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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Do 18.09.2008 | | Autor: | mini111 |
liebes forum,
wir haben als letztes das thema dualräume in der vorlesung gehabt und irgendwie versteh ich das ganze nicht.als erstes frage ich mich, was die "sternchen und nullen" über den vektorräumen zu bedeuten haben?außerdem frage ich mich wie man eine duale basis bestimmen kann.ich hoffe mir kann jemand einen kleinen überblick über das ganze geben.
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 18.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
der Dualraum [mm] V^{\*} [/mm] eines Vektorraumes V über einem Körper [mm] \IK [/mm] ist der Raum aller linearen Abbildungen von V nach [mm] \IK.
[/mm]
Lese dir in aller Ruhe mal das hier durch, dann bist du bestimmt ein bisschen schlauer.
![[]](/images/popup.gif) Dualraum
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 18.09.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo,
Vielen dank für deine antwort.ich habe mir den artikel bei wiki schon durchgelesen aber so ganz durchblicke ich die sache noch nicht.
man hat jetzt zum beispiel diese linearform:
vektorraum [mm] V=\IR^3 [/mm] dieser wird auf [mm] \IR [/mm] abgebildet,also zum beispiel: (x,y,z) [mm] \to [/mm] x+y+z.
jetzt heißt es ja ,dass die menge aller linearformen von V , als V^* bezeichnet wird und als der dualraum von V definiert wird.Jetzt frage ich mich was denn speziell in diesem beispiel hier die MENGE ALLER LINEARFORMEN ist?
danke und besten gruß
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> man hat jetzt zum beispiel diese linearform:
> vektorraum [mm]V=\IR^3[/mm] dieser wird auf [mm]\IR[/mm] abgebildet,also zum
> beispiel: (x,y,z) [mm]\to[/mm] x+y+z.
Hallo,
Du möchtest also im Moment die Abbildung [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \lambda: \IR^3\to \IR [/mm]
[mm] \lambda(\vektor{x\\y\\z}):=x+y+z [/mm]
betrachten.
Diese Abbildung ist eine Linearform des [mm] \IR^3.
[/mm]
Deshalb ist sie ein Element der Menge der Linearformen des [mm] \IR^3, [/mm] also ein Element des Dualraumes des [mm] \IR^3.
[/mm]
Der Dualraum des [mm] \IR^3 [/mm] besteht aus allen Linearformen die [mm] \IR^3.
[/mm]
Du hast eine davon genannt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 18.09.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für die antwort.
DAS:Der Dualraum des [mm] \IR^3 [/mm] besteht aus allen Linearformen die [mm] \IR^3. [/mm]
Heißt dann also ,dass zum beispiel [mm] \IR^3 \to \IR^2,\IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit irgendwelchen zuordnugen, zwei weitere linearformen des [mm] \IR^3 [/mm] sind??und was ist jetzt zum beispiel die duale basis?einfach die basis eines dualraums?hätte da vielleicht jemand ein beispiel auf lager;)?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Do 18.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hallo,
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> danke für die antwort.
> DAS:Der Dualraum des [mm]\IR^3[/mm] besteht aus allen
> Linearformen die [mm]\IR^3.[/mm]
> Heißt dann also ,dass zum beispiel [mm]\IR^3 \to \IR^2,\IR^3 \to \IR^3[/mm]
> mit irgendwelchen zuordnugen, zwei weitere linearformen des
> [mm]\IR^3[/mm] sind??
Nein, Linearformen bilden nach [mm] \IR [/mm] ab (beziehungsweise in den Körper der dem VR zugrunde liegt - aber das können wir hier mal vernachlässigen).
Wenn du zwei Vektorräume V und W hast, dann kannst du doch die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W betrachten. Diese Menge schreibt man ja als Hom(V,W).
Und nun kann man ja [mm] \IR [/mm] selbst als einen VR über sich selbst auffassen.
Und genauso wie oben kann man jetzt die Menge [mm] Hom(V,\IR) [/mm] betrachten. Also die Menge aller linearen Abbildungen von V nach [mm] \IR.
[/mm]
Und weil diese Menge wichtig ist, gibt man ihr einen Namen: Dualraum. Und damit man nicht immer [mm] Hom(V,\IR) [/mm] schreiben muss, kürzt man das ab mit [mm] V^{\*}.
[/mm]
> und was ist jetzt zum beispiel die duale
> basis?einfach die basis eines dualraums?hätte da vielleicht
> jemand ein beispiel auf lager;)?
> gruß
Also erstmal "Ja". Die duale Basis ist eine Basis des Dualraumes.
