doubly-even codes < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Let $C = [mm] C^\perp$, [/mm] $D = [mm] D^\perp$ $\leq \IF_q^n$ [/mm] and $X [mm] \leq \IF_q^m$ [/mm] such that $X [mm] \cap X^\perp [/mm] = [mm] \{0\}$. [/mm] Then $T := C [mm] \otimes [/mm] X + D [mm] \otimes X^\perp \leq \IF_q^{mn} [/mm] = [mm] \IF_q^m \otimes \IF_q^n$ [/mm] is a self-dual code.
If $q=2$ and $C,D$ are doubly-even, then $T$ is also doubly-even. |
moin,
ich bastel gerade ein wenig mit Codes rum und dabei ist mir obiger Satz über den Weg gelaufen.
Ich konnte bereits beweisen, dass $T$ mit den gegebenen Bedingungen selbstdual ist und ich konnte zumindest zeigen, dass für $C,D$ doubly-even jedes Element ein gerades Gewicht hat. Allerdings schaffe ich es nicht zu zeigen, dass in diesem Fall wirklich jedes Element aus $T$ ein Gewicht hat, das durch 4 teilbar ist.
In dem Paper, aus dem dieser Satz stammt, steht im Beweis nur, dass die Erzeuger von $T$ ein Gewicht haben, das durch 4 teilbar ist, und damit sei die Aussage klar.
Dass die Erzeuger (die Basis?) dies erfüllen konnte ich auch inzwischen zeigen, allerdings ist mir damit noch lange nicht alles klar, denn nur weil zwei Vektoren $x,y [mm] \in \IF_2^k$ [/mm] ein Gewicht haben, das durch 4 teilbar ist, muss das ja noch lange nicht für $x+y$ gelten.
Gegenbeispiel: $x = (11110)$, $y = (01111)$ haben beide Gewicht 4, aber $x+y = (10001)$ hat nur Gewicht 2.
Da ich für den Satz auch kein Gegenbeispiel gefunden habe, wollte ich fragen, ob jemand eine Idee hat, wie man beweisen (oder gern auch widerlegen^^) könnte, dass $T$ doubly-even ist.
lg
Schadow
PS: Für den Fall $C=D$ habe ich einen Beweis der Aussage, wenn man das Tensorprodukt umkehrt, also $T := X [mm] \otimes [/mm] C + [mm] X^\perp \otimes [/mm] D$ setzt; was aber hoffe ich mal keinen gravierenden Unterschied zu obiger Definition bedeuten sollte; also fehlt "nur" noch einer für den Fall $C [mm] \neq [/mm] D$.
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Ach ja, es ist doch immer gut in einem Team zu arbeiten.^^
Nach einigen Stunden haben wir jetzt eine Lösung, die wir alle glauben, auch wenn sie Summen beinhaltet, dessen Addtionen teils in [mm] $\IZ$ [/mm] und teils in [mm] $\IF_2$ [/mm] ausgeführt werden....
Also Frage soweit geklärt und deshalb nur noch für interessierte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Sa 16.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ach ja, es ist doch immer gut in einem Team zu arbeiten.^^
Ja, das ist manchmal echt praktisch :)
> Nach einigen Stunden haben wir jetzt eine Lösung, die wir
> alle glauben, auch wenn sie Summen beinhaltet, dessen
> Addtionen teils in [mm]\IZ[/mm] und teils in [mm]\IF_2[/mm] ausgeführt
> werden....
> Also Frage soweit geklärt und deshalb nur noch für
> interessierte.
Ok, in dem Fall kann ich gleich wieder aufhoeren drueber nachzudenken ;)
LG Felix
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