dualer Raum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 22.07.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | es ist gegeben: K-Vektorräume V, W; f [mm] \in [/mm] Hom(V,W) |
kann mir dann jemand folgendes Diagramm erklären:
[Dateianhang nicht öffentlich]
was ist [mm] \phi [/mm] für eine Abbildung?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Dualraum-verstehen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Fr 22.07.2011 | | Autor: | statler |
Einen schönen guten Tag und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> es ist gegeben: K-Vektorräume V, W; f [mm]\in[/mm] Hom(V,W)
> kann mir dann jemand folgendes Diagramm erklären:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> was ist [mm]\phi[/mm] für eine Abbildung?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Dualraum-verstehen
Das hätte nicht nötig getan.
Was für eine Abbildung [mm] \varphi [/mm] letztlich sein soll, steht hier natürlich nirgends explizit geschrieben. Aber damit das Diagramm einen Sinn hat, ist es gut anzunehmen, daß [mm] \varphi [/mm] eine Linearform auf W ist. Die Verkettung [mm] $\varphi \circ [/mm] f$ ergibt dann eine Linearform auf V.
Ganz viele Grüße aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Fr 22.07.2011 | | Autor: | anabiene |
genau, [mm] \varphi [/mm] soll eine Linearform sein, und eben das versteh ich nicht genau. kannst mit vllt ein Beispiel einer Linearform geben, damit ich das Thema endlich mal blicke? :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch [mm] $\varphi:W \to [/mm] K$ eine Abbildung , die auf W definiert ist und in den Körper K geht. Ist [mm] \varphi [/mm] linear, so nennt man [mm] \varphi [/mm] eine Linearform.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Ich nehme an, dass f linear ist. Dann besitzt f eine adjungierte Abbildung [mm] $f^{\star}: W^{\star} \to V^{\star}$, [/mm] wobei [mm] V^{\star} [/mm] und [mm] W^{\star} [/mm] die Dualräume von V bzw.W sind.
Wie ist [mm] f^{\star} [/mm] definiert ? So:
$ [mm] f^{\star}(\varphi)(v):= (\varphi \circ [/mm] f)(v)$ $(v [mm] \in [/mm] V, [mm] \varphi \in W^{\star})$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 22.07.2011 | | Autor: | anabiene |
wäre folgendes eine Linearform? [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto f(\vektor{x \\ y \\ z})= [/mm] -x+2z
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> wäre folgendes eine Linearform? [mm]\varphi[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto f(\vektor{x \\ y \\ z})=[/mm]
> -x+2z
Ja,besser wäre:
[mm]\varphi[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \varphi(\vektor{x \\ y \\ z})=-x+2z[/mm]
>
Allgemein gilt: ist [mm] $\varphi: \IR^n \to \IR$ [/mm] eine Linearform, so gibt es [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] mit
[mm] \varphi((x_1,...,x_n)^T)=a_1*x_1+...+a_n*x_n.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 22.07.2011 | | Autor: | anabiene |
"Allgemein gilt: ist $ [mm] \varphi: \IR^n \to \IR [/mm] $ eine Linearform, so gibt es $ [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] $ mit
$ [mm] \varphi((x_1,...,x_n)^T)=a_1\cdot{}x_1+...+a_n\cdot{}x_n. [/mm] $"
also falls W ein m-dimensionaler K-Vektorraum ist, dann wäre dies eine Linearform: [mm] w=\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_m } \in [/mm] W und [mm] a=\pmat{ a_1, & \cdots ,& a_m} \in \IK [/mm] praktisch [mm] \varphi(x)=a*x=a_1x_1+...+a_m x_m [/mm] ???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Allgemein gilt: ist [mm]\varphi: \IR^n \to \IR[/mm] eine
> Linearform, so gibt es [mm]a_1,...,a_n \in \IR[/mm] mit
>
> [mm]\varphi((x_1,...,x_n)^T)=a_1\cdot{}x_1+...+a_n\cdot{}x_n. [/mm]"
>
>
> also falls W ein m-dimensionaler [mm] $\IK$-Vektorraum [/mm] ist, dann
> wäre dies eine Linearform: NICHT w, sondern [mm]\blue{x}=\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_m } \in[/mm]
> W und [mm]a=\pmat{ a_1, & \cdots ,& a_m} \in \red{\IK}[/mm] (richtig wäre [mm] $\IK^m$ [/mm] oder genauer [mm] $\IK^{1 \times m}$) [/mm] praktisch
> [mm]\varphi(\blue{x})=a*x=a_1x_1+...+a_m x_m[/mm] ???
ja. Genauer: Jede Linearform hat dann eine solche Darstellung (und jede solche definiert eine Linearform). Aber für festes $a [mm] \in \IK^{\red{m}}$ [/mm] (genauer: $a [mm] \in \IK^{1 \times m}$) [/mm] ist das eine Linearform.
Ganz korrekt ist es so eigentlich noch nicht, denn [mm] $(x_1,\ldots,x_m)^T\,$ [/mm] sollte eigentlich die Koordinatendarstellung von $x [mm] \in [/mm] W$ bzgl. einer Basis des [mm] $m\,$-dimensionalen $\IK$-Vektorraums $W\,$ [/mm] sein. (Dann sind auch [mm] $x_1,\ldots,x_m \in \IK$ [/mm] und [mm] "$\varphi(x)$ [/mm] rechnet dann nur noch in [mm] $\IK$". [/mm] Bei Dir ist (notationsgemäß so) nicht ganz klar, was [mm] $x_1,\ldots,x_m$ [/mm] sein sollen, wenn Du [mm] $(x_1,\ldots,x_m)^T \in [/mm] W$ schreibst.). Aber prinzipiell hast Du's verstanden, denke ich - und Du identifizierst halt direkt Vektoren aus [mm] $W\,$ [/mm] mit Koordinatendarstellungen (bzgl. einer Basis von W).
Und denke halt dran, dass lineare Abbildungen sich immer in Matrixform (bzgl. eben solcher Koordinatendarstellungen) bringen lassen. Genauer läßt sich jede lineare Abbildung dann durch eine solche Matrix beschreiben und jede solche Matrix definiert dann eine lineare Abbildung.
Und erinnere Dich auch: Lineare Abbildungen sind durch die Funktionswerte der Vektoren einer Basis bereits bestimmt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
