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[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe es mal so versucht:
a) [mm] \delta_x [/mm] = [mm] \vektor{1 & x & x²}\vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2}
[/mm]
Ich nehme nur die Darstellungsmatrix, weil es sich damit leichter rechnen lässt:
[mm] \delta_{cx+ty} [/mm] = [mm] \vektor{1 & (cx+ty) & (cx+ty)²}= \vektor{1 & (cx+ty) & (c²x²+2ctxy+t²y²)}
[/mm]
[mm] c\delta_x+t\delta_y [/mm] = [mm] c\vektor{1 & x & x²}+t \vektor{1 & y & y²}=\vektor{c+t & (cx+ty) & (cx²+ty²)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta_{cx+ty} [/mm] = [mm] c\delta_x+t\delta_y [/mm] gilt nicht für alle c,t [mm] \in \IR. \Rightarrow [/mm] Die Abbildung ist nicht linear.
Ist der Ansatz richtig so? Oder muss ich es anders machen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 04.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Hier stand Müll.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:09 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nein, bei a) ist zu zeigen dass [mm]\delta_x(p+\lambda q)=\delta_x(p)+\lambda\cdot\delta_x(q)[/mm]
> gilt für Polynome [mm]p,q\in[/mm] V und [mm]\lambda\in\IK[/mm].
Nein, das ist einfach nicht die Aufgabenstellung. Die Abbildung ist wie die typische Abbildung in den Bidualraum, [m]V\to V^{**}, v \mapsto \{\phi \mapsto \phi(v) \}[/m].
Diese Trivialität wollten wohl die Aufgabenstellern den Aufgabenbearbeitern ersparen und haben sich gleich interessanteren Sachen zugewendent. 
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich nehme nur die Darstellungsmatrix, weil es sich damit
> leichter rechnen lässt:
In wie fern? Und: warum hast du noch [m]x^2[/m] und so weiter in dieser Darstellung? Das amcht doch nicht viel Sinn?!
> [mm]\delta_{cx+ty}[/mm] = [mm][mm] \vektor{1 & (cx+ty) & (cx+ty)²}= \vektor{1 & (cx+ty) & (c²x²+2ctxy+t²y²)}[/mm
[/mm]
Also dein [mm]\delta_{cx+ty}[/mm] auf den drei Basisvektoren ausgewertet? Ja, das gibt die Matrix. Und dann schauen, wo [m]x^2[/m] unter [m]c\delta_x+t\delta_y[/m] hingeht - das genügt ja.
> [mm]\Rightarrow \delta_{cx+ty}[/mm] = [mm]c\delta_x+t\delta_y[/mm] gilt nicht
> für alle c,t [mm]\in \IR. \Rightarrow[/mm] Die Abbildung ist nicht
> linear.
Ich würde noch konkrete Werte angeben und den Widerspruch zeigen, sonst ist es etwas wakelig - mit endlichen Körpern wird so eine Abbildung ziemlich fix wieder linear ...
> Ist der Ansatz richtig so? Oder muss ich es anders machen?
Das Quadrat ausnutzen ist sicher richtig!
SEcki
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Mit der Darstellungsmatrix mein ich eben (1 x x²), weil [mm] \vektor{1 & x & x²} \vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2} [/mm] = [mm] a_0+a_1x+a_2x². [/mm] Das ist ja eben die Linearform.
Bei der b) bin ich so vorgegangen:
Ich habe die Darstellungsmatrizen als Zeilenvektoren in eine Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & x & x² \\ 1 & y & y² \\ 1 & z & z²} \to [/mm] ... [mm] \to \pmat{ 1 & x & x² \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y}
[/mm]
Weil x,y,z alle verschieden sind, hat die Matrix Rang 3 => Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig. => [mm] \delta_x, \delta_y, \delta_z [/mm] bilden eine Basis von V*.
