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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Fr 24.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
gegeben ist folgende Funktion: [mm] (x+3)e^{-x}
[/mm]
1) Hier erstmal die Diskussion, bitte kontrollieren. Wie mache ich das mit dem +/- unendlich? Ich komme da irgendwie nicht drauf klar. Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob die Wertetabelle am Ende stimmt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
2) Stammfunktion bilden ( [mm] F(x)=(-x-4)e^{-x} [/mm] ) und eingeschlossene Fläche im 2.Quadranten berechnen.
3) Tangente im Wendepunkt berechnen.
4) Tangente + Achsen bilden Dreieck (Fläche berechnen).
5) Eingeschlossene Fläche im 2.Quadranten berechnen durch Graph von f, Graph der Tangente und Achsen.
6) Fläche im 1.Quadranten berechnen.
Ich habe so etwas ähnliches ja schon alles mit einer "normalen" Funktionenschar gemacht. Kann ich das mit der e-Funktion genauso machen? Ich stelle mir das sehr komisch vor.
Zu 2) Wie berechne ich denn hier die Integralgrenzen?
Zu 3) Was unterscheidet die Tangenberechnung einer e-Funktion denn mit einer "normalen" Tangentenberechnung?
Zu 4) Hier habe ich gar keine Ahnung, da wir dies auch bei einer "normalen" Funktionenschar nicht berechnet haben.
Zu 5) Das Gleiche wie bei 4). Was muss ich denn hier machen?
Zu 6) Gleiche Frage wie bei 2).
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo SuperTTT!
Das mit den Grenzwerten geht man eigentlich immer so an, dass man das ganze auf eine Form bringt, bei der man (gut) erkennen kann, auf welchen Grenzwert die Funktion zuläuft, wenn x gegen unendlich geht.
Wir haben als erstes [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}(x+3)*e^{-x}$. [/mm] Nun schauen wir, inwieweit wir das in eine andere Form kriegen. Der rechte Faktor [mm] $e^{-x}$ [/mm] ist ja nichts anderes als [mm] $\bruch{1}{e^{x}}$, [/mm] womit wir also folgenden Grenzwert haben:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}(x+3)*\bruch{1}{e^{x}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x+3)}{e^{x}}$
[/mm]
Jetzt erinnerst du dich vielleicht an einen Satz der Analysis, dass, um es salopp auszudrücken, jede Exponentialfunktion, deren Basis größer als 1 ist, eine ganzrationale Funktion "totwächst" - also der Grenzwert, wenn die Exponentialfunktion im Nenner steht und die ganzrationale Funktion im Zähler, gleich 0 ist.
Somit erhalten wir:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(x+3)}{e^{x}}=0$
[/mm]
Jetzt zum anderen Grenzwert.
Wir haben:
[mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}(x+3)*e^{-x}$
[/mm]
Was die meisten verwirrt, ist das [mm] $-\infty$, [/mm] aber wir können ja substituieren und zwar $-z=x$, womit wir dann da stehen haben:
[mm] $\limes_{z\rightarrow\infty}(-z+3)*e^{z}$
[/mm]
Betrachten wir diesen Grenzwert, sehen wir, dass $(-z+3)$ gegen [mm] $-\infty$ [/mm] geht, wenn $z$ gegen unendlich geht. Das [mm] $e^{z}$ [/mm] geht gegen [mm] $\infty$, [/mm] wenn $z$ gegen unendlich geht. Was negatives mit was positivem multipliziert, ergibt etwas negatives. Somit:
[mm] $\limes_{z\rightarrow\infty}(-z+3)*e^{z}=-\infty$
[/mm]
Wenn ein Grenzwert unendlich ist, heißt das nichts anderes, als dass er nicht existiert.
Ich hoffe, dir hilft das in diesem Punkt etwas weiter!
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Fr 24.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo,
danke Euch beiden.
Ich habe nun hier erstmal die 2 und die 3 bearbeitet. Bitte kontrolliert das auf Richtigkeit.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Fr 24.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Bei Aufgabe 3) habe ich dasselbe heraus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Aber bei Aufgabe 2 sind noch ein/zwei Fehler drin.