ABER: Es ist nicht einfach irgendeine Basis, sondern eine, die in direktem Zusammenhang mit der Basis des ursprünglichen VRs steht.
Elemente des Dualraumes sind ja Linearformen, d.h. sie ordnen Vektoren des ursprünglichen VRs reelle Zahlen zu. Wenn jetzt [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V ist, dann bezeichnet man die dazu duale Basis von [mm] V^{\*} [/mm] mit [mm] (v_1^{\*},...,v_n^{\*}). [/mm] Und es gilt einfach die Beziehung: [mm] v_i^{\*}(v_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}. [/mm] Oder in Worte gefasst: Wenn ich in meinen dualen Vektor [mm] v_i^{\*} [/mm] den Vektor [mm] v_i [/mm] reinschmeisse, dann kommt 1 raus, und wenn ich irgendeinen anderen Basisvektor reinwerfe, dann kommt 0 raus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Do 18.09.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo Merle,
danke und ich denke, ich habe deine erklärung verstanden,bis auf den letzten teil in den letzten 4 zeilen:
Und es gilt einfach die Beziehung: $ [mm] v_i^{*}(v_j) [/mm] $ = $ [mm] \delta_{ij}. [/mm] $ Oder in Worte gefasst: Wenn ich in meinen dualen Vektor $ [mm] v_i^{*} [/mm] $ den Vektor $ [mm] v_i [/mm] $ reinschmeisse, dann kommt 1 raus, und wenn ich irgendeinen anderen Basisvektor reinwerfe, dann kommt 0 raus.
ich habe mir mal eine aufgabe zum verständnis raus gesucht:
gib die duale basen zu jeder der folgenden basen von [mm] \IR^3 [/mm] an:
{(1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7)} kannst du mir sagen wie ich das machen soll?----ah,ich habe jetzt im i-net gefunden wie das geht,basis als spalten in eine matrix fügen,invertieren und die zeilen der inversen ist dann die basis des dualraums.ok gut ,das kann ich wohl aber kannst du mir vielleicht zum verständnis erklären warum man das so macht weil so ganz durchschaue ich das alles noch nicht.
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 18.09.2008 | | Autor: | mini111 |
ich habe meinen text nochmal ein klein wenig verändert;)
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Hallo mini111,
> Hallo Merle,
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> danke und ich denke, ich habe deine erklärung
> verstanden,bis auf den letzten teil in den letzten 4
> zeilen:
> Und es gilt einfach die Beziehung: [mm]v_i^{*}(v_j)[/mm] =
> [mm]\delta_{ij}.[/mm] Oder in Worte gefasst: Wenn ich in meinen
> dualen Vektor [mm]v_i^{*}[/mm] den Vektor [mm]v_i[/mm] reinschmeisse, dann
> kommt 1 raus, und wenn ich irgendeinen anderen Basisvektor
> reinwerfe, dann kommt 0 raus.
> ich habe mir mal eine aufgabe zum verständnis raus
> gesucht:
> gib die duale basen zu jeder der folgenden basen von [mm]\IR^3[/mm]
> an:
> {(1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7)} kannst du mir sagen wie ich
> das machen soll?
Hmm, ich weiß gar nicht genau, was du berechnen möchtest, die duale Basis ist eine Menge von 3 Funktionen (linearen Abbildungen) von [mm] $\IR^3\to\IR$
[/mm]
Nennen wir die mal nicht [mm] $v_i^{\star}$ [/mm] sondern [mm] $\varphi_i$, [/mm] dann ist das nicht solch ein Gehampel mit den [mm] $v_i$ [/mm] und den [mm] $v_i^{\star}$
[/mm]
Mit der Definition der dualen Basis kennst du doch bereits die drei Basisvektorern (lineare Abb.) der dualen Basis, nämlich [mm] $\varphi_1:\IR^3\to\IR$ [/mm] mit [mm] $\varphi_1\left(\vektor{1\\-2\\3}\right)=1$ [/mm] und [mm] $\varphi_1\left(\vektor{1\\-1\\1}\right)=\varphi_1\left(\vektor{2\\-4\\7}\right)=0$
[/mm]
Analog für die anderen.
Da kommt mir in den Sinn.. Willst du die Abbildungsvorschriften der dualen Basisvektoren haben?
