direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm] $W_1+ [/mm] ... [mm] W_r$ [/mm] genau dann eine direkte Summe ist, wenn für jede [mm] $x_1 \in W_i$ [/mm] aus [mm] $0=x_1+...+x_r$ [/mm] folgt, dass [mm] $x_1=x_2=...=x_r=0$ [/mm] für alle $i=1,...,r$ |
Hallo,
ich habe beim Lösen dieses beweises große probleme.
Ich hoffe mir kann jemand einen Denkanstoß geben. Bei Beweisen habe ich immer so meine Probleme und ich weiß nie wie ich an soetwas herangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralf,
> Beweisen Sie, dass [mm]W_1+ ... W_r[/mm] genau dann eine direkte
> Summe ist, wenn für jede [mm]x_1 \in W_i[/mm]
meinst Du "... für jedes [mm] $x_{\red{i}} \in W_i$ [/mm] ..."
> aus [mm]0=x_1+...+x_r[/mm]
> folgt, dass [mm]x_1=x_2=...=x_r=0[/mm] für alle [mm]i=1,...,r[/mm]
> Hallo,
> ich habe beim Lösen dieses beweises große probleme.
> Ich hoffe mir kann jemand einen Denkanstoß geben. Bei
> Beweisen habe ich immer so meine Probleme und ich weiß nie
> wie ich an soetwas herangehen soll.
Erste Frage: Wie habt ihr die direkte Summe genau definiert?
Dann eine Bemerkung: Die Formulierung der Aussage oben ist ein wenig
unsinnig (nicht falsch), denn rechterhand sollte man sich entscheiden,
ob man [mm] $x_i=0\,$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,r$ [/mm] schreibt, oder [mm] $x_1=x_2=\ldots=x_r=0\,$
[/mm]
oder aber [mm] $x_i=0$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,\ldots,r\}\,.$ [/mm] Der Aufgabensteller hat da
alle drei Notationen in einer zusammegemischt.
Nun zu Deiner Aufgabe: "Genau dann" bedeutet [mm] "$\iff\,,$" [/mm] d.h. Du hast
zwei Folgerungen zu zeigen (bei der Aufgabe stehen sicher auch noch
mehr Voraussetzungen an die [mm] $W_i$ [/mm] - ich nehme zudem an, dass ihr die
![[]](/images/popup.gif) Innere direkte Summe (klick!) als direkte Summe bezeichnet?!):
1. [mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Nach Voraussetzung ist [mm] $W_1+\ldots+W_r$ [/mm] hier direkte
Summe.
Zu zeigen ist nun: Gilt [mm] $x_1+\ldots+x_r=0$ [/mm] mit [mm] $x_i \in W_i$ ($i=1,\ldots,r$),
[/mm]
so folgt schon [mm] $x_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,r\,.$
[/mm]
2. [mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Nach Voraussetzung gilt: Aus [mm] $x_1+\ldots+x_r=0$ [/mm] mit [mm] $x_i \in W_i$ [/mm]
[mm] ($i=1,\ldots,r$) [/mm] folgt stets schon [mm] $x_i=0$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,r\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist nun: Dann muss [mm] $W_1+\ldots+W_r$ [/mm] direkte Summe sein!
So: Fängst Du nun mal mit einer Beweisrichtung an (nachdem Du uns
nachgeliefert hast, wie ihr "direkte Summe" definiert habt, und welche
Voraussetzungen an [mm] $W_i\,$ [/mm] noch gestellt werden - die sollen doch sicher
alle Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums sein...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo Ralf,
>
> > Beweisen Sie, dass [mm]W_1+ ... W_r[/mm] genau dann eine direkte
> > Summe ist, wenn für jede [mm]x_1 \in W_i[/mm]
>
> meinst Du "... für jedes [mm]x_{\red{i}} \in W_i[/mm] ..."
>
> > aus [mm]0=x_1+...+x_r[/mm]
> > folgt, dass [mm]x_1=x_2=...=x_r=0[/mm] für alle [mm]i=1,...,r[/mm]
> > Hallo,
> > ich habe beim Lösen dieses beweises große probleme.
> > Ich hoffe mir kann jemand einen Denkanstoß geben. Bei
> > Beweisen habe ich immer so meine Probleme und ich weiß nie
> > wie ich an soetwas herangehen soll.
>
> Erste Frage: Wie habt ihr die direkte Summe genau
> definiert?
