diophantische Gleichungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Di 27.09.2005 | | Autor: | unixfan |
Hallo!
Es sei einleitend folgende vergleichsweise sehr einfache diophantische Gleichung gegeben:
[mm]x_1+x_2=2[/mm] [mm]x_1,x_2 \in \IN_0[/mm]
Die Gleichung hat offensichtlich 3 Lösungen (0+2, 2+0, 1+1).
Ich wüsste gerne allgemein, wieviele Lösungen es bei folgender Gleichung gibt (in Abhängigkeit von y und n):
[mm]\summe_{k=1}^{n} x_k = y[/mm] [mm]x_k, y \in \IN_0[/mm]
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll, obwohl das Problem sicher nicht soooo ungewöhnlich ist...
Viele Dank für Antworten im vorraus.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Di 27.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Peter,
diese Mitteilung ist ernst gemeint, auch wenn sie dir vielleicht nicht so vorkommt.
>
> Es sei einleitend folgende vergleichsweise sehr einfache
> diophantische Gleichung gegeben:
>
> [mm]x_1+x_2=2[/mm] [mm]x_1,x_2 \in \IN_0[/mm]
>
> Die Gleichung hat offensichtlich 3 Lösungen (0+2, 2+0,
> 1+1).
>
> Ich wüsste gerne allgemein, wieviele Lösungen es bei
> folgender Gleichung gibt (in Abhängigkeit von y und n):
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k = y[/mm] [mm]x_k, y \in \IN_0[/mm]
>
> Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll,
> obwohl das Problem sicher nicht soooo ungewöhnlich ist...
Geh doch doch mal ran wie ein Experimentalphysiker! Probier das für kleine n und kleine y und stell eine Hypothese erst auf und dann ins Netz.
> Viele Dank für Antworten im vorraus.
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Viel Spaß und Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo unixfan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei einleitend folgende vergleichsweise sehr einfache
> diophantische Gleichung gegeben:
>
> [mm]x_1+x_2=2[/mm] [mm]x_1,x_2 \in \IN_0[/mm]
>
> Die Gleichung hat offensichtlich 3 Lösungen (0+2, 2+0,
> 1+1).
das ist erklärbar.
Nehmen wir allgemeine die Gleichung [mm]x_{1} \; + \;x_{2} \; = \;y\;\;x_{1,} \;x_{2} ,\;y\; \in \;\IN_{0} [/mm]
Die Lösungen ergeben sich zu:
[mm]
\begin{gathered}
x_1 \; = \;y\; - \;t \hfill \\
x_2 \; = \;t \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun, muß aber [mm]x_1 \; \geqslant \;0[/mm] und [mm]\[
x_2 \; \geqslant \;0[/mm] sein.
Durch Wahl des [mm]x_{2}[/mm]-Wertes ist der [mm]x_{1}[/mm]-Wert festgelegt. Und da [mm]x_{2}\; \in \;\IN_{0}[/mm] und die Werte 0...y annehmen kann gibt es y+1 Lösungen in [mm]\IN_{0}[/mm].
>
> Ich wüsste gerne allgemein, wieviele Lösungen es bei
> folgender Gleichung gibt (in Abhängigkeit von y und n):
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k = y[/mm] [mm]x_k, y \in \IN_0[/mm]
>
Da kannst Du die Anzahl der Lösungen auch nach dem obigen Ansatz ermitteln.
Gruß
MathePower
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