diskrete/stetige Verteilungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 25.10.2009 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | | Wo liegt der Unterschied zwischen den diskreten und den stetigen Verteilungen? |
Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Staatsexamen vor und versuche dazu typische Prüfungsfragen zu beantworten. Dabei haben mir einige wenige doch noch Probleme bereitet.
Die oben aufgeführte gehört zu diesen.
Ich weiß natürlich, dass diskrete Verteilungen direkt über das Wahrscheinlichkeitsmaß stetige Verteilungen indirekt über die Dichte definiert werden.
Folglich lässt sich im Fall der stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt "integrieren".
Dementsprechend bestünde meines Erachtens formal auch ein Unterschied darin, dass man im Fall der diskreten Verteilungen die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und Ereignissen als Mengen und im Fall der stetigen Verteilungen als Punkte und Intervalle berechnet.
Allerdings scheinen mir diese Unterschiede nicht die wirklich bezeichnenden zu sein!?
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte (sowohl "formal als auch praktisch")). Danke schon mal im Voraus und viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 01.11.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo patrick,
eine Sache hast Du schon erkannt, nämlich, dass die Charakteristik der Verteilungen unterschiedlich ist. Zu einer diskreten Verteilung gehören auch immer diskrete Ereignisse und da liegt ein typischer Unterschied zwischen stetigen und diskreten Verteilungen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer diskreten Verteilung wird durch Diracfunktionen beschrieben, wohingegen man bei stetiger Verteilung eine stetige Funktion besitzt.
Das bedeutet für die Verteilungsfunktion, dass diese bei einer diskreten Verteilung Sprünge aufweist, was bei einer stetigen Verteilung nicht der Fall ist.
Hieraus folgt auch, dass bei einer diskreten Verteilung, die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis auftritt, von Null verschieden ist, sobald durch die Zufallsvariable an dieser Stelle ein Wert definiert ist, oder anders augedrückt:
$$ P(x = [mm] x_i) [/mm] = [mm] P_x (x_i)\, [/mm] . $$
So etwas gibt es bei einer stetigen Verteilung nicht, da Du Ober- und Intergrenze des Integrals gleich sind und demzufolge dann gilt:
$$ P(x = [mm] x_i) [/mm] = 0 [mm] \, [/mm] . $$
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einer diskreten Verteilung geht die Integration in eine Summation über.
Viele Grüße,
Infinit
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