Danke erst einmal
unsere Definition lautet wie folgt:
[mm] $W_1,...,W_r$ [/mm] seien Teilräume von W
V ist nun eine direkte Summe aus [mm] $W_1,...,W_r$ [/mm] wenn sich jeder Vektor aus V auf nur 1 weise als linearkombination der Vektoren
[mm] $x_1,...,x_r$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in W_i$ [/mm] (i=1,...,r) darstellen lässt
>
> Dann eine Bemerkung: Die Formulierung der Aussage oben ist
> ein wenig
> unsinnig (nicht falsch), denn rechterhand sollte man sich
> entscheiden,
> ob man [mm]x_i=0\,[/mm] für [mm]i=1,\ldots,r[/mm] schreibt, oder
> [mm]x_1=x_2=\ldots=x_r=0\,[/mm]
> oder aber [mm]x_i=0[/mm] für alle [mm]i \in \{1,\ldots,r\}\,.[/mm] Der
> Aufgabensteller hat da
> alle drei Notationen in einer zusammegemischt.
>
> Nun zu Deiner Aufgabe: "Genau dann" bedeutet "[mm]\iff\,,[/mm]" d.h.
> Du hast
> zwei Folgerungen zu zeigen (bei der Aufgabe stehen sicher
> auch noch
> mehr Voraussetzungen an die [mm]W_i[/mm] - ich nehme zudem an, dass
> ihr die
>
> Innere direkte Summe (klick!)
> als direkte Summe bezeichnet?!):
>
> 1. "[mm]\Rightarrow[/mm]": Nach Voraussetzung ist [mm]W_1+\ldots+W_r[/mm]
> hier direkte
> Summe.
>
> Zu zeigen ist nun: Gilt [mm]x_1+\ldots+x_r=0[/mm] mit [mm]x_i \in W_i[/mm]
> ([mm]i=1,\ldots,r[/mm]),
> so folgt schon [mm]x_i=0[/mm] für [mm]i=1,\ldots,r\,.[/mm]
>
> 2. "[mm]\Leftarrow[/mm]": Nach Voraussetzung gilt: Aus
> [mm]x_1+\ldots+x_r=0[/mm] mit [mm]x_i \in W_i[/mm]
> ([mm]i=1,\ldots,r[/mm]) folgt stets schon [mm]x_i=0[/mm] für
> [mm]i=1,\ldots,r\,.[/mm]
>
> Zu zeigen ist nun: Dann muss [mm]W_1+\ldots+W_r[/mm] direkte Summe
> sein!
>
> So: Fängst Du nun mal mit einer Beweisrichtung an (nachdem
> Du uns
> nachgeliefert hast, wie ihr "direkte Summe" definiert habt,
> und welche
> Voraussetzungen an [mm]W_i\,[/mm] noch gestellt werden - die sollen
> doch sicher
> alle Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums sein...)
>
> Gruß,
> Marcel
Also ich verstehe die Definition so, dass alle Vektoren Linear unabhängig voneinander sind? Dann ist es ja auch logisch, dass wenn [mm] $0=x_1+...+x_r$ [/mm] folgt, dass [mm] $0=x_1=...=x_r$.
[/mm]
Aber der Beweis fällt mir trotzdem noch sehr schwer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralf,
> > Hallo Ralf,
> >
> > > Beweisen Sie, dass [mm]W_1+ ... W_r[/mm] genau dann eine direkte
> > > Summe ist, wenn für jede [mm]x_1 \in W_i[/mm]
> >
> > meinst Du "... für jedes [mm]x_{\red{i}} \in W_i[/mm] ..."
> >
> > > aus [mm]0=x_1+...+x_r[/mm]
> > > folgt, dass [mm]x_1=x_2=...=x_r=0[/mm] für alle [mm]i=1,...,r[/mm]
> > > Hallo,
> > > ich habe beim Lösen dieses beweises große
> probleme.
> > > Ich hoffe mir kann jemand einen Denkanstoß geben.
> Bei
> > > Beweisen habe ich immer so meine Probleme und ich weiß nie
> > > wie ich an soetwas herangehen soll.
> >
> > Erste Frage: Wie habt ihr die direkte Summe genau
> > definiert?
>
>
> Danke erst einmal
> unsere Definition lautet wie folgt:
> [mm]W_1,...,W_r[/mm] seien Teilräume von W
wobei doch sicherlich [mm] $W\,$ [/mm] ein [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] ist! Spare doch nicht an
den Euch gegebenen Definitionen, die kannst Du meinetwegen auch
zitieren!