Das ist viel und unnötige Rechnung 
Mal los: Eine lineare Abb. von [mm] $\IR^3\to\IR$ [/mm] kannst du durch eine [mm] $1\times [/mm] 3$-Matrix bzgl. der kanonischen Basis beschreiben durch:
[mm] $\varphi_1\left(\vektor{x\\y\\z}\right)=(a [/mm] \ b \ [mm] c)\cdot{}\vektor{x\\y\\z}=ax+by+cz$
[/mm]
Also mit [mm] $\varphi_1(v_j)=\delta_{1j}$:
[/mm]
[mm] $\varphi_1\left(\vektor{1\\-2\\3}\right)=a\cdot{}1+b\cdot{}(-2)+c\cdot{}3=1$
[/mm]
[mm] $\varphi_1\left(\vektor{1\\-1\\1}\right)=a\cdot{}1+b\cdot{}(-1)+c\cdot{}1=0$
[/mm]
[mm] $\varphi_1\left(\vektor{2\\-4\\7}\right)=a\cdot{}2+b\cdot{}(-4)+c\cdot{}7=0$
[/mm]
hast du ein LGS, das du lösen kannst und damit die explizite Abbildungsvorschrift für [mm] $\varphi_1$ [/mm] angeben kannst
Analog für [mm] $\varphi_{2,3}$
[/mm]
Ich hoffe, das war das, was du meintest
>
> grüße
>
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 18.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Mal ein etwas anderes Beispiel:
Du hast den VR [mm]V = span(v_1, v_2, v_3)[/mm]. Nehmen wir uns mal ein Element raus: [mm]v = 3v_1 - 2v_2 + 0v_3[/mm].
Jetzt hast du ja [mm]V^{\*} = span(v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*})[/mm]. Auch hier nehmen wir uns ein Element raus: [mm]v^{\*} = 4v_1^{\*} + 1v_2^{\*} - 6v_3^{\*}[/mm].
Da [mm] v^{\*} [/mm] eine Linearform ist, können wir einen Vektor aus V reinwerfen und es kommt eine reelle Zahl raus. Also tun wir das doch mal mit unseren vorher gewählten Beispielvektoren:
[mm]v^{\*}(v) = (4v_1^{\*} + 1v_2^{\*} - 6v_3^{\*})(v)[/mm]
[mm]= 4v_1^{\*}(v) + 1v_2^{\*}(v) - 6v_3^{\*}(v)[/mm]
[mm]= 4v_1^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3) + 1v_2^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3) - 6v_3^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3)[/mm]
[mm]= 4v_1^{\*}(3v_1) + 4v_1^{\*}(-2v_2) + 4v_1^{\*}(0v_3) + 1v_2^{\*}(3v_1) + 1v_2^{\*}(-2v_2) + 1v_2^{\*}(0v_3) - 6v_3^{\*}(3v_1) - 6v_3^{\*}(-2v_2) - 6v_3^{\*}(0v_3)[/mm]
[mm]= 12v_1^{\*}(v_1) - 8v_1^{\*}(v_2) + 0v_1^{\*}(v_3) + 3v_2^{\*}(v_1) - 2v_2^{\*}(v_2) + 0v_2^{\*}(v_3) - 18v_3^{\*}(v_1) + 12v_3^{\*}(v_2) + 0v_3^{\*}(v_3)[/mm]
[mm]= 12*1 - 8*0 + 0*0 + 3*0 - 2*1 + 0*0 - 18*0 + 12*0 + 0*1 \\ &= 10 [/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Mal ein etwas anderes Beispiel:
>
> Du hast den VR [mm]V = span(v_1, v_2, v_3)[/mm]. Nehmen wir uns mal
> ein Element raus: [mm]v = 3v_1 - 2v_2 + 0v_3[/mm].
> Jetzt hast du ja
> [mm]V^{\*} = span(v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*})[/mm]. Auch hier
> nehmen wir uns ein Element raus: [mm]v^{\*} = 4v_1^{\*} + 1v_2^{\*} - 6v_3^{\*}[/mm].
