dim V unendl -> Folge von URen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 20.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = [mm] \infty [/mm] . Beweisen Sie : Es exisitiert eine unendliche Folge [mm] (U_i [/mm] ) von Unterräumen von V, so dass gilt
(i) [mm] U_1\subset U_2\subset [/mm] ... [mm] \subset U_i \subset [/mm] ...
(ii) dim [mm] U_i [/mm] = i für i [mm] \in [/mm] I. |
Hi,
eine Aufgabe, die anschaulich recht klar ist, bei dir mir jedoch eine konkrete Idee für die Herangehensweise fehlt.
Ein kleiner Ansatz würde mir bestimmt einiges weiterhelfen :)
lg unr8d
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst " .....unendliche Folge $ [mm] (U_i [/mm] $ ) " und später ".....dim $ [mm] U_i [/mm] $ = i für i $ [mm] \in [/mm] $ I"
Daher wird wohl sein: I = [mm] \IN
[/mm]
Wenn ja, so verschaffe Dir eine Folge [mm] (b_i) [/mm] in V mit: [mm] $\{ b_1,b_2,b_3, ... \}$ [/mm] linear unabhängig.
Warum geht das ?
Wenn wir mit [M] die lineare Hülle einer Teilmenge von V bezeichnen, so setze
[mm] $U_1=[\{b_1\}]$
[/mm]
Wie würdest Du nun [mm] U_i [/mm] für i [mm] \ge [/mm] 2 definieren ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mo 20.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hi Fred,
danke ich denke das Prinzip hab ich verstanden.
ob [mm] I=\IN [/mm] ist wird konkret nicht erwähnt, aber mit I unendlich; 1,2,..,i,... und i [mm] \in [/mm] I wird das wohl so sein.
Eine unendliche Folge [mm] (b_i [/mm] ) mit [mm] \{b_1 ,b_2 ,b_3 ,...\} [/mm] linear unabhängig gibt es, weil die Basis meines Vektorraumes unendlich viele lin. unabh. Elemente hat, die ich als Folgeglieder her nehmen kann.
Wie schreibe ich das korrekt hin?
Dann wäre mit [mm] U_i [/mm] = [mm] span\{b_1,...,b_i\} [/mm] bzw [mm] [\{b_1 ,...,b_i\}] i\in [/mm] I die gesuchte Folge wohl gefunden.
Stimmt das?
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Huhu,
> Eine unendliche Folge [mm](b_i[/mm] ) mit [mm]\{b_1 ,b_2 ,b_3 ,...\}[/mm]
> linear unabhängig gibt es, weil die Basis meines
> Vektorraumes unendlich viele lin. unabh. Elemente hat, die
> ich als Folgeglieder her nehmen kann.
> Wie schreibe ich das korrekt hin?
Genau so.
> Dann wäre mit [mm]U_i[/mm] = [mm]span\{b_1,...,b_i\}[/mm] bzw [mm][\{b_1 ,...,b_i\}] i\in[/mm]
> I die gesuchte Folge wohl gefunden.
> Stimmt das?
Jap.
MFG,
Gono.
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