> V ist nun eine direkte Summe aus [mm]W_1,...,W_r[/mm] wenn sich
> jeder Vektor aus V auf nur 1 weise als linearkombination
Ich vermute, dass da nicht LINEARKOMBINATION steht. Sicher steht eher
sowas da: [mm] $V\,$ [/mm] ist direkte Summe aus [mm] $W_1,...,W_r\,,$ [/mm] wenn gilt: Es gibt
für jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eine und nur eine Darstellung
[mm] $$v=\sum_{i=1}^r w_i\,,$$
[/mm]
mit [mm] $w_i \in W_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,...,r\}\,.$ [/mm] Das ist EINE SPEZIELLE
Linearkombination. Denn generell heißt [mm] "$v\,$ [/mm] ist Linearkombination" nichts
anderes als (es gibt [mm] $\lambda_i \in [/mm] K$ und [mm] $w_i \in W_i$ [/mm] für $i=1,...,r$ mit)
[mm] $$v=\sum_{i=1}^r \red{\lambda_i}*w_i\,.$$
[/mm]
Anders gesagt: "Linearkombination" ist durch "Summe" zu ersetzen!
Und das ich das gesagte mit der "Linearkombination"schon nicht glaube,
liegt daran, dass sich schon der Nullvektor in nicht eindeutiger Weise als
Linearkombination darstellbar ließe, obwohl [mm] $W_1+...+W_r$ [/mm] direkte
Summe sind (direkte Summe=innere direkte Summe, und ich benutze dabei
zwar eine andere Definition als ihr, aber in vernünftiger Weise sollten diese
Definitionen einander äquivalent sein):
Ich wähle für $J [mm] \subseteq \{1,...,r\}$ [/mm] und $j [mm] \in [/mm] J$ einfach ein [mm] $w_j \in W_j\,,$ [/mm] und für $i [mm] \in \{1,...,r\} \setminus [/mm] J$ dann
einfach [mm] $w_i:=0\,.$ [/mm] Dann setze ich [mm] $\lambda_j:=0$ [/mm] für $j [mm] \in J\,,$ [/mm] und [mm] $\lambda_i \in [/mm] K$ mit $i [mm] \in \{1,...,r\} \setminus [/mm] J$
kann ich wählen, wie ich gerade will...
> der Vektoren
> [mm]x_1,...,x_r[/mm] mit [mm]x_1 \in W_i[/mm] (i=1,...,r) darstellen lässt
> >
> > Dann eine Bemerkung: Die Formulierung der Aussage oben ist
> > ein wenig
> > unsinnig (nicht falsch), denn rechterhand sollte man
> sich
> > entscheiden,
> > ob man [mm]x_i=0\,[/mm] für [mm]i=1,\ldots,r[/mm] schreibt, oder
> > [mm]x_1=x_2=\ldots=x_r=0\,[/mm]
> > oder aber [mm]x_i=0[/mm] für alle [mm]i \in \{1,\ldots,r\}\,.[/mm] Der
> > Aufgabensteller hat da
> > alle drei Notationen in einer zusammegemischt.
> >
> > Nun zu Deiner Aufgabe: "Genau dann" bedeutet "[mm]\iff\,,[/mm]" d.h.
> > Du hast
> > zwei Folgerungen zu zeigen (bei der Aufgabe stehen sicher
> > auch noch
> > mehr Voraussetzungen an die [mm]W_i[/mm] - ich nehme zudem an, dass
> > ihr die
> >
> >
> Innere direkte Summe (klick!)
> > als direkte Summe bezeichnet?!):
> >
> > 1. "[mm]\Rightarrow[/mm]": Nach Voraussetzung ist [mm]W_1+\ldots+W_r[/mm]
> > hier direkte
> > Summe.
> >
> > Zu zeigen ist nun: Gilt [mm]x_1+\ldots+x_r=0[/mm] mit [mm]x_i \in W_i[/mm]
> > ([mm]i=1,\ldots,r[/mm]),
> > so folgt schon [mm]x_i=0[/mm] für [mm]i=1,\ldots,r\,.[/mm]
> >
> > 2. "[mm]\Leftarrow[/mm]": Nach Voraussetzung gilt: Aus
> > [mm]x_1+\ldots+x_r=0[/mm] mit [mm]x_i \in W_i[/mm]
> > ([mm]i=1,\ldots,r[/mm]) folgt stets schon [mm]x_i=0[/mm] für
> > [mm]i=1,\ldots,r\,.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist nun: Dann muss [mm]W_1+\ldots+W_r[/mm] direkte Summe
> > sein!
