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| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{x}{lnx}
[/mm]
bestimmen sie die maximale definitionsmenge, die grenzwerte, extrem-/wendepunkte, achsenschnittpunkte, monotonieverhalten und krümmungsverhalten! klären sie die stetige fortsetzbarkeit von f für x=0! |
als definitionsmenge hab ich [mm] \ID= \IR [/mm] + \ {1}
als grenzwerte: für x geht gegen unendlich: unendlich
für x geht gegen 1+: unendlich
für x geht gegen 1-: - unendlich (aber ich hab das nur irgendwie in den taschenrechner eingegeben, stimmt das denn? und kann man das auch anders berechnen?)
achsenschnittpunkte hab ich keine gefunden.
extrempunkt ist bei mir für e, ich hab halt die erste ableitung null gesetzt und dann kommt e raus...
wendepunkte weiß ich nicht...dazu brauch ich doch die zweite ableitung, oder? die is bei mir [mm] \bruch{lnx^{2}-\bruch{1}{x}-\bruch{2lnx}{x}}{(lnx)^{4}} [/mm] stimmt das denn?
gibts denn dann einen wendepunkt?
zum monotonieverhalten:
die erste ableitung is ja: [mm] \bruch{lnx-1}{(lnx)^{2}} [/mm] stimmt das?
dann hab ich als monotonieverhalten: für ]0;1[ str. monoton abnehmend
für [mm] ]1;\infty[ [/mm] str. mon. zunehmend
ist das richtig?
fürs krümmungsverhalten brauch ich ja wieder die 2.ableitung, oder? aber wie gehts das dann?
und wie mach ich das mit der stetigen fortsetzbarkeit?
wär nett, wenn ihr mir helfen könntet...:)
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> [mm]f(x)=\bruch{x}{lnx}[/mm]
> bestimmen sie die maximale definitionsmenge, die
> grenzwerte, extrem-/wendepunkte, achsenschnittpunkte,
> monotonieverhalten und krümmungsverhalten! klären sie die
> stetige fortsetzbarkeit von f für x=0!
> als definitionsmenge hab ich [mm]\mathrm{D}= \IR\backslash\{1\}[/mm]
Nein, zwar ist $x=1$ sicher eine Definitionslücke von $f$, aber Du hast vergessen zu beachten, dass der [mm] $\ln(x)$ [/mm] für $x [mm] \leq [/mm] 0$ nicht definiert ist. Meiner Meinung nach wäre deshalb [mm] $\mathrm{D}_f [/mm] = [mm] ]0;1[\;\cup \; ]1;+\infty[$.
[/mm]
> als grenzwerte: für x geht gegen unendlich: unendlich
> für x geht gegen 1+: unendlich
> für x geht gegen 1-: - unendlich (aber ich hab das nur
> irgendwie in den taschenrechner eingegeben, stimmt das
> denn?
Ja, das stimmt.
> und kann man das auch anders berechnen?)
[mm]\lim_{x\rightarrow 1-}\frac{x}{\ln(x)} = \frac{1}{\lim_{x\rightarrow 1-}\ln(x)} = -\infty[/mm]
[mm]\lim_{x\rightarrow 1+}\frac{x}{\ln(x)} = \frac{1}{\lim_{x\rightarrow 1+}\ln(x)} = +\infty[/mm]
Der Nenner [mm] $\ln(x)$ [/mm] geht ja für [mm] $x\rightarrow 1\mp$ [/mm] gegen [mm] $\mp [/mm] 0$
Du hast meiner Meinung nach aber zwei interessante weitere Grenzwerte vergessen. Nämlich:
[mm] [center]$\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{x}{\ln(x)} [/mm] = 0$[/center]
und
[mm] [center]$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{\ln(x)} [/mm] = [mm] +\infty$[/center]
[/mm]
Dies gibt uns gleich schon einen ungefähren Überblick über den Verlauf des Graphen.
> achsenschnittpunkte hab ich keine gefunden.
Aber weshalb nicht? - Mit der $y$-Achse nicht, weil [mm] $\frac{x}{\ln(x)}$ [/mm] für $x=0$ gar nicht definiert ist. Mit der $x$-Achse nicht, weil die Gleichung
[mm]\frac{x}{\ln(x)}=0[/mm]
nur dann gelten könnte, wenn $x=0$ wäre, was wiederum wegen [mm] $0\notin \mathrm{D}_f$ [/mm] nicht möglich ist.
