direkte summe kolimes < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Do 20.12.2012 | | Autor: | flipflop |
| Aufgabe | | Jede direkte Summe ist induktiver Limes (Kolimes/ direkter Limes) von endlichen direkten Summen. |
Auf diese Aussage bin ich in "Éléments de géométrie algébrique" von Alexander Grothendieck gestoßen. Leider weiß ich noch nicht viel über induktive Limiten und wäre dankbar, wenn mir jemand die Aussage erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 20.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jede direkte Summe ist induktiver Limes (Kolimes/ direkter
> Limes) von endlichen direkten Summen.
> Auf diese Aussage bin ich in "Éléments de géométrie
> algébrique" von Alexander Grothendieck gestoßen. Leider
> weiß ich noch nicht viel über induktive Limiten und wäre
> dankbar, wenn mir jemand die Aussage erklären könnte.
Wenn $A$ ein Objekt (Gruppe, Ring, Modul, ...) ist und [mm] $A_i, [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ Teilobjekte (Untergruppe, Unterring, Untermodul, ...) von $A$ sind, und du zu jedem Paar $(i, j)$ mit [mm] $A_i \subseteq A_j$ [/mm] die Inklusionsabbildung $f : [mm] A_i \to A_j$ [/mm] nimmst, und wenn weiter [mm] $\bigcup_{i \in I} A_i [/mm] = A$ ist, dann ist der direkte Limes vom System [mm] $(A_i)_{i\in I}$ [/mm] mit den Inklusionsabbildungen einfach $A$ selber.
Bei der direkten Summe beachte nun, dass jedes Element $a = [mm] (a_j)_{j \in J} \in \coprod_{j\in J} A_j$ [/mm] nur endlich viele Elemente [mm] $\neq \emptyset$ [/mm] hat, sagen wir [mm] $a_j \neq [/mm] 0$ nur fuer $j [mm] \in [/mm] J'$ mit $J'$ endlich, und somit $a$ in der endlichen direkten Summe [mm] $\coprod_{j\in J'} A_j$ [/mm] liegt, die du als Teilobjekt von [mm] $\coprod_{j\in J} A_j$ [/mm] auffassen kannst.
Damit ist [mm] $\coprod_{j\in J} A_j$ [/mm] der direkte Limes aller [mm] $\coprod_{j\in J'} A_j$, [/mm] $J' [mm] \subseteq [/mm] J$ endlich.
(Wenn $J$ eine besondere Form hat, etwa $J = [mm] \IN$, [/mm] kannst du auch speziellere Teilmengen $J'$ nehmen, z.B. $J'_n = [mm] \{ 1, \dots, n \}$; [/mm] dann hast du einen induktiven Limes ueber der Indexmenge [mm] $\IN$.)
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 27.12.2012 | | Autor: | flipflop |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Erklärung!
lg Anne
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