> >
> > So: Fängst Du nun mal mit einer Beweisrichtung an (nachdem
> > Du uns
> > nachgeliefert hast, wie ihr "direkte Summe" definiert habt,
> > und welche
> > Voraussetzungen an [mm]W_i\,[/mm] noch gestellt werden - die sollen
> > doch sicher
> > alle Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums
> sein...)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Also ich verstehe die Definition so, dass alle Vektoren
> Linear unabhängig voneinander sind? Dann ist es ja auch
> logisch, dass wenn [mm]0=x_1+...+x_r[/mm] folgt, dass
> [mm]0=x_1=...=x_r[/mm].
> Aber der Beweis fällt mir trotzdem noch sehr schwer.
Na, Du hast, wie gesagt, zwei Beweisrichtungen, und das, was Du hier
sagst, gehört sicher zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Und der Beweis ist mit Eurer Definition (wenn Du mir nochmal bestätigst,
dass ihr sie nicht mit "Linearkombination" geschrieben habt) doch wirklich
einfach: Nach Voraussetzung ist hier [mm] $W_1+...+W_r$ [/mm] direkte Summe. Nun
weißt Du doch, dass [mm] $0=0_W \in [/mm] W$ auch [mm] $=0_{W_i} \in W_i$ [/mm] aus [mm] $W_i\,$ [/mm] ist.
Wenn Du nun
[mm] $$(I)\;\;\;x_1+...+x_r=0\;\;(=0_W)$$
[/mm]
hast [mm] ($x_i \in W_i$ [/mm] für $i=1,...,r$), dann ist doch wegen [mm] $0=0_{W} \in W_i$ [/mm] ($i=1,...,r$) klar,
dass Du auch schreiben kannst
[mm] $$(II)\;\;\;\underbrace{0}_{\in W_1}+\underbrace{0}_{\in W_2}+...+\underbrace{0}_{\in W_r}=0\,.$$
[/mm]
Die [mm] $0=0_W \in [/mm] W$ läßt sich also sowohl nach (I) als auch nach (II)
darstellen. Was folgt dann gemäß Eurer Definition? (Beachte nochmals,
dass ich die Definition, die Du uns hier geliefert hast, korrigiert habe!)
P.S. Und sobald das erledigt ist, versuche Dich mal an [mm] "$\Leftarrow$"...
[/mm]
P.P.S. Du kannst auch mal in Satz 5.3.4 (klick!) reingucken...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 So 13.01.2013 | | Autor: | ralfr |
Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
>
> Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-1\\0}$
[/mm]
alleine, und auch [mm] $\left\{\vektor{1\\0}\right\}$ [/mm] und [mm] $\left\{\vektor{-1\\0}\right\}$
[/mm]
bilden doch schon keine Unterräume (von [mm] $\IR^2$). [/mm] Also: Was genau willst
Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen, dass der [mm] $\IR^2$ [/mm] die
direkte Summe ist von bspw. [mm] $W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}$ [/mm] und [mm] $W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.$
[/mm]
Du kannst auch sagen, dass mit
[mm] $$W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}$$
[/mm]
und
[mm] $$W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}$$
[/mm]
und
[mm] $$W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}$$
[/mm]
dann
[mm] $$W_1'+W_2'+W_3'$$
[/mm]
eine direkte Summe (bzgl. [mm] $W=\IR^4$) [/mm] gegeben ist.
Aber mit bspw.
[mm] $$W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}$$
[/mm]
und
[mm] $$W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}$$
[/mm]
und
[mm] $$W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}$$
[/mm]
ist sicher [mm] $W_1''+W_2''+W_3''\,$ [/mm] keine direkte Summe (bzgl. [mm] $W=\IR^3$).
[/mm]
Kannst Du das begründen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:48 So 13.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo,
>
> > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> >
> > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
>
> na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm] und
> [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> bilden doch schon keine Unterräume (von [mm]\IR^2[/mm]). Also: Was
> genau willst
> Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen, dass der
> [mm]\IR^2[/mm] die
> direkte Summe ist von bspw. [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> Du kannst auch sagen, dass mit
> [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> und
> [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> und
> [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> dann
> [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben ist.
>
> Aber mit bspw.
> [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> und
> [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
> und
> [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
> ist
> sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> [mm]W=\IR^3[/mm]).
>
> Kannst Du das begründen?
>
Hallo,
Naja also laut definiton ist das nun keine direkte Summe, weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:09 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> > >
> > > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
> >
> > na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> > [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> > alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm] und
> > [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> > bilden doch schon keine Unterräume (von [mm]\IR^2[/mm]). Also:
> Was
> > genau willst
> > Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen, dass der
> > [mm]\IR^2[/mm] die
> > direkte Summe ist von bspw.
> [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> > und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
> >
> > Du kannst auch sagen, dass mit
> > [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > und
> > [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > und
> > [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > dann
> > [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> > eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben ist.
