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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - dim
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dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:25 Di 26.05.2009
Autor: Foster

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt
dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2

Für welche x [mm] \in \IR [/mm] gilt
dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2

Muß ich um herauszufinden für welche x das gilt die Determinante ausrechnen?

[mm] \pmat{ 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x } [/mm]

die ersten beiden Spalten setze ich hinten dran und rechne die Determinante aus.

(3-x ) * (2-x) *(3-x) + (-1) * (-1) * 0 + 0 * (-1) * (-1) - 0 * (2-x) * 0 - (-1) * (-1) * (3-x) - (3-x) * (-1) * (-1) = 2

Dann bekomme ich für x drei Werte heraus.

Ist mein Ansatz richtig?

        
Bezug
dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Di 26.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
>  dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
>  
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] gilt
>  dim ( { (3-x,-1,0), (-1,2-x,-1), (0,-1, 3-x) } ) = 2
>  
> Muß ich um herauszufinden für welche x das gilt die
> Determinante ausrechnen?
>  
> [mm]\pmat{ 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x }[/mm]
>  
> die ersten beiden Spalten setze ich hinten dran und rechne
> die Determinante aus.
>  
> (3-x ) * (2-x) *(3-x) + (-1) * (-1) * 0 + 0 * (-1) * (-1) -
> 0 * (2-x) * 0 - (-1) * (-1) * (3-x) - (3-x) * (-1) * (-1) =
> 2
>  
> Dann bekomme ich für x drei Werte heraus.
>  
> Ist mein Ansatz richtig?

Hallo,

nicht ganz.

Das  =2-Setzen der Determinante ist verkehrt.

Mithilfe der Determinante kannst Du herausfinden, für welche x die matrix nicht invertierbar ist, für welche x sie also einen von 3 verschiedenen Rang hat.

Für diese x ist nämlich det=0.

Das bzw, die errechnenten x kannst Du dann nehmen, in die Matrix einsetzen und für diese den Rang berechnen.

Gruß v. Angela



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dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 29.05.2009
Autor: Foster

Das habe ich verstanden und bekomme vernünftige Lösungen heraus.

Aber was mache ich denn wenn ich

Es sei U = {(a,b,a+b,a-b) | a,b [mm] \in \IR [/mm] }
a) Zeigen Sie : dim (U) = 2
b) Erweitern Sie die MEngen {(2,1,3,1)} zu einer Basis U.

zu a) wie kann ich denn hier den Rang bestimmen? Ich habe doch lediglich nur den einen Vektor.

zu b) [mm] \pmat{ a & b & a+b & a-b \\ 2 & 1 & 3 & 1} [/mm]
wie gehe ich dann weiter vor?

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Bezug
dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 29.05.2009
Autor: leduart

Hallo
Du hast nicht nur einen Vektor, da ja [mm] a,b\in \IR [/mm] also etwa a=1 [mm] b=\pi [/mm] usw.
der Vektor (1,0,1,1) iat einer von U (0,1,1,-1) auch das sind schon mal 2 lin unabh.
der Vektor (2,2,3,1) liegt auch in U
Du hast wohl was missverstanden.
Gruss leduart

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dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Fr 29.05.2009
Autor: Foster

Stimmt...ich habe wohl die Aufgabenstellung falsch verstanden.

Kann ich nun um zu beweisen das dim (U) = 2 ist, einfach für a und b mehrere Werte nehmen (jeweils 3 verschiedene) und damit nachweisen, das die Aussage stimmt?
Kann man das so beweisen? ... weil es ja eigentlich nur beispiele sind.

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dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Fr 29.05.2009
Autor: angela.h.b.


> > Es sei U = [mm] \{(a,b,a+b,a-b) | a,b \in \IR \} [/mm]
> > a) Zeigen Sie : dim (U) = 2


> Kann ich nun um zu beweisen das dim (U) = 2 ist, einfach
> für a und b mehrere Werte nehmen (jeweils 3 verschiedene)
> und damit nachweisen, das die Aussage stimmt?
>  Kann man das so beweisen? ... weil es ja eigentlich nur
> beispiele sind.

