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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - dreiseitige Pyramide
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dreiseitige Pyramide: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 18.05.2008
Autor: Karlchen

Aufgabe
Die Punkte A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2/4/1), D(1/3/7) bestimmen eine dreiseitige Pyramide.

a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene durch die Punkte A, B, C

b) Berechnen sie den Abstand des Punktes C von der GEraden durch A und B

c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD

d) Bestimmen sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks ABC

Hallo!

also mein Hauptprolem bei dieser Aufgabe is eigentlich a)

Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+r*\vektor{-2\\5\\-1}+s\vektor{-4\\3\\1} [/mm]

dann den Normalenvektor berechnet: [mm] \vec{n}=\vektor{8\\6\\14} [/mm]

und um jetzt den Abstand zur Spitze D berechnen zu können, muss ja ersteinmal den Mittelpunkt des Dreiecks berechnen. Aber irgendwie hakt das da bei mir

[mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \vec{a}+\bruch{2}{3}*\vec{AM} [/mm]

[mm] \vec{AM}=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{C_{MA}} [/mm]

naja und hier komme ich halt nicht weiter.

b) hier wäre es sehr nett, wenn mal jemand kontrollieren könnte, ob ich richtig gerechnet habe. bekomme nämlich ganz krumme zahlen heraus

[mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+t\vektor{-2\\5\\-1} [/mm] , C(-2/4/1)

1. E: [mm] -2x_{1}+5x_{2}-x_{3}=23 [/mm]

2. -2*(2-2t)+5*(1+5t)+t=23
[mm] t=\bruch{22}{30} [/mm]

--> [mm] F(\bruch{8}{15}/4\bruch{2}{3}/\bruch{22}{30}) [/mm]

3. [mm] d=|\vec{CF}|\approx [/mm] 3

c) hier brauch ich ja ers noch die höhe aus a)

d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch alle Innenwinkel

über die allgemeine Formel [mm] cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}} [/mm]

oder?

bin für jede hilfe dankbar
Gruß Karlchen

        
Bezug
dreiseitige Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 So 18.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Die Punkte A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2/4/1), D(1/3/7)
> bestimmen eine dreiseitige Pyramide.
>  
> a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene
> durch die Punkte A, B, C
>  
> b) Berechnen sie den Abstand des Punktes C von der GEraden
> durch A und B
>  
> c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD
>  
> d) Bestimmen sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks
> ABC
>  
> Hallo!
>  
> also mein Hauptprolem bei dieser Aufgabe is eigentlich a)
>  
> Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt:
> [mm]\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+r*\vektor{-2\\5\\-1}+s\vektor{-4\\3\\1}[/mm]
>  
> dann den Normalenvektor berechnet:
> [mm]\vec{n}=\vektor{8\\6\\14}[/mm]

Bis hierher korrekt.

>  
> und um jetzt den Abstand zur Spitze D berechnen zu können,
> muss ja ersteinmal den Mittelpunkt des Dreiecks berechnen.
> Aber irgendwie hakt das da bei mir
>  
> [mm]\vec{m}[/mm] = [mm]\vec{a}+\bruch{2}{3}*\vec{AM}[/mm]
>  
> [mm]\vec{AM}=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{C_{MA}}[/mm]

Das ginge auch. Allerdinsg braucsht du dafür unglaublich viele Hilfspunkte.

Einfacher ist es aber die Hilfsgerade [mm] g:\vec{x}=\vec{d}+\lambda*\vec{n} [/mm] zu bestimmen (Also durch die Spitze D und senkrecht zu E)
Berechne jetzt mal den Schnittpunkt von E und g - nennen wir ihn F -  indem du g in die Koordinatenform der Ebene einsetzt. Dann ergibt sich eine Gleichung mit der [mm] Variable\lambda, [/mm] mit dem di dann in g eingesetzt, F ermittelt. Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{DF} [/mm] ist dann der gesuchte Abstand.