> >
> > Aber mit bspw.
> > [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> >
> und
> > [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
> >
> und
> > [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
> >
> ist
> > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> >
> > Kannst Du das begründen?
> >
> Hallo,
> Naja also laut definiton ist das nun keine direkte Summe,
> weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei Darstellungen
hin (bei den [mm] $W_i''$).
[/mm]
So nebenbei: Steht bei Euch eigentlich wirklich [mm] $W\,$ [/mm] als Vektorraum, oder
stand da, dass [mm] $V\,$ [/mm] Vektorraum sei und [mm] $W_1+...+W_r=V$ [/mm] direkte Summe
genannt werde, wenn blablabla...? Ich meine: Guck' Dir nochmal den
Wiki-Artikel an.
> soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche
> allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
Es ist zum Beispiel klar, dass [mm] $W_1+W_2$ [/mm] eine direkte Summe ist:
Sei [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2\,$ [/mm] beliebig, aber fest, vorgegeben. Es
gelte nun [mm] $v=x_1+x_2$ [/mm] mit [mm] $x_1 \in W_1$
[/mm]
und [mm] $x_2 \in W_2\,.$ [/mm] Dann gibt es $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $s [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $x_1=\vektor{r\\0}$ [/mm] und [mm] $x_2=\vektor{s\\s}\,.$
[/mm]
Warum hat die Gleichung
[mm] $$\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{r\\0}+\vektor{s\\s}$$
[/mm]
nun nur genau eine Lösung?
(Beachte, dass Du hierbei quasi [mm] $r,s\,$ [/mm] als Variablen betrachtest, "die Du
finden willst", während [mm] $v_1,v_2$ [/mm] zwar unbestimmt sind, aber als
vorgegeben angenommen werden.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 13.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > > > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> > > >
> > > > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > > > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > > > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
> > >
> > > na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> > > [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> > > alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm] und
> > > [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> > > bilden doch schon keine Unterräume (von [mm]\IR^2[/mm]).
> Also:
> > Was
> > > genau willst
> > > Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen, dass
> der
> > > [mm]\IR^2[/mm] die
> > > direkte Summe ist von bspw.
> > [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> > > und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> > >
> > > Du kannst auch sagen, dass mit
> > > [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > > [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > > [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > dann
> > > [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> > > eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben ist.
> > >
> > > Aber mit bspw.
> > > [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> >
> >
> > und
> > > [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> > >
> > und
> > > [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
> >
> >
> > ist
> > > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> > >
> > > Kannst Du das begründen?
> > >
> > Hallo,
> > Naja also laut definiton ist das nun keine direkte
> Summe,
> > weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> > als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
>
> na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei
> Darstellungen
> hin (bei den [mm]W_i''[/mm]).
Naja ich dachte zumbeispiel
mit den Vektoren:
[mm] $\vektor{-1\\0\\0}$
[/mm]
[mm] $\vektor{1\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $\vektor{0\\-1\\0}$
[/mm]
>
> So nebenbei: Steht bei Euch eigentlich wirklich [mm]W\,[/mm] als
> Vektorraum, oder
> stand da, dass [mm]V\,[/mm] Vektorraum sei und [mm]W_1+...+W_r=V[/mm]
> direkte Summe
> genannt werde, wenn blablabla...? Ich meine: Guck' Dir
> nochmal den
> Wiki-Artikel an.
>
> > soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche
> > allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
>
> Es ist zum Beispiel klar, dass [mm]W_1+W_2[/mm] eine direkte Summe
> ist:
> Sei [mm]v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2\,[/mm] beliebig, aber fest,
> vorgegeben. Es
> gelte nun [mm]v=x_1+x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in W_1[/mm]
> und [mm]x_2 \in W_2\,.[/mm]
> Dann gibt es [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]s \in \IR[/mm] so, dass
> [mm]x_1=\vektor{r\\0}[/mm] und [mm]x_2=\vektor{s\\s}\,.[/mm]
>
> Warum hat die Gleichung
> [mm]\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{r\\0}+\vektor{s\\s}[/mm]
> nun nur genau eine Lösung?
Naja $s$ ist ja durch [mm] $v_2$ [/mm] eindeutig gegeben
und [mm] $v_1=r+s$ [/mm] also ist r auch eindeutig gegeben
>
> (Beachte, dass Du hierbei quasi [mm]r,s\,[/mm] als Variablen
> betrachtest, "die Du
> finden willst", während [mm]v_1,v_2[/mm] zwar unbestimmt sind, aber
> als
> vorgegeben angenommen werden.)