Zum einen musst Du ja rechnen "obere Grenze minus untere Grenze", d.h. also: $A \ = \ F(0)-F(-3) \ = \ ...$
Zum anderen musst Du aufpassen, da hier der Wert $F(0)_$ ungleich Null ist: $F(0) \ = \ [mm] (-0-4)*e^{-0} [/mm] \ = \ [mm] -4*e^0 [/mm] \ = \ -4*1 \ = \ -4 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 25.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
also beträgt die Fläche bei Aufgabe 2 insgesamt A = [mm] -e^{3} [/mm] + 4 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 Sa 25.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
danke mal wieder.
Was die anderen Aufgaben betrifft, da kümmere ich mich erst morgen drum.
Ist schon spät. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 25.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo nochmal,
leider komme ich mit den restlichen Aufgaben nicht so richtig weiter.
Hier erstmal meine magere Ausbeute zu Aufgabe 4:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe das ganze Szenario gezeichnet, und ich habe nun ein Dreieck, wie Sigrid es beschrieben hat. Sie sagte, ich solle die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen berechnen. Aber wie? Bei der Schnittstellenberechung von Tangente mit x-Achse bestimmte man ja einfach immer die Nullstellen, was ich in diesem Fall auch schon gemacht habe. Oder war das überflüssig?
5) Hierzu hat Sigrid leider gar nichts gesagt. Wäre nett, wenn das noch jemand nachholen könnte.
6) Hier integriere ich zunächst von 0 bis a, und errechne somit schon den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a?
Dann, was meint Sigrid mit ich solle den Grenzwert für a [mm] \to \infty [/mm] (uneigentliches Integral) bestimmen? Das müsste mir jemand näher erklären.
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 26.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Aufgabe 4
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes berechnet sich zu:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*b$
[/mm]
Den Wert $b_$ hast Du mit $1_$ bereits richtig ermittelt. Den Wert $a_$ erhältst Du, indem du den Wert $x \ = \ 0$ in die Tangenstengleichung einsetzt. Denn das ist ja exakt die zweite Kathete des rechtwinkligen Dreieckes.
Aufgabe 5
Hier ist der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven gesucht.
Siehe Skizze und vergrößerten Ausschnitt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ein Flächeninhalt zwischen zwei Kurven [mm] $f_1(x)$ [/mm] und [mm] $f_2(x)$ [/mm] berechnet sich zu:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_1}^{x_2}{f_2(x)-f_1(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
In unserem Fall heißt das:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-1}^{0}{(x+3)*e^{-x}-(-e*x+e) \ dx} \ \right| [/mm] \ = \ ...$
Aufgabe 6
Wie lautet denn nun Deine Stammfunktion bzw. das Integral [mm] $\integral_{0}^{a}{(x+3)*e^{-x} \ dx}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 26.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi Loddar,
4) Wenn ich x=0 in die Tangentengleichung einsetze, dann erhalte ich ja t(x)=e. Und e ist jetzt gleich a?
Wenn dem so wäre, wie komme ich dann an das [mm] \bruch{1}{2}? [/mm] Durch die allgemeine Formel?
5) So richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kommst Du denn an die Integralgrenzen 0 und -1? Hast Du [mm] (x+3)e^{-x} [/mm] = -ex+e gesetzt, um die Schnittpunkte zu berechnen? Falls ja, wäre es nett, wenn Du mir das mal genauer zeigen könntest, da ich schwere Probleme habe, dies aufzulösen.
6) Die Stammfunktion lautet doch [mm] (-x-4)e^{-x}. [/mm] Und a ist 1 ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 26.02.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi Loddar,
5) Ich mache immer die gleichen blöden Fehler. Das Endergebnis ist also:
A = -4 + [mm] \bruch{3}{2}e
[/mm]
Richtig?
6)
A=F(a)-F(0)
[mm] A=[(-a-4)e^{-a}] [/mm] - [mm] [-4e^{0}]
[/mm]
[mm] A=(-a-4)e^{-a} [/mm] + 4
Wenn ich jetzt für