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| Aufgabe | | zeige, dass für die Größe der Querschnittsfläche des Beispiels gilt: A( [mm] \alpha) [/mm] = 1/2 [mm] a^2 [/mm] sin ( [mm] \alpha) [/mm] |
zur erläuterung:
da ist ein gleichschenkliges dreieck, und die grundseite is in y und y geteilt. die höhe x teilt die grundseite eben in zwei gleichlange seiten, die beide y heissen.
die beiden restlichen seiten des dreiecks heissen a und der winkel zwsichen den beiden a ist der winkel [mm] \alpha
[/mm]
so hallo an alle,
ich weiß zwar net ob die aufgabe hier hinein gehört, aber da unser thema grad analysis ist dachte ich mir das es passt...
um ehrlich zusein hab ich keinen ansatz. ich weiß nich genau welche regel ich benutzen muss...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 14.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> zeige, dass für die Größe der Querschnittsfläche des
> Beispiels gilt: A( [mm]\alpha)[/mm] = 1/2 [mm]a^2[/mm] sin ( [mm]\alpha)[/mm]
> zur erläuterung:
> da ist ein gleichschenkliges dreieck, und die grundseite
> is in y und y geteilt. die höhe x teilt die grundseite eben
> in zwei gleichlange seiten, die beide y heissen.
> die beiden restlichen seiten des dreiecks heissen a und
> der winkel zwsichen den beiden a ist der winkel [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> so hallo an alle,
> ich weiß zwar net ob die aufgabe hier hinein gehört, aber
> da unser thema grad analysis ist dachte ich mir das es
> passt...
>
> um ehrlich zusein hab ich keinen ansatz. ich weiß nich
> genau welche regel ich benutzen muss...
Hallo,
wenn ich dich richtig verstehe, hast du ein ganz normales gleichschenkliges Dreieck.
Der Winkel den es einmal gibt nennst du $\alpha$ und die Schenkel $a$.
Am besten postest du auch mal die Skizze. Wir versuchen es aber auch mal ohne:
Normalerweise berechnen wir den Flächeninhalt eines Dreicks mit:
$A=\frac{1}{2}*g*h$ teilen wir das Dreick durch die Höhe, so erhalten wir zwei
rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten $a, x, y$.
$A=\frac{1}{2}x*2y=x*y$ mit $\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{y}{a} \to y=a*\sin{\frac{\alpha}{2}}$
und $\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{x}{a} \to x=a*\cos{\frac{\alpha}{2}}$
$A=a*\sin{\frac{\alpha}{2}}*a*\cos{\frac{\alpha}{2}}$
Nun gilt außerdem $\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin (x-y) + \sin (x+y)\right] $
$\to \sin{\frac{\alpha}{2}}*a*\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}\left[\sin (\frac{\alpha}{2}}-\frac{\alpha}{2}}) + \sin (\frac{\alpha}{2}}+\frac{\alpha}{2}})\right]=\frac{1}{2}*(\sin{0}+\sin{\alpha})=\frac{1}{2}\sin{\alpha}$
Setzen wir das wieder ein, so erhalten wir:
$A=a*\sin{\frac{\alpha}{2}}*a*\cos{\frac{\alpha}{2}}=a^2*\frac{1}{2}\sin{\alpha}$
q.e.d.
Und wir freuen uns, dass es passt.
Gruß
Nicolas
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