durch 11 teilbar < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | | [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] 10^{2n+1}+1 [/mm] durch 11 teilbar |
IA: n =1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1001 ist durch 11 teilbar
IV: für bel. aber festes n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] 10^{2n+1}+1 [/mm] durch 11 teilbar
IS: zz: [mm] 10^{2(n+1)+1}+1 [/mm] durch 11 teilbar
Bew.: [mm] 10^{2(n+1)+1}+1 [/mm]
= [mm] 10^{2n+3}+1 [/mm]
= [mm] 10^{2n+1}*10^2+1
[/mm]
Soweit steht das auf meinem Schmierzettel und ich habe es auch gegoogelt, aber werd aus keiner gefundenen Antwort richtig schlau. Wir sollen die Aufgabe per Induktion lösen (viele gefundene Lösungen gingen nämlich nicht per Induktion). Na ja, ich gehe ja davon aus, dass die Rechnung so schon reicht und ich nur noch bei schreiben muss, wieso - was aber blöderweise der Teil ist, den ich nicht verstehe und mir auch nicht sicher bin, ob tatsächlich erwartet wird, dass wir sowas wissen...
Kann/muss ich noch weiter umformen, wenn ja, wie?
Oder ist die Aufgabe an der Stelle schon fertig? Muss ich das mit diesen Palindromzahlen begründen? Oder mit der "Quersumme"?
Beste Grüße
Fin
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Hiho,
du hast ja noch nirgends deine Induktonsvoraussetzung verwendet, fertig bist du also keinesfalls.
Kleiner Tipp: $1 = 100 - 99 = [mm] 10^2 [/mm] - 99$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
Blöd von mir, klar brauch ich die Vorraussetzung *Hand gegen Stirn klatscht*
Ich habe ehrlich gesagt google nochmal bemüht und habe eine Lösung gefunden, zu der ich jetzt aber noch eine Frage habe.
Und zwar wurde in der Lösung einfach umgestellt. Die IVorraussetzung: [mm] 10^{2n+1}+1 [/mm] = 11x [mm] \Rightarrow 10^{2n+1} [/mm] = 11x-1
Und dann im ISchluss: [mm] 10^{2(n+1)+1} [/mm] =11x-1
Damit gerechnet kommt man auf [mm] 10^{2(n+1)+1} [/mm] = 11*(100x-9)-1
Der Klammerausdruck ist (natürlich mit x [mm] \in \IN) [/mm] eine natürliche Zahl und somit ist es doch bewiesen. Meine Frage dazu ist nur die: Kann man das wirklich so schreiben? Ich war mir nicht bewusst, dass ich mir meine zu beweisende Behauptung "ein wenig zurechtschieben" darf. Andererseits verändert man durch Umstellen ja auch nichts an der Aussage...
Beste (leicht verwirrte ^^) Grüße
Fin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Blöd von mir, klar brauch ich die Vorraussetzung *Hand
> gegen Stirn klatscht*
>
> Ich habe ehrlich gesagt google nochmal bemüht und habe
> eine Lösung gefunden, zu der ich jetzt aber noch eine
> Frage habe.
> Und zwar wurde in der Lösung einfach umgestellt. Die
> IVorraussetzung:
.... ein r zuviel ....
> [mm]10^{2n+1}+1[/mm] = 11x [mm]\Rightarrow 10^{2n+1}[/mm] =
> 11x-1
> Und dann im ISchluss: [mm]10^{2(n+1)+1}[/mm] =11x-1
Steht das wirklich so da ? Wenn ja, so ist das Unfug !
Zu zeigen wäre: [mm] $10^{2(n+1)+1}=11x'-1$ [/mm] mit einem $x' [mm] \in \IN$
[/mm]
>
> Damit gerechnet kommt man auf [mm]10^{2(n+1)+1}[/mm] = 11*(100x-9)-1
Aha ! Dann ist ja obiges gezeigt mit $x'=100x-9$
>
> Der Klammerausdruck ist (natürlich mit x [mm]\in \IN)[/mm] eine
> natürliche Zahl und somit ist es doch bewiesen. Meine
> Frage dazu ist nur die: Kann man das wirklich so schreiben?
Ja klar, warum denn nicht ?
FRED
> Ich war mir nicht bewusst, dass ich mir meine zu beweisende
> Behauptung "ein wenig zurechtschieben" darf. Andererseits
> verändert man durch Umstellen ja auch nichts an der
> Aussage...
