drittes Moment und Dichtefunkt < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:03 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ted-e |
| Aufgabe | Warum gilt für:
E(U + [mm] \gamma [/mm] )³ < [mm] \infty [/mm] dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x²h(x)=0 ?
h(x) ist eine Dichtefunktion von P(U + [mm] \gamma \le [/mm] x) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Wenn das dritte Moment endlich ist, heißt dies doch, dass die Dichtefunktion am Rand, also bei oo gegen 0 geht. Oder?
Ich habe dann versucht über eine Grenzwertbetrachtung (oo²*0) auf das Ergebnis zu kommen. Ohne Erfolg. Ich denke daher, meine Überlegung war quatsch.
Kann mir einer evtl sagen, warum man diese obige Annahme so treffen kann?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mi 02.05.2007 | | Autor: | DirkG |
Die Behauptung ist schlichtweg falsch:
Man kann z.B. folgende Dichte betrachten
$$h(x) = [mm] \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; k-2^{-k} \leq x\leq k\;,\;\mbox{wobei}\;k=1,2,\ldots\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases}$$
[/mm]
Dann existieren sogar das m-te Moment
[mm] $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} [/mm] ~ x^mh(x) ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \int\limits_{k-2^{-k}}^{k} [/mm] ~ [mm] x^m [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] < [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] 2^{-k} k^m [/mm] < [mm] \infty$$
[/mm]
für alle [mm] $m\geq [/mm] 1$.
Andererseits existiert keiner der Grenzwerte [mm] $\lim\limits_{x\to\infty} [/mm] x^mh(x)$, für kein einziges [mm] $m\geq [/mm] 0$.
Zu retten ist das ganze höchstens mit weiteren Zusatzvoraussetzungen für $h(x)$, z.B. "monoton fallend" o.ä.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ted-e |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 02.05.2007 | | Autor: | ted-e |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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