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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar mit f'(x) = f(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige Sie: Es gibt ein c [mm] \in \IR [/mm] mit f(x) = [mm] ce^{x} [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm] |
Die Aufgabenstellung ist mir nicht ganz klar.
Muss da gezeigt werden, dass es die Fkt. f(x) = [mm] ce^{x} [/mm] mit einem bestimmten c gibt, welche die Gleichung f'(x) = f(x) erfüllt? Das wäre ja zu einfach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 21.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar mit f'(x) = f(x) für
> alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeige Sie: Es gibt ein c [mm]\in \IR[/mm] mit f(x)
> = [mm]ce^{x}[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Die Aufgabenstellung ist mir
> nicht ganz klar.
> Muss da gezeigt werden, dass es die Fkt. f(x) = [mm]ce^{x}[/mm]
> mit einem bestimmten c gibt, welche die Gleichung f'(x) =
> f(x) erfüllt? Das wäre ja zu einfach.
Du musst zeigen, dass wenn die Gleichung f'(x)=f(x) gilt, die Funktion f(x) die Form [mm] c*e^x [/mm] hat.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 21.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
Darf ich dann so argumentieren:
f(x) = f'(x)
(=) [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)} [/mm] = 1 für f'(x) [mm] \not= [/mm] 0
(=) [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)} [/mm] = 1 = [mm] \bruch{ce^{x}}{ce^{x}} [/mm] für c [mm] \not= [/mm] 0
=> f(x) = [mm] ce^{x} [/mm] , f'(x) = [mm] ce^{x}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 21.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Darf ich dann so argumentieren:
>
> f(x) = f'(x)
>
> (=) [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm] = 1 für f'(x) [mm]\not=[/mm] 0
>
> (=) [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm] = 1 = [mm]\bruch{ce^{x}}{ce^{x}}[/mm] für c
> [mm]\not=[/mm] 0
>
> => f(x) = [mm]ce^{x}[/mm] , f'(x) = [mm]ce^{x}[/mm]
> ?
Hallo,
die genau-dann-wenn-Pfeile sind in deiner Argumentation nicht gerechtfertigt.
Sicher folgt aus [mm] f(x)=c*e^x [/mm] auch [mm] f'(x)=c*e^x.
[/mm]
Woher du aber die Umkehrung zauberst, liegt absolut im Nebel ...
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 23.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei y(x) eine Lösung der Gleichung f'(x)=f(x) und betrachte jetzt die Funktion [mm] g(x)=y(x)*e^{-x}
[/mm]
Dann gilt [mm] g'(x)=e^{-x}*(y'(x)-y(x)) [/mm] und weil y'(x)=y(x) gilt, folgt g'(x)=0 also g(x)=konstant.
Deshalb gilt [mm] y(x)=c*e^x
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 23.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
Danke, habe ich verstanden!
Auf den Ansatz, sich eine Hilfsfunktion zu basteln muss man erstmal kommen :)
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