>
> Beste (leicht verwirrte ^^) Grüße
> Fin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
> > Blöd von mir, klar brauch ich die Vorraussetzung *Hand
> > gegen Stirn klatscht*
> >
> > Ich habe ehrlich gesagt google nochmal bemüht und habe
> > eine Lösung gefunden, zu der ich jetzt aber noch eine
> > Frage habe.
> > Und zwar wurde in der Lösung einfach umgestellt. Die
> > IVorraussetzung:
>
> .... ein r zuviel ....
Sorry, den Fehler mache ich fast jedes mal, deswegen schreib ich meist nur IV ; )
>
> > [mm]10^{2n+1}+1[/mm] = 11x [mm]\Rightarrow 10^{2n+1}[/mm] =
> > 11x-1
> > Und dann im ISchluss: [mm]10^{2(n+1)+1}[/mm] =11x-1
>
> Steht das wirklich so da ? Wenn ja, so ist das Unfug !
Na ja, so ähnlich. Ich hab es nicht eins zu eins abgeschrieben, sondern brav angeguckt, überlegt und dann auf mein Zettelchen geschrieben. Also, Fehler wahrscheinlich von mir.
>
> Zu zeigen wäre: [mm]10^{2(n+1)+1}=11x'-1[/mm] mit einem [mm]x' \in \IN[/mm]
>
>
>
> >
> > Damit gerechnet kommt man auf [mm]10^{2(n+1)+1}[/mm] = 11*(100x-9)-1
>
> Aha ! Dann ist ja obiges gezeigt mit [mm]x'=100x-9[/mm]
Und da das für x [mm] \in \In [/mm] eine natürliche Zahl ist, passt es doch, oder?
>
>
> >
> > Der Klammerausdruck ist (natürlich mit x [mm]\in \IN)[/mm] eine
> > natürliche Zahl und somit ist es doch bewiesen. Meine
> > Frage dazu ist nur die: Kann man das wirklich so schreiben?
>
> Ja klar, warum denn nicht ?
s.u. Ich dachte ich muss das alles wortwörtlich stehen lassen... es hat aber auch lange bei mir gebraucht "ist durch 11 teilbar" in "mathemtisch" zu schreiben.
>
>
>
> FRED
>
>
> > Ich war mir nicht bewusst, dass ich mir meine zu beweisende
> > Behauptung "ein wenig zurechtschieben" darf. Andererseits
> > verändert man durch Umstellen ja auch nichts an der
> > Aussage...
> >
> > Beste (leicht verwirrte ^^) Grüße
> > Fin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]10^{2n+1}+1[/mm] durch 11 teilbar
das geht auch ohne Induktion (man könnte auch mit mod rechnen):
Aus
[mm] $10^{2n+1}=(11-1)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}(-1)^{2n+1-k}*11^k$
[/mm]
folgt
[mm] $10^{2n+1}\red{\,+\,}1=\sum_{k=\red{\,1\,}}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}(-1)^{2n+1-k}*11^k\,.$
[/mm]
(Beachte: ${2n+1 [mm] \choose 0}*(-1)^{2n+1}*11^0=\,\red{-}\,1$!)
[/mm]
In der Summe rechterhand kannst Du [mm] $11\,$ [/mm] vorklammern, weil...? (Oder
schreib' es formal hin!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
Hallo Marcel,
danke für den alternativen Vorschlag. Aber wie geschrieben sollten wir es mit Induktion lösen. Laut Vorlesung weiß ich auch noch nicht, was mod ist ; )
Grüße
Fin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]10^{2n+1}+1[/mm] durch 11 teilbar
das kann man schreiben als
[mm] $10^{2n+1} \equiv [/mm] -1 [mm] \mod 11\,.$
[/mm]
Für [mm] $n=1\,$ [/mm] ist [mm] $10^3=1000=11*91-1 \equiv [/mm] 0-1=-1 [mm] \mod 11\,.$
[/mm]
Im Induktionsschritt $n [mm] \longrightarrow [/mm] n+1$
[mm] $10^{2n+3}=10^{2n+1}*10^2 \equiv [/mm] -1*100=-9*11-1 [mm] \equiv [/mm] 0-1=-1 [mm] \mod 11\,.$
[/mm]
Edit: Rechenfehler behoben!
Gruß,
Marcel
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( Immerhin wäre das ein Induktionsbeweis. 
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