Hallo,

nein, so geht das nicht.

Wir wissen, daß in U nur Vektoren dieser Machart  sind [mm] \vektor{a\\b\\a+b\\a-b}. [/mm]    (Schreib die ruhig als Spalten, aich wenn's eetwas mühsamer ist. Es ist übersichtlicher.)

Was ist die Dimension eines Vektorraumes? Die Anzahl der Elemente seiner Basis.

Damit steht der Plan: wir bestimmen eine Basis von U.

Was ist ein Basis? Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Oben hatte wir festgestellt, daß man jedes [mm] x\in [/mm] U schreiben kann als [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}. [/mm]

Dies dröseln wir jetzt so auf, daß man ein Erzeugendensystem von U sieht:

[mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=a*\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] + [mm] b*\vektor{...\\...\\...\\...}. [/mm]

Mal schauen, was Du damit tust.

Gruß v. Angela


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dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Sa 30.05.2009
Autor: Foster

Ich habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehe.

Es ist mir klar was ich machen muß,  wenn ich z.b.  wie in der Aufgabe  http://www.matheforum.net/read?t=520178  Vektoren geben habe, was ich machen muß.

Tue mich total schwer damit...... und kann es mir nicht vorstellen.

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dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Sa 30.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Ich habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehe.

Hallo,

hast Du denn den Lückentext ausgefüllt?

Falls nicht, noch ein Zwischenschritt:

$ [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...} [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}\vektor{...\\...\\...\\...}. [/mm] $

Diese Darstellung der Vektoren, die in U sind, brauchen wir. Danach kann man weiterreden.

Gruß v. Angela


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dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Sa 30.05.2009
Autor: Foster

$ [mm] x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}\vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] $

und nun???

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dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Sa 30.05.2009
Autor: angela.h.b.


>
> [mm]x=\vektor{a\\b\\a+b\\a-b}=\vektor{a\\0\\a\\a}+\vektor{0\\b\\b\\-b}=a\cdot{}\vektor{1\\0\\1\\1}[/mm]
> + [mm]b\cdot{}\vektor{0\\1\\1\\-1}.[/mm]
>  
> und nun???

Nun freust Du Dich, denn Du weißt, mit welchen beiden Vektoren Du jeden Vektor der in U ist, als Linearkombination darstellen, also erzeugen, kannst.
Du hast also ein ... gefunden.

Wenn Du jetzt noch glaubhaft machen kannst, daß die beiden zusätzlich linear unabhängig sind, hast Du eine ... von U gefunden, und damit kennst Du die Dimension.

Gruß v. Angela



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Bezug
dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Sa 30.05.2009
Autor: Foster

Aha .....wa ja garnicht so schwer.....

wenn ich nun  

1a + 0 | 0
0 + 1b | 0
1a +1b| 0
1a +1b|0   setze und das mit dem Gaußverfahren berechne bekomme ich

1a - 1b | 0
0   - 2b | 0
0      0  | 0
0      0  | 0     und somit für b = 0 und a = 0 heraus.  => linear unabhängig


und gleichzeitig rang = 2 heraus.
Ist das so richitg?

Was mache ich nun, wenn ich die Menge um (2,1,3,1) erweitern soll?

Habe ich dann

x = [mm] \vektor{a + 2 \\ b +1 \\ a-b+3 \\ a-b +1} [/mm]  ?

Das kann ich dann wieder auseinander dröseln in

[mm] \vektor{a \\ 0 \\ a \\ a} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ b \\ b \\ -b} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1} [/mm]

.... dann ebenfalls wieder die lineare unabhängigkeit rpüfen in dem ich


1a + 0 + 2| 0
0 + 1b +1 | 0
1a +1b+ 3| 0
1a +1b +1|0

Stimmt das soweit?