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > > > > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> > > > >
> > > > > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > > > > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > > > > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
> > > >
> > > > na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> > > > [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> > > > alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm]
> und
> > > > [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> > > > bilden doch schon keine Unterräume (von [mm]\IR^2[/mm]).
> > Also:
> > > Was
> > > > genau willst
> > > > Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen,
> dass
> > der
> > > > [mm]\IR^2[/mm] die
> > > > direkte Summe ist von bspw.
> > > [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> > > > und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > Du kannst auch sagen, dass mit
> > > > [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > > [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > > [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > dann
> > > > [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> > > > eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben ist.
> > > >
> > > > Aber mit bspw.
> > > > [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > und
> > > > [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > und
> > > > [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > ist
> > > > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > > > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> > > >
> > > > Kannst Du das begründen?
> > > >
> > > Hallo,
> > > Naja also laut definiton ist das nun keine direkte
> > Summe,
> > > weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> > > als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
> >
> > na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei
> > Darstellungen
> > hin (bei den [mm]W_i''[/mm]).
> Naja ich dachte zumbeispiel
> mit den Vektoren:
> [mm]\vektor{-1\\0\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm]
Ja, und wie bastelst Du damit den Nullvektor ?
>
> >
> > So nebenbei: Steht bei Euch eigentlich wirklich [mm]W\,[/mm] als
> > Vektorraum, oder
> > stand da, dass [mm]V\,[/mm] Vektorraum sei und [mm]W_1+...+W_r=V[/mm]
> > direkte Summe
> > genannt werde, wenn blablabla...? Ich meine: Guck' Dir
> > nochmal den
> > Wiki-Artikel an.
> >
> > > soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche
> > > allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
> >
> > Es ist zum Beispiel klar, dass [mm]W_1+W_2[/mm] eine direkte Summe
> > ist:
> > Sei [mm]v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2\,[/mm] beliebig, aber
> fest,
> > vorgegeben. Es
> > gelte nun [mm]v=x_1+x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in W_1[/mm]
> > und [mm]x_2 \in W_2\,.[/mm]
> > Dann gibt es [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]s \in \IR[/mm] so, dass
> > [mm]x_1=\vektor{r\\0}[/mm] und [mm]x_2=\vektor{s\\s}\,.[/mm]
> >
> > Warum hat die Gleichung
> > [mm]\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{r\\0}+\vektor{s\\s}[/mm]
> > nun nur genau eine Lösung?
> Naja [mm]s[/mm] ist ja durch [mm]v_2[/mm] eindeutig gegeben
> und [mm]v_1=r+s[/mm] also ist r auch eindeutig gegeben
Ja
FRED
>
> >
> > (Beachte, dass Du hierbei quasi [mm]r,s\,[/mm] als Variablen
> > betrachtest, "die Du
> > finden willst", während [mm]v_1,v_2[/mm] zwar unbestimmt sind, aber
> > als
> > vorgegeben angenommen werden.)
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 13.01.2013 | | Autor: | ralfr |
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > > > > > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> > > > > >
> > > > > > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > > > > > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > > > > > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
> > > > >
> > > > > na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> > > > > [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> > > > > alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm]
> > und
> > > > > [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> > > > > bilden doch schon keine Unterräume (von
> [mm]\IR^2[/mm]).
> > > Also:
> > > > Was
> > > > > genau willst
> > > > > Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen,
> > dass
> > > der
> > > > > [mm]\IR^2[/mm] die
> > > > > direkte Summe ist von bspw.
> > > > [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> > > > > und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > Du kannst auch sagen, dass mit
> > > > > [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > und
> > > > > [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > und
> > > > > [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > dann
> > > > > [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> > > > > eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben
> ist.
> > > > >
> > > > > Aber mit bspw.
> > > > > [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > und
> > > > > [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > und
> > > > > [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > ist
> > > > > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > > > > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> > > > >
> > > > > Kannst Du das begründen?
> > > > >
> > > > Hallo,
> > > > Naja also laut definiton ist das nun keine
> direkte
> > > Summe,
> > > > weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> > > > als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
> > >
> > > na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei
> > > Darstellungen
> > > hin (bei den [mm]W_i''[/mm]).
> > Naja ich dachte zumbeispiel
> > mit den Vektoren:
> > [mm]\vektor{-1\\0\\0}[/mm]
> > [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> > [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm]
>
> Ja, und wie bastelst Du damit den Nullvektor ?
