicht differenzierbar.
>
> Berechnest Du den Limes des Differenzenquotienten von
> rechts, dann bekommst Du 4, von links -4. Also hat der
> Diffenrenzenquotient keinen Grenzwert, somit ist die
> Funktion in x=2 nicht diffbar.
bei der zweiten aufgabe habe ich wie du schon gesagt hast den grenzwert berechnet....und dort habe ich genau wie du diese ergebnisse raus bekommen....doch allerding umgekehrt....also von rechts -4 und von links 4....isdenn die funktion einfach nicht differenzierbar....oder einfach nur linksseitig differenzierbar oder rechtsseitig differenzierbar?????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zur Aufgabe 1:
Beschränktheit: Verwende [mm] $x\leqslant [/mm] 4$ [mm] $\forall\,x\in[1,4]$
[/mm]
[mm] $x^2-3
Monotonie: Zu zeigen ist, dass [mm] $f(x)=x^2-3$ [/mm] in $[1,4]$ streng mon. wachsend ist, d.h.
[mm] $\forall\,x,y\in[1,4]$ [/mm] mit $x<y$: $f(x)<f(y)$
Beweis: Sei [mm] $1\leqslant [/mm] x<y$ mit [mm] $x,y\in[1,4]$ [/mm] beliebig, dann gilt [mm] $x^2
[mm] $f(x)=x^2-3
Größter/Kleinster Funktionswert: Da $f$ auf dem Intervall $[1,4]$ streng monoton wachsend ist, nimmt die Funktion $f$ ihren größten (bzw. kleinsten) Funktionswert an der rechten (bzw. linken) Intervallgrenze, also in $x=4$ (bzw. $x=1$) an. Demnach ist der größte Funktionswert
[mm] $f(4)=4^2-3=16-3=13$
[/mm]
und der kleinste Funktionswert
[mm] $f(1)=1^2-3=1-3=-2$
[/mm]
Nullstelle: Da hattet ihr sicherlich den Zwischenwertsatz in der Vorlesung. Aus ihm folgt die Existenz einer Nullstelle [mm] $x_0\in]1,4[$. [/mm] Alternativ kannst Du diese Nullstelle auch mit der Schulmathematik berechnen, indem Du [mm] $x_0\in]1,4[$ [/mm] bestimmst mit
[mm] $f(x_0)=x_0^2-3\overset{!}{=}0$
[/mm]
(Lösung: [mm] $x_0=\sqrt{3}\in]1,4[$)
[/mm]
Werte $-5$, $3$, $10$: Dass der Wert $-5$ nicht angenommen werden kann, sieht man sofort, da die Funktion bei $-2$ im Intervall $[1,4]$ ihren kleinsten Funktionswert besitzt. Der Wert $3$ kann im Intervall $[1,4]$ angenommen werden, denn:
[mm] $f(x)=x^2-3\overset{!}{=}3\;\Longrightarrow\;x^2=6\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{6}\in[1,4]$
[/mm]
Ebenso kann der Funktionswer $10$ im Intervall $[1,4]$ angenommen werden, denn:
[mm] $f(x)=x^2-3\overset{!}{=}10\;\Longrightarrow\;x^2=13\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{13}\in[1,4]$
[/mm]
zur Aufgabe 2:
Zeichne Dir zunächst einmal den Funktionsgraphen. Da der Graph im Punkt $x=2$ spritz zusammen läuft (ähnlich: Betragsfunktion in $x=0$), liegt die Vermutung nahe, dass die Funktion dort nicht differenzierbar ist. Die Funktion $f$ ist genau dann in [mm] $x_0=2$ [/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm] $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
existiert. Berechne nun den Grenzwert für [mm] $x\to x_0$ [/mm] mit $x>2$ und den Grenzwert für [mm] $x\to x_0$ [/mm] mit $x<2$. Beispiel:
[mm] $\lim_{x\to x_0, x<2}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}x+x_0=2x_0$
[/mm]
Mache die nun mal selbst den Grenzwert für den anderen Fall. Für [mm] $x_0=2$ [/mm] siehst Du anschließend, dass die Grenzwerte nicht übereinstimmen, womit der Grenzwert nicht existiert und die Funktion in [mm] $x_0=2$ [/mm] nicht differenzierbar ist.
So jetzt habe ich Dir sehr ausführlich alle Lösungen erklärt und hoffe, dass Dir das weiterhilft.
Gruß Denny
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