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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 22.04.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Satz: Es seien $n$ geordnete Datenpaare [mm] $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, [/mm] ..., [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] gegeben. Diese Datenpaare liegen auf dem Graphen einer Potenzfunktion
[mm] $$p(x)=a\cdot x^b,$$ [/mm]
wenn die doppelt-logarithmierten Datenwerte (d.h. es werden die $x$-Werte und die $y$-Werte gleichzeitig logarithmiert)
[mm] $$(\log(x_1),\log(y_1)), (\log(x_2),\log(y_2)), [/mm] ..., [mm] (\log(x_n),\log(y_n))$$
[/mm]
auf dem Graphen einer linearen Funktion
[mm] $$f(x)=m\cdot [/mm] x+b$$
(also auf einer Geraden) liegen. |
Hallo,
wir haben in der Vorlesung den Satz oben gehabt. Als "Beweis" wurde gesagt, dass aus dem beidseitigen Logarithmieren einer Potenzfunktion [mm] $y=a\cdot x^b$, [/mm] also aus
[mm] $$\log(y)=\log(a\cdot x^b),$$
[/mm]
folgt:
[mm] $$\log(y)=\log(a)+b\cdot\log(x)$$
[/mm]
Und diese zweite Zeile hätte lineare Gestalt. Mir ist schon klar, dass ich diese zweite Zeile als Funktion von $x$ schreiben kann:
[mm] $$f(x)=\log(a)+b\cdot\log(x)$$
[/mm]
Aber wieso ist das denn eine lineare Funktion, für mich ist das doch ganz klar eine Logarithmusfunktion!?
Kann mir jemand helfen? Ich steh gerade echt auf dem Schlauch.
Vielen Dank! (Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 22.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
der Trick ist, dass Du als Variablen in diesem Fall nicht x und y betrachten sollst, sondern [mm] $\log [/mm] x$ und [mm] $\log [/mm] y$.
Setzen wir also [mm] $u:=\log [/mm] x$ und $v:= [mm] \log [/mm] y$, dann ist ja
$v = [mm] \log [/mm] a + b u$
und das ist definitiv linear in u und v [mm] ($\log [/mm] a$ ist ja nur eine Konstante...)
Alles klar?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 22.04.2008 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Deine Erklärung habe ich sofort verstanden! Weißt Du zufällig auch, wie es sich bei Exponentialfunktionen verhält? Dort wird ja nur ein Wert (der y-Wert?) logarithmiert, und es entsteht eine Gerade.
Lieben Gruß, MasterEd
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Hallo MasterEd!
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Deine Erklärung habe
> ich sofort verstanden! Weißt Du zufällig auch, wie es sich
> bei Exponentialfunktionen verhält? Dort wird ja nur ein
> Wert (der y-Wert?) logarithmiert, und es entsteht eine
> Gerade.
Ich weiß nicht, ob ich dich ganz richtig verstehe, aber wenn du die Exponentialfunktion logarithmierst, erhältst du doch genau nur noch x (also [mm] log(e^x)=x). [/mm] Wenn du also die Exponentialfunktion [mm] e^x [/mm] auf halblogarithmisches Papier zeichnest, erhältst du natürlich eine Gerade, nämlich einfach x.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Di 22.04.2008 | | Autor: | MasterEd |
Hmm, meine Frage bezog sich eher darauf, wie man die Rechnung vom doppelt-logarithmischen Fall (Potenzfunktionen) auf den einfach-logarithmischen Fall (Exp.Funktionen) überträgt. Inzwischen habe ich den Beweis aber auch alleine geschafft.
Trotzdem danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Di 22.04.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo MasterEd!
> Hmm, meine Frage bezog sich eher darauf, wie man die
> Rechnung vom doppelt-logarithmischen Fall
> (Potenzfunktionen) auf den einfach-logarithmischen Fall
> (Exp.Funktionen) überträgt. Inzwischen habe ich den Beweis
> aber auch alleine geschafft.
Da ich immer noch nicht genau weiß, was du meinst, könntest du deinen Beweis hier vielleicht posten?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mi 23.04.2008 | | Autor: | MasterEd |
Wir betrachten die beiden Werte $u$ und $v$, die wie folgt definiert sind:
$u:=x$ und [mm] $v:=\log(y)$
[/mm]
Es handelt sich also um logarithmierte $y$-Werte. Dann ist die Funktion
[mm] $$v=\log(a)+\log(b)\cdot [/mm] u$$
linear in $u$ und $v$, d.h. es handelt sich um eine Gerade $v(u)$ mit der Steigung [mm] $\log(b)$ [/mm] und dem $v$-Achsenabschnitt [mm] $\log(a)$. [/mm] Nach Anwendung der Logarithmengesetze erhält man:
[mm] $$v=\log(a)+\log(b)\cdot [/mm] u$$
[mm] $$\log(y)=\log(a)+\log(b)\cdot [/mm] x$$
[mm] $$\log(y)=\log(a)+\log(b^x)$$
[/mm]
[mm] $$\log(y)=\log(a\cdot b^x)$$
[/mm]
Nun wählt man die gemeinsame Basis der Logarithmen und potenziert sie jeweils mit der linken und der rechten Seite der Gleichung. Dann folgt:
[mm] $$y=a\cdot b^x$$
[/mm]
Dies ist die Gleichung der Exponentialfunktion.
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