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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=e^{1-0.5*x^{2}} [/mm] mit reellem Definitionsbereich.
Die Integralfunktion F ist definiert durch [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten
des Graphen von F. |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich hab die Lösung zwar,versteh da aber einen Schritt nicht.In der Lösung steht:
Der Graph der Funktion f verläuft symmetrisch zur y-Achse.
Der Integrationsanfang befindet sich bei x=0. Deswegen enstehen beim Integrieren für x und -x betragsmäßig gleiche Flächen.F(x) ist positiv und F(-x) gleich groß negativ.Darasu folgt,dass F(-x)=-F(x) ist und somit ist F(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
So,das mit der Achsensymmetrie hab ich verstanden.Was ich nicht verstehe,ist warum man so sicher sagen kann,dass F(x) positiv und F(-x) negativ ist.Dass die Flächen betragsmäßig gleich sind,ist klar,aber der Graph von F(x) könnte doch auch achsensymmetrisch sein,dann wären die Flächen ebenfalls gleich.
Hier ist noch der Link,wo die Aufgabe und die Lösung stehen ![[]](/images/popup.gif) Link-Text.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst doch, dass
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Wegen der Symmetrie von f(x) ist aber
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}=\integral_{-x}^{0}{f(t) dt} [/mm] und das wegen der Beziehung oben [mm] =-\integral_{0}^{-x}{f(t) dt}
[/mm]
Anschaulich: wenn du nach rechts von x=0 aus gehst wird die Fläche immer grösser. wenn du nach links gehst ist ja eine Seite deiner Flaeche negativ, die andere geht nach oben, also das Integral negativ.
integrier mal [mm] x^2 [/mm] von 0 bis x und von 0 bis -x.
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 29.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=e^{1-0.5*x^{2}}[/mm] mit reellem
> Definitionsbereich.
> Die Integralfunktion F ist definiert durch
> [mm]F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und
> Krümmungsverhalten
> des Graphen von F.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.Ich hab die
> Lösung zwar,versteh da aber einen Schritt nicht.In der
> Lösung steht:
>
> Der Graph der Funktion f verläuft symmetrisch zur
> y-Achse.
> Der Integrationsanfang befindet sich bei x=0. Deswegen
> enstehen beim Integrieren für x und -x betragsmäßig
> gleiche Flächen.F(x) ist positiv und F(-x) gleich groß
> negativ.Darasu folgt,dass F(-x)=-F(x) ist und somit ist
> F(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
>
> So,das mit der Achsensymmetrie hab ich verstanden.Was ich
> nicht verstehe,ist warum man so sicher sagen kann,dass F(x)
> positiv und F(-x) negativ ist.Dass die Flächen
> betragsmäßig gleich sind,ist klar,aber der Graph von F(x)
> könnte doch auch achsensymmetrisch sein,dann wären die
> Flächen ebenfalls gleich.
Hallo,
genau das geht nicht. Wenn F(x) achsensymmetrisch WÄRE und beispielsweise für negative x einen monoton fallenden Verlauf hätte, müsste das Spiegelbild dieses Bereich bei der Spiegelung an der y-Achse einen monoton wachsenden Verlauf haben.
Damit hätte F(x) links bzw. rechts von der x-Achse entgegengesetzte Anstiege.
Nun ist ja aber f(x) die Ableitung und somit die Anstiegsfunktion von F(x).
Und f(x) hat ja NICHT links und recht von der Achse entgegengesetzte, sondern gleiche Werte (wegen der Achsensymmetrie von f(x)).
Gruß Abakus
> Hier ist noch der Link,wo die Aufgabe und die Lösung
> stehen
> Link-Text.
>
> Vielen Dank
> lg
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