Naja die Vektoren Addiert ergeben doch gerade den Nullvektor
>
>
> >
> > >
> > > So nebenbei: Steht bei Euch eigentlich wirklich [mm]W\,[/mm] als
> > > Vektorraum, oder
> > > stand da, dass [mm]V\,[/mm] Vektorraum sei und [mm]W_1+...+W_r=V[/mm]
> > > direkte Summe
> > > genannt werde, wenn blablabla...? Ich meine: Guck'
> Dir
> > > nochmal den
> > > Wiki-Artikel an.
> > >
> > > > soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche
> > > > allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
> > >
> > > Es ist zum Beispiel klar, dass [mm]W_1+W_2[/mm] eine direkte Summe
> > > ist:
> > > Sei [mm]v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2\,[/mm] beliebig, aber
> > fest,
> > > vorgegeben. Es
> > > gelte nun [mm]v=x_1+x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in W_1[/mm]
> > > und [mm]x_2 \in W_2\,.[/mm]
> > > Dann gibt es [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]s \in \IR[/mm] so, dass
> > > [mm]x_1=\vektor{r\\0}[/mm] und [mm]x_2=\vektor{s\\s}\,.[/mm]
> > >
> > > Warum hat die Gleichung
> > > [mm]\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{r\\0}+\vektor{s\\s}[/mm]
> > > nun nur genau eine Lösung?
> > Naja [mm]s[/mm] ist ja durch [mm]v_2[/mm] eindeutig gegeben
> > und [mm]v_1=r+s[/mm] also ist r auch eindeutig gegeben
>
> Ja
>
> FRED
> >
> > >
> > > (Beachte, dass Du hierbei quasi [mm]r,s\,[/mm] als Variablen
> > > betrachtest, "die Du
> > > finden willst", während [mm]v_1,v_2[/mm] zwar unbestimmt sind, aber
> > > als
> > > vorgegeben angenommen werden.)
> > >
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > > ...
> > > > > ist
> > > > > > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > > > > > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> > > > > >
> > > > > > Kannst Du das begründen?
> > > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > > Naja also laut definiton ist das nun keine
> > direkte
> > > > Summe,
> > > > > weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> > > > > als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
> > > >
> > > > na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei
> > > > Darstellungen
> > > > hin (bei den [mm]W_i''[/mm]).
> > > Naja ich dachte zumbeispiel
> > > mit den Vektoren:
> > > [mm]\vektor{-1\\0\\0}[/mm]
> > > [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> > > [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm]
> >
> > Ja, und wie bastelst Du damit den Nullvektor ?
>
> Naja die Vektoren Addiert ergeben doch gerade den
> Nullvektor
ja - es geht halt, wie gesagt, auch drum, dass man nicht nur hinschreibt,
welches Werkzeug man benutzt, sondern es auch benutzt. D.h. Fred
wollte die Gleichung, die ich in der anderen Antwort gerade ergänzt habe,
von Dir sehen!
Also bitte: Weniger mit Bröckchen arbeiten, sondern mal ein wenig
ausführlicher werden.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 13.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Ja tut mir leid Marcel, da steht wirklich nicht
> > > > > Linearkombination aber so hatte ich es verstanden :(
> > > > >
> > > > > Ich verstehe nicht ganz, wie soetwas funktioniert
> > > > > habe ich zum beispiel einmal den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > und [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm] dann bekomme ich den Nullvektor doch
> > > > > auch ohne dass die Vektoren Nullvektoren sein müssen?
> > > >
> > > > na, das macht so ja auch keinen Sinn - [mm]\vektor{1\\0}[/mm] und
> > > > [mm]\vektor{-1\\0}[/mm]
> > > > alleine, und auch [mm]\left\{\vektor{1\\0}\right\}[/mm]
> und
> > > > [mm]\left\{\vektor{-1\\0}\right\}[/mm]
> > > > bilden doch schon keine Unterräume (von [mm]\IR^2[/mm]).
> > Also:
> > > Was
> > > > genau willst
> > > > Du mit der Aussage nun sagen? Du kannst sagen,
> dass
> > der
> > > > [mm]\IR^2[/mm] die
> > > > direkte Summe ist von bspw.
> > > [mm]W_1:=\left\{r*\vektor{1\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
> > > > und [mm]W_2:=\left\{s*\vektor{1\\1}: s \in \IR\right\}\,.[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > Du kannst auch sagen, dass mit
> > > > [mm]W_1':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > > [mm]W_2':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > > [mm]W_3':=\left\{t*\vektor{1\\1\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > dann
> > > > [mm]W_1'+W_2'+W_3'[/mm]
> > > > eine direkte Summe (bzgl. [mm]W=\IR^4[/mm]) gegeben ist.