Bei der c) dann so:
[mm] \integral_{0}^{2}{p(t) dt}=[a_ot+\bruch{a_1}{2}t²+\bruch{a_2}{3}t³]_{0}^{2}=2a_0+2a_1+\bruch{8}{3}a_2
[/mm]
Und dann eben dieses Gleichungssystem lösen:
[mm] \vektor{2 & 2 & \bruch{8}{3}}=\lambda_1\vektor{1 & 0 & 0}+\lambda_2\vektor{1 & 1 & 1}+\lambda_3\vektor{1 & 2 & 4}
[/mm]
[mm] \lambda_1=\lambda_3=\bruch{1}{3}, \lambda_2=\bruch{4}{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Mit der Darstellungsmatrix mein ich eben (1 x x²), weil
> [mm]\vektor{1 & x & x²} \vektor{a_0 \\ a_1 \\ a_2}[/mm] =
> [mm]a_0+a_1x+a_2x².[/mm] Das ist ja eben die Linearform.
Nein. Eine Linearform würde nach [m]\IR[/m] gehen, was es hier nicht tut. Bei der darstellenden Matrix musst du die eigentliche Basis "vergessen" und nur die Koeffizienten der Basiselemente übrig behalten.
> Bei der b) bin ich so vorgegangen:
> Ich habe die Darstellungsmatrizen als Zeilenvektoren in
> eine Matrix geschrieben:
Und von was ist das die darstellende Matrix? Von welcher linearen Abbildung? Ich glaub, da wirfst du einiges durcheinander. Was aber stimmt: Sei [m]\{v_i\}[/m] eine Basis und [m]\{l_k\}[/m] m-viele Linearformen mit n größer gleich m. Dann sind die m Linearformen genau dann unabhängig wenn die m+n Matrix [m](l_k(v_i))[/m] Rang m hat.
> [mm]\pmat{ 1 & x & x² \\ 1 & y & y² \\ 1 & z & z²} \to[/mm] ... [mm]\to \pmat{ 1 & x & x² \\ 0 & 1 & y+x \\ 0 & 0 & z-y}[/mm]
>
> Weil x,y,z alle verschieden sind, hat die Matrix Rang 3 =>
> Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig. => [mm]\delta_x, \delta_y, \delta_z[/mm]
> bilden eine Basis von V*.
Ja, siehe oben.
> Bei der c) dann so:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{p(t) dt}=[a_ot+\bruch{a_1}{2}t²+\bruch{a_2}{3}t³]_{0}^{2}=2a_0+2a_1+\bruch{8}{3}a_2[/mm]
>
> Und dann eben dieses Gleichungssystem lösen:
>
> [mm]\vektor{2 & 2 & \bruch{8}{3}}=\lambda_1\vektor{1 & 0 & 0}+\lambda_2\vektor{1 & 1 & 1}+\lambda_3\vektor{1 & 2 & 4}[/mm]
Ja.
> [mm]\lambda_1=\lambda_3=\bruch{1}{3}, \lambda_2=\bruch{4}{3}[/mm]
Gut, das habe ich net nachgerechnet, aber man kann ja schnell die Probe machen :)
SEcki
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Es steht doch aber in der Angabe, dass [mm] \delta_x [/mm] von V nach R geht. Warum soll es dann keine Linearform sein?
Ich verstehe es so, dass [mm] \delta_x [/mm] ein Polynom erzeugt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Es steht doch aber in der Angabe, dass [mm]\delta_x[/mm] von V nach
> R geht. Warum soll es dann keine Linearform sein?
Doch, das ist eine Linearform, aber ...
> Ich verstehe es so, dass [mm]\delta_x[/mm] ein Polynom erzeugt.
... du widersprichst dich hier. Der Bildraum von [mm]\delta_x[/mm] ist eben [m]\IR[/m]. Wie solltest du da ein Polynom erzeugen? Die gibt es im aum [m]\IR[/m] irgendwie nicht ...
SEcki
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Ja stimmt, [mm] \delta_x [/mm] erzeugt den Funktionswert p(x). Aber wenn x eben beliebig ist, sieht der Funktionswert aus wie ein Polynom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 04.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ja stimmt, [mm]\delta_x[/mm] erzeugt den Funktionswert p(x). Aber
> wenn x eben beliebig ist, sieht der Funktionswert aus wie
> ein Polynom.
Naja ... es ist aber nicht das gleiche. Du hast ja richtige Ideen, du solltest halt obiges nur ein bisschen sauberer aufschreiben und nicht Polynome in den Raum [m]\IR[/m] setzen, wo sie gar nicht existieren.
SEcki
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