> extrempunkt ist bei mir für e,
Extremstelle ist $x=e$. Der Extrempunkt ist ein Punkt der Ebene, das heisst, zum Extrempunkt gehört seine $y$-Koordinate.
> ich hab halt die erste
> ableitung null gesetzt und dann kommt e raus...
Als erste Ableitung habe ich
[mm] [center]$f'(x)=\frac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)}$[/center]
[/mm]
Diese Ableitung wird genau dann $0$, wenn [mm] $\ln(x)-1=0$. [/mm] Also ist $x=e$ zumindest eine kritische Stelle. Aufgrund des qualitativen Verlaufs (oder aufgrund der zweiten Ableitung) können wir in der Tat sagen, dass es sich bei $x=e$ um eine Minimalstelle von $f$ handelt. Tiefpunkt ist somit $T(e|e)$.
> wendepunkte weiß ich nicht...dazu brauch ich doch die
> zweite ableitung, oder?
> die is bei mir
> [mm]\bruch{lnx^{2}-\bruch{1}{x}-\bruch{2lnx}{x}}{(lnx)^{4}}[/mm]
> stimmt das denn?
Eher nicht. Ich glaube folgendes ist richtiger:
[mm] [center]$f''(x)=\frac{2-\ln(x)}{\ln^3(x)}$[/center]
[/mm]
> gibts denn dann einen wendepunkt?
Diese zweite Ableitung wird $0$ für [mm] $x=e^2$. [/mm] Aber ob es sich um einen Wendepunkt handelt, ist wieder eine andere Frage. Dazu müsste man höhere Ableitungen an der Stelle [mm] $x=e^2$ [/mm] betrachten. Ich glaube die dritte Ableitung ist:
[mm] [center]$f'''(x)=\frac{\ln^2(x)-6}{\ln^4(x)\cdot x^2}$[/center]
[/mm]
An der fraglichen Stelle [mm] $x=e^2$ [/mm] also:
[mm] [center]$f'''(e^2)=\frac{\ln^2(e^2)-6}{\ln^4(e^2)\cdot (e^2)^2}=\frac{2^2-6}{2^4\cdot e^4}\neq [/mm] 0$[/center]
Da also [mm] $f''(e^2)=0$, [/mm] aber [mm] $f'''(e^2)\neq [/mm] 0$ ist, handelt es sich bei [mm] $x=e^2$ [/mm] tatsächlich um eine Wendestelle. Wendepunkt ist somit [mm] $W\big(e^2|\frac{e^2}{2}\big)$.
[/mm]
> zum monotonieverhalten:
> die erste ableitung is ja: [mm]\bruch{lnx-1}{(lnx)^{2}}[/mm]
> stimmt das?
ja.
> dann hab ich als monotonieverhalten: für ]0;1[ str.
> monoton abnehmend
richtig
> für [mm]]1;\infty[[/mm] str. mon. zunehmend
> ist das richtig?
ja
> fürs krümmungsverhalten brauch ich ja wieder die
> 2.ableitung, oder? aber wie gehts das dann?
Wenn $f''(x)>0$ ist, dann ist der Graph von $f$ nach links gekrümmt. Ist andererseits $f''(x)<0$, dann ist der Graph von $f$ nach rechts gekrümmt. Dies ist doch recht anschaulich: wenn $f''(x)>0$ ist, dann ist die Tangentensteigung im Grösserwerden begriffen. Analoge anschauliche Überlegung für $f''(x)<0$.
Bei einem Wendepunkt wechselt das Krümmungsverhalten. Solange Du also den Wendepunkt -- oder zumindest die Wendestelle und das Vorzeichenverhalten von $f''(x)$ -- nicht bestimmt hast, kannst Du nur schwer genaueres aussagen.
> und wie mach ich das mit der stetigen fortsetzbarkeit?
Also mit stetiger Fortsetzbarkeit an der Stelle $x=1$ ist nix: denn wie Du gezeigt hast, gehen die Funktionswerte bei Näherung (von links oder rechts) an diese Stelle gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] weg.
Bleibt die Frage der stetigen Fortsetzbarkeit an der Stelle $x=0$. Wie ich oben erwähnt habe, ist [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=0$. [/mm] Man kann also [mm] $\tilde{f}(0) [/mm] := 0$ setzen und erhält damit eine stetige Fortsetzung von $f$ mit Definitionsbereich [mm] $\mathrm{D}_{\tilde{f}}=[0;1[\;\cup\;]1;+\infty[$
[/mm]
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