> > > >
> > > > Aber mit bspw.
> > > > [mm]W_1'':=\left\{r*\vektor{1\\0\\0}: r \in \IR\right\}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > und
> > > > [mm]W_2'':=\left\{s*\vektor{1\\1\\0}: s \in \IR\right\}[/mm]
>
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> > > >
> > > und
> > > > [mm]W_3'':=\left\{t*\vektor{0\\1\\0}: t \in \IR\right\}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > ist
> > > > sicher [mm]W_1''+W_2''+W_3''\,[/mm] keine direkte Summe (bzgl.
> > > > [mm]W=\IR^3[/mm]).
> > > >
> > > > Kannst Du das begründen?
> > > >
> > > Hallo,
> > > Naja also laut definiton ist das nun keine direkte
> > Summe,
> > > weil sich ein Vektor von W nicht nur auf genau eine Weise
> > > als Summe der Untervektorräume darstellen lässt oder?
> >
> > na, dann schreib' mir doch mal den Nullvektor in zwei
> > Darstellungen
> > hin (bei den [mm]W_i''[/mm]).
> Naja ich dachte zumbeispiel
> mit den Vektoren:
> [mm]\vektor{-1\\0\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> [mm]\vektor{0\\-1\\0}[/mm]
ja, denn der erste ist ja aus [mm] $W_1''\,,$ [/mm] der zweite aus [mm] $W_2''$ [/mm] und der
dritte aus [mm] $W_3''\,.$ [/mm] Schreib' das doch so hin:
Mit
[mm] $$\vektor{-1\\0\\0} \in W_1''\,,$$
[/mm]
[mm] $$\vektor{1\\1\\0} \in W_2''\,,$$
[/mm]
[mm] $$\vektor{0\\-1\\0} \in W_3''\,,$$
[/mm]
gibt es neben der Darstellung
[mm] $$\vektor{0\\0\\0}=\underbrace{\vektor{0\\0\\0}}_{\in W_1''}+\underbrace{\vektor{0\\0\\0}}_{\in W_2''}+\underbrace{\vektor{0\\0\\0}}_{\in W_3''}$$
[/mm]
auch die Darstellung
[mm] $$\vektor{0\\0\\0}=\vektor{-1\\0\\0}+\vektor{1\\1\\0}+\vektor{0\\-1\\0}\,,$$
[/mm]
also kann [mm] $W_1''+W_2''+W_3''$ [/mm] keine direkte Summe sein!
> >
> > So nebenbei: Steht bei Euch eigentlich wirklich [mm]W\,[/mm] als
> > Vektorraum, oder
> > stand da, dass [mm]V\,[/mm] Vektorraum sei und [mm]W_1+...+W_r=V[/mm]
> > direkte Summe
> > genannt werde, wenn blablabla...? Ich meine: Guck' Dir
> > nochmal den
> > Wiki-Artikel an.
> >
> > > soetwas konkretes bekomme ich noch hin aber für solche
> > > allgemeineren Beweise fehlt mir ein wenig das Verständnis
> >
> > Es ist zum Beispiel klar, dass [mm]W_1+W_2[/mm] eine direkte Summe
> > ist:
> > Sei [mm]v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2\,[/mm] beliebig, aber
> fest,
> > vorgegeben. Es
> > gelte nun [mm]v=x_1+x_2[/mm] mit [mm]x_1 \in W_1[/mm]
> > und [mm]x_2 \in W_2\,.[/mm]
> > Dann gibt es [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]s \in \IR[/mm] so, dass
> > [mm]x_1=\vektor{r\\0}[/mm] und [mm]x_2=\vektor{s\\s}\,.[/mm]
> >
> > Warum hat die Gleichung
> > [mm]\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{r\\0}+\vektor{s\\s}[/mm]
> > nun nur genau eine Lösung?
> Naja [mm]s[/mm] ist ja durch [mm]v_2[/mm] eindeutig gegeben
> und [mm]v_1=r+s[/mm] also ist r auch eindeutig gegeben
Richtig. Auch das kann man natürlich noch konreter hinschreiben: Es ist
mit [mm] $s:=v_2$ [/mm] und [mm] $r:=v_1-s=v_1-v_2$ [/mm] dann [mm] $(r,s)=(v_1-v_2,\;v_2)$ [/mm] das
eindeutig bestimmte Lösungspaar des zur "Vektorgleichung" gehörenden
Gleichungssystems. (Eine "Vektorgleichung" (Du weißt, was ich damit meine,
denke ich) ist ja prinzipiell nur eine andere Notation für ein Gleichungssystem.)
Gruß,
Marcel
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