>
> Da [mm]v^{\*}[/mm] eine Linearform ist, können wir einen Vektor aus
> V reinwerfen und es kommt eine reelle Zahl raus. Also tun
> wir das doch mal mit unseren vorher gewählten
> Beispielvektoren:
>
> [mm]v^{\*}(v) = (4v_1^{\*} + 1v_2^{\*} - 6v_3^{\*})(v)[/mm]
> [mm]= 4v_1^{\*}(v) + 1v_2^{\*}(v) - 6v_3^{\*}(v)[/mm]
>
> [mm]= 4v_1^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3) + 1v_2^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3) - 6v_3^{\*}(3v_1 - 2v_2 + 0v_3)[/mm]
>
> [mm]= 4v_1^{\*}(3v_1) + 4v_1^{\*}(-2v_2) + 4v_1^{\*}(0v_3) + 1v_2^{\*}(3v_1) + 1v_2^{\*}(-2v_2) + 1v_2^{\*}(0v_3) - 6v_3^{\*}(3v_1) - 6v_3^{\*}(-2v_2) - 6v_3^{\*}(0v_3)[/mm]
>
> [mm]= 12v_1^{\*}(v_1) - 8v_1^{\*}(v_2) + 0v_1^{\*}(v_3) + 3v_2^{\*}(v_1) - 2v_2^{\*}(v_2) + 0v_2^{\*}(v_3) - 18v_3^{\*}(v_1) + 12v_3^{\*}(v_2) + 0v_3^{\*}(v_3)[/mm]
>
> [mm]= 12*1 - 8*0 + 0*0 + 3*0 - 2*1 + 0*0 - 18*0 + 12*0 + 0*1 \\ &= 10 [/mm].
In Bezug auf deine Frage mit der Darstellung als Matrizen:
Bezüglich [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] hätte v die Darstellung [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 0} [/mm] und bezüglich [mm] (v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*}) [/mm] hätte [mm] v^{\*} [/mm] die Darstellung [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -6}.
[/mm]
Da wir [mm] v^{\*} [/mm] auch eine lineare Abbildung ist, können wir davon die darstellende Matrix bzgl. der Basen [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] und [mm] (v_1^{\*}, v_2^{\*}, v_3^{\*}) [/mm] angeben. Diese wäre [mm] \pmat{ 4 & 1 & 6 }.
[/mm]
Und jetzt können wir damit ganz einfach rechnen: [mm]v^{\*}(v) = \pmat{ 4 & 1 & 6 }\vektor{3 \\ -2 \\ 0} = 10[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Fr 19.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> {(1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7)} kannst du mir sagen wie ich
> das machen soll?----ah,ich habe jetzt im i-net gefunden wie
> das geht,basis als spalten in eine matrix fügen,invertieren
> und die zeilen der inversen ist dann die basis des
> dualraums.ok gut ,das kann ich wohl aber kannst du mir
> vielleicht zum verständnis erklären warum man das so macht
> weil so ganz durchschaue ich das alles noch nicht.
Also ich hatte damit am Anfang auch so meine Problemchen. Man muss hier nochmal deutlich darauf hinweisen, dass derartige Rechnungen eigentlich vollkommen sinnlos sind und wirklich den Blick auf das Wesentliche verstellen.
Die dualen Basisvektoren sind durch [mm] $v_i^\star(v_j)=\delta_{ij}$ [/mm] ganz konkret gegeben. [mm] $v_i^\star$ [/mm] ist nichts weiter als eine lineare Abbildung, und du kennst ihre Funktionswerte auf einer Basis, also kennst du die Abbildung auch auf jedem anderen Vektor. Nochmal: Du kennst die Abbildung auf einer Basis, mehr musst du nicht wissen, damit ist alles gesagt.
Das was du da ausrechnen willst, sind die Darstellungsmatrizen der dualen Basisvektoren bzgl. der Standartbasis.
Statt hier ein paar Zahlen rumzuschieben beweise lieber mal Folgendes:
Ist [mm] $\dim V<\infty$, [/mm] so ist [mm] $\varphi:V\ni v\mapsto(V^\star\ni\alpha\mapsto \alpha(v))\in V^{\star\star}$ [/mm] ein Isomorphismus.
Wenn du das verstanden hast wirst du sehen wie kanonisch und schön die duale Basis eigentlich ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ich habe mir mal eine aufgabe zum verständnis raus
> gesucht:
> gib die duale basen zu jeder der folgenden basen von [mm]\IR^3[/mm]
> an:
> {(1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7)} kannst du mir sagen wie ich
> das machen soll?----ah,ich habe jetzt im i-net gefunden wie
> das geht,basis als spalten in eine matrix fügen,invertieren
> und die zeilen der inversen ist dann die basis des
> dualraums.ok gut ,das kann ich wohl aber kannst du mir
> vielleicht zum verständnis erklären warum man das so macht
> weil so ganz durchschaue ich das alles noch nicht.
Duale Basen sind lineare Abbildungen, d.h. man kann sie als Matrizen darstellen (wie jede andere lineare Abbildung auch).
Ja und das wars eigentlich auch schon.... wie man die darstellende Matrix berechnet, das müsste in eurem Skript stehen. Mehr musst du hier auch nicht machen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Fr 19.09.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,ich denke ich habe es jetzt verstanden.nochmal vielen dank für eure hilfe:).
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