Bezug
                                                                                        
Bezug
dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Sa 30.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Aha .....wa ja garnicht so schwer.....
>  
> wenn ich nun  
>
> 1a + 0 | 0
>  0 + 1b | 0
>  1a +1b| 0
>  1a +1b|0   setze und das mit dem Gaußverfahren berechne
> bekomme ich
>  
> 1a - 1b | 0
>  0   - 2b | 0
>  0      0  | 0
>  0      0  | 0     und somit für b = 0 und a = 0 heraus.  
> => linear unabhängig

Hallo,

Dein Gaußverfahren sieht zwar etwas skurril aus, aber das Ergebnis ist richtig.

Normalerweise würde man hier die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] $ in eine matrix schreiben und diese auf ZSF bringen. (hier sieht man ja sowieso gleich, daß sie l.u. sind.)

> und gleichzeitig rang = 2 heraus.
> Ist das so richitg?

Ja. Der Rang der Matrix ist 2, also der aufgespannte Raum die Dimension 2.  

Nochmal in aller Deutlichkeit, weil ich mir nicht sicher bin, ob es Dir richtig klar ist:

die beiden Basisvektoren sind [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1}. [/mm] Nix mit a und b drin!
Und aus diesen beiden Vektoren kannst Du sämtlcihe Elemente basteln, die in U enthalten sind.

>  
> Was mache ich nun, wenn ich die Menge um (2,1,3,1)
> erweitern soll?

(Das ist aber nicht die Aufgabenstellung, die Du gepostet hattest!)

       Dann hast Du drei Vektoren,  [mm] \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1} [/mm] und den Erweiterungsvektor, stellst fest, welchen Rang die Matrix, die die drei Vektoren in den Spalten hat, hat und kennst die Dimension des aufgespannten Raumes


Gefragt war allerdings etwas anderes: Du solslt eine Basis von U finden, deren eines Element der Vektor [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] ist.

Für die Vorgehensweis hier gibt es verschiedene Möglichkeiten:

1. experimentell: Du probierst einfach solange, bis Du einen Vektor aus U gefunden hast, so daß die beiden linear unabhängig sind. Ich denke, daß Du schnell fündig wirst.

2. Du denkst in Richtung Basisergänzugs/-austauschsatz.

Gruß v. Angela





Bezug
                                                                                                
Bezug
dim: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 30.05.2009
Autor: Foster

Vielen dank für die Hilfe..... werde mich morgen weiter damit befassen.

Gruß Foster :-))

Bezug
                                                                                                
Bezug
dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 So 31.05.2009
Autor: Foster

Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die Basis von U der Vektor $ [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] $ ist?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 So 31.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die
> Basis von U der Vektor [mm]\vektor{2\\1\\3\\1}[/mm] ist?

Hallo,

nein.

Hier scheint mir einiges durcheinanderzugehen, bloß weiß ich noch nicht genau, was alles.

Es war U:= [mm] \{(a,b,a+b,a-b) | a,b \in \IR \}, [/mm] U enthält also sämtliche Vektoren der Machart [mm] \vektor{a\\b\\a+b\\a-b}, [/mm] und Du hattest festgestellt, daß [mm] \vektor{1\\0\\1\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1\\-1} [/mm] zusammen eine Basis dieses raumes bilden. Dieser Raum hat also die Dimension 2, dh. jede Basis von U enthält zwei Elemente.


> Stimmt es, wenn ich für a = 2 und für b = 1 nehme, die
> Basis von U der Vektor [mm]\vektor{2\\1\\3\\1}[/mm] ist?

Diese Formulierung "wenn ich für a=2 und für b=3 nehme, ist die Basis von U" paßt einfach überhaupt gar nicht zur Situation.
Richtig ist, daß, da Du ja a=2 und b=1 wählen kannst, der Vektor [mm] \vektor{2\\1\\3\\1} [/mm] ein Element von U ist, und da er von Null verschieden ist, kannst Du ihn, wenn Du Lust hast oder dies tun sollst, als einen der Basisvektoren nehmen.

Um zu einer Basis zu kommen, benötigst Du einen weiteren Vektor aus U, so daß die beiden linear unabhängig sind.

Gruß v. Angela

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