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| Aufgabe | | e die Eulersche Konstante und [mm] f_e:\mathbb{N}\to\{0,1,2,\hdots,9\} [/mm] die Fkt., die jedes [mm] i\in\mathbb{N} [/mm] auf die i-te Dezimalziffer von e abbildet. |
Ich kapiere die Vorgehendweise. Ich betrachte die Reihendarstellung. [mm] e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!} [/mm] und die i-te Partialsumme [mm] s_i=\sum^{i}_{k=0}\frac{1}{k!} [/mm] dann gilt [mm] s_i
Sei nun [mm] a_0,a_1a_2...a_i... [/mm] die Dezimaldarstellung von [mm] s_i
[/mm]
Jetzt muss ich ja im Prinzip nur ein m>i so groß finden, dass [mm] \frac{1}{ii!} [/mm] gerade so klein wird, dass die Addition von [mm] \frac{1}{i\cdot i!} [/mm] die ersten i+1 Dezimalziffern nicht mehr ändert.
Aber da komme ich nicht hinter. Bei [mm] \pi [/mm] ist das hübsch, da ist das Restglied [mm] \frac{1}{10^i}. [/mm] Könnte man mir einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Do 30.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> e die Eulersche Konstante und
> [mm]f_e:\mathbb{N}\to\{0,1,2,\hdots,9\}[/mm] die Fkt., die jedes
> [mm]i\in\mathbb{N}[/mm] auf die i-te Dezimalziffer von e abbildet.
>
> Ich kapiere die Vorgehendweise. Ich betrachte die
> Reihendarstellung. [mm]e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}[/mm] und
> die i-te Partialsumme [mm]s_i=\sum^{i}_{k=0}\frac{1}{k!}[/mm] dann
> gilt [mm]s_i
>
> Sei nun [mm]a_0,a_1a_2...a_i...[/mm] die Dezimaldarstellung von [mm]s_i[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja im Prinzip nur ein m>i so groß finden,
> dass [mm]\frac{1}{ii!}[/mm] gerade so klein wird, dass die Addition
> von [mm]\frac{1}{i\cdot i!}[/mm] die ersten i+1 Dezimalziffern nicht
> mehr ändert.
>
> Aber da komme ich nicht hinter. Bei [mm]\pi[/mm] ist das hübsch, da
> ist das Restglied [mm]\frac{1}{10^i}.[/mm] Könnte man mir einen
> Tipp geben?
Fuer $i [mm] \ge [/mm] 21$ gilt [mm] $\tfrac{1}{i \cdot i!} [/mm] < [mm] \frac{1}{10^i}$.
[/mm]
Weiterhin gilt [mm] $\frac{1}{i \cdot i!} [/mm] < [mm] \frac{1}{10^j} \Leftrightarrow [/mm] j [mm] \log [/mm] 10 < [mm] \log [/mm] i + [mm] \sum_{j=1}^i \log [/mm] j$.
Nun gilt [mm] $\log [/mm] i + [mm] \sum_{j=1}^i \log [/mm] j > [mm] \int_1^i \log [/mm] x [mm] \; [/mm] dx = 1 + i [mm] \log [/mm] i - i$. Das letztere ist [mm] $\ge [/mm] j [mm] \log [/mm] 10$ genau dann, wenn $j [mm] \le \frac{1 + i \log i - i}{\log 10}$ [/mm] ist. Damit gilt fuer $j = [mm] \lfloor \frac{1 + i (\log i - 1)}{\log 10} \rfloor$, [/mm] dass [mm] $\frac{1}{i \cdot i!} [/mm] < [mm] \frac{1}{10^j}$ [/mm] ist.
LG Felix
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