Also:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\3\\7}+\lambda*\vektor{8\\6\\14} [/mm]
Koordinatenform:von [mm] E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=8*\red{2}+6*\red{1}+12*\red{0} [/mm]
[mm] \gdw E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=22 [/mm]
[mm] \gdw E:4x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=11 [/mm]
Koordinaten von A

g in E einsetzen:
[mm] 4(1+8\lambda)+3(3+6\lambda)+6(7+14\lambda)=11 [/mm]
[mm] \gdw \lambda=... [/mm]

>  
> naja und hier komme ich halt nicht weiter.
>
> b) hier wäre es sehr nett, wenn mal jemand kontrollieren
> könnte, ob ich richtig gerechnet habe. bekomme nämlich ganz
> krumme zahlen heraus
>  
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+t\vektor{-2\\5\\-1}[/mm] , C(-2/4/1)
>  
> 1. E: [mm]-2x_{1}+5x_{2}-x_{3}=23[/mm]
>  
> 2. -2*(2-2t)+5*(1+5t)+t=23
>  [mm]t=\bruch{22}{30}[/mm]
>  
> --> [mm]F(\bruch{8}{15}/4\bruch{2}{3}/\bruch{22}{30})[/mm]
>  
> 3. [mm]d=|\vec{CF}|\approx[/mm] 3

Ich finde hier auf den ersten Blick keine Fehler. Lass aber den Wurzelterm als Ergebnis stehen.

>  
> c) hier brauch ich ja ers noch die höhe aus a)

Die hast du jetzt ja.

>  
> d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> alle Innenwinkel
>
> über die allgemeine Formel
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>  
> oder?

Genau damit.

>  
> bin für jede hilfe dankbar
>  Gruß Karlchen

Marius

Bezug
                
Bezug
dreiseitige Pyramide: rückfrage und korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 18.05.2008
Autor: Karlchen

erst einmal ganz lieben Dank!^^


[mm]E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=8*\red{2}+6*\red{1}+12*\red{0}[/mm]

>  [mm]\gdw E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=22[/mm]
>  [mm]\gdw E:4x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=11[/mm]
>  
> Koordinaten von A

hier hätte man doch genauso gut die Koordinaten von B oder C nehmen können, oder?


> > d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> > alle Innenwinkel
> >
> > über die allgemeine Formel
> >
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>  >  
> > oder?
>  
> Genau damit.
>  

ich hab das jetzt zweimal durchgerechnet und komme immer wieder zum gleichen ergebnis. Das aber auf jeden fall falsch ist.

[mm] cos\alpha=\bruch{4*(-2)+1*4+0*5}{\wurzel{17}*\wurzel{45}} [/mm]
(Winkel zwischen a und c)

[mm] \alpha=98° [/mm]

[mm] cos\beta=\bruch{4*0+1*7+0*2}{\wurzel{17}*\wurzel{53}} [/mm]
(Winkel zwischen a und b)

[mm] \beta=76,5° [/mm]

[mm] cos\gamma=\bruch{0*(-2)+4*7+2*5}{\wurzel{53}*\wurzel{45}} [/mm]
(winkel zwischen b und c)

[mm] \gamma=40° [/mm]


hab das ganze auch mit [mm] -\vec{c} [/mm] durchgerechnet, aber das kam von der Winkelsumme auch nicht hin.

Ich habe ich irgenwas übersehen?




Bezug
                        
Bezug
dreiseitige Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 So 18.05.2008
Autor: MathePower

Hallo Karlchen,

>
> > > d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> > > alle Innenwinkel
> > >
> > > über die allgemeine Formel
> > >
> >
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>  >  >  
> > > oder?
>  >  
> > Genau damit.
>  >  
>
> ich hab das jetzt zweimal durchgerechnet und komme immer
> wieder zum gleichen ergebnis. Das aber auf jeden fall
> falsch ist.
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{4*(-2)+1*4+0*5}{\wurzel{17}*\wurzel{45}}[/mm]
>  (Winkel zwischen a und c)
>  
> [mm]\alpha=98°[/mm]
>  
> [mm]cos\beta=\bruch{4*0+1*7+0*2}{\wurzel{17}*\wurzel{53}}[/mm]
>  (Winkel zwischen a und b)
>  
> [mm]\beta=76,5°[/mm]
>  
> [mm]cos\gamma=\bruch{0*(-2)+4*7+2*5}{\wurzel{53}*\wurzel{45}}[/mm]
>  (winkel zwischen b und c)
>  
> [mm]\gamma=40°[/mm]
>  
>
> hab das ganze auch mit [mm]-\vec{c}[/mm] durchgerechnet, aber das
> kam von der Winkelsumme auch nicht hin.
>
> Ich habe ich irgenwas übersehen?
>  
>
>  

Diese Ergebnisse kann ich leider nicht nachvollziehen.

Poste doch mal die Rechenschritt zu d)

Gruß
MathePower

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dreiseitige Pyramide: Rechenweg zu d)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 So 18.05.2008
Autor: Karlchen

Hallo^^


A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2(4/1)


[mm] cos\alpha=\bruch{c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}} [/mm]

[mm] \bruch{2*(-2)+1*4+0*1}{\wurzel{2^{2}+1^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-2)^{2}+4^{2}+1^{2}}} [/mm]

[mm] \bruch{0}{\wurzel{5}*\wurzel{21}}=0 [/mm]

[mm] \alpha=90° [/mm]



[mm] cos\beta=\bruch{b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}} [/mm]

[mm] \bruch{2*0+1*6+0*(-1)}{\wurzel{5}*\wurzel{(0)^{2}+6^{2}+(-1)^{2}}} [/mm]

[mm] \bruch{6}{\wurzel{5}*\wurzel{37}} [/mm]

[mm] \beta=64° [/mm]



[mm] cos\gamma=\bruch{c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}}{\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}} [/mm]

[mm] \bruch{0*(-2)+6*4+(-1)*1}{\wurzel{21}*\wurzel{37}} [/mm]

[mm] \bruch{23}{\wurzel{21}*\wurzel{37}} [/mm]

[mm] \gamma=34° [/mm]


sorry, bei ersten mal habe ich die zahlen irgenwie total vertauscht, diesmal müsste es zahlenmäßig richtig sein, aber auf die richtige Winkelsumme komme ich trotzdem nicht...

Bezug
                                        
Bezug
dreiseitige Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 18.05.2008
Autor: MathePower

Hallo Karlchen,

> Hallo^^
>  
>
> A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2(4/1)
>  
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2*(-2)+1*4+0*1}{\wurzel{2^{2}+1^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-2)^{2}+4^{2}+1^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{0}{\wurzel{5}*\wurzel{21}}=0[/mm]
>  
> [mm]\alpha=90°[/mm]
>  

Hier darfst Du nicht die Vektoren [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{OC}[/mm] einsetzen, sondern hier müssen die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]  und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]  eingesetzt werden.


Demnach ergibt sich:

[mm]\cos\left(\alpha\right)=\bruch{\overrightarrow{AB} \* \overrightarrow{AC}}{\vmat{\overrightarrow{AB}}\vmat{\overrightarrow{AC}}}[/mm]

Für die anderen Winkel machst Du das analog.

>
>
> [mm]cos\beta=\bruch{b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{2*0+1*6+0*(-1)}{\wurzel{5}*\wurzel{(0)^{2}+6^{2}+(-1)^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{6}{\wurzel{5}*\wurzel{37}}[/mm]
>  
> [mm]\beta=64°[/mm]
>  
>
>
> [mm]cos\gamma=\bruch{c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}}{\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{0*(-2)+6*4+(-1)*1}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{23}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}[/mm]
>  
> [mm]\gamma=34°[/mm]
>  
>
> sorry, bei ersten mal habe ich die zahlen irgenwie total
> vertauscht, diesmal müsste es zahlenmäßig richtig sein,
> aber auf die richtige Winkelsumme komme ich trotzdem
> nicht...

siehe oben

Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
dreiseitige Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Mo 19.05.2008
Autor: Karlchen

dankeschöön!

jetzt sieht das ganze auch schon gleich anders aus^^

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