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ich habe die vermutung ,dass sich aus jeder dreiecksmatrix mit vollem rang eine diagonalmatrix mit identischen eigenwerten durch zeilenoperationen umwandeln lässt,d.h. ich brauche die diagonaleinträge nicht dabei zu ändern.
(das will ich wissen ,um behaupten zu können ,dass ich die signatur einer matrix schon ablesen kann ,wenn sie in dreiecksform ist)
ps:SIGNATUR: (anzahl positiver EW,anz. neg. EW,rang)
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> ich habe die vermutung ,dass sich aus jeder dreiecksmatrix
> mit vollem rang eine diagonalmatrix mit identischen
> eigenwerten durch zeilenoperationen umwandeln lässt,
Hallo,
???
Ich hoffe sehr, daß ich mich täusche, aber so ein bißchen habe ich den Verdacht, daß Du Zeilenumformungen wie beim Gaußverfahren mit Diagonalisierung verwechselst.
> ich brauche die diagonaleinträge nicht dabei zu ändern.
>
> (das will ich wissen ,um behaupten zu können ,dass ich die
> signatur einer matrix schon ablesen kann ,wenn sie in
> dreiecksform ist)
Auf der Hauptdiagonalen einer Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte.
Gruß v. Angela
> ps:SIGNATUR: (anzahl positiver EW,anz. neg. EW,rang)
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ich dachte mir:
das x-fache der einen zeile von einer anderen zeile ab/zuaddieren/subtrahieren um an den gewünschten stellen nullen zu erzeugen.
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> ich dachte mir:
> das x-fache der einen zeile von einer anderen zeile
> ab/zuaddieren/subtrahieren um an den gewünschten stellen
> nullen zu erzeugen.
Hallo,
ich hab's befürchtet.
Das, was Du beschreibst, ist der Gaußalgorithmus.
Der ist sehr nützlich, hat aber mit Diagonalisierung und Eigenwertbestimmung nix zu tun.
Ich glaube, Du mußt das Thema Triangulierbarkeit(Trigonalisierbarkeit)/Diagonalisierbarkeit gründlich nacharbeiten.
Das hat etwas mit Basistransformation, Eigenwerten und Eigenvektoren zu tun.
Wenn Du eine Matrix M gegeben hast, die Du in eine zu ihr ähnliche Dreiecksmatrix D (also mit denselben Eigenwerten) verwandeln willst, brauchst Du eine invertierbare (Transformations)-Matrix T mit [mm] D=T^{-1}MT.
[/mm]
Gruß v. Angela
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mist,hab ich in der klausur also null punkte dafür.ich dachte ,dass die determinante scherungsinvariant ist,und damit wären auch die eigenwerte
det(A- [mm] \lambda [/mm] E ) scherungsinvariant.
was könnte man dazu sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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also bei wikipedia steht dass man die determinante also auch det(A- [mm] \lambda [/mm] E) mit hilfe des gaußalgorithmus berechnen kann:
Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist detB = detA.
ferner gilt :
Da die elementaren Zeilenumformungen die Determinante 1 haben, hat die sich ergebende obere Dreiecksmatrix dieselbe Determinante wie die ursprüngliche Matrix
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> also bei wikipedia steht dass man die determinante also
> auch det(A- [mm]\lambda[/mm] E) mit hilfe des gaußalgorithmus
> berechnen kann:
>
> Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer
> Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte
> addiert, dann ist detB = detA.
Hallo,
ja.
> ferner gilt :
> Da die elementaren Zeilenumformungen die Determinante 1
> haben, hat die sich ergebende obere Dreiecksmatrix dieselbe
> Determinante wie die ursprüngliche Matrix
Ja.
Das bedeutet aber nicht, daß die Matrix B, die Du mit dem Gaußverfahren aus der Matrix A erhältst, dieselben Eigenwerte hat.
Die Determinante ist gleich. Und die Determinante ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.
Schau: [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] kann ich durch Addition des -3-fachen der erten Ziel zu [mm] B:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -2 } [/mm] machen.
In der Tat haben beide Matrizen dieselbe Determinante. Es sind aber 1,-2 nicht(!) die Eigenwerte von A.
Allerdings ist das Produkt der Eigenwerte von A =1*(-2)=-2.
(Insofern könntest Du in diesem glücklichen Fall die Signatur bestimmen, denn es muß ja, wenn das Produkt zweier Zahlen negativ ist, ein Faktor pos. und einer negativ sein. Wenn das Produkt aber positiv ist, bist Du so schlau wie zuvor, und bei größeren Matrizen auch.)
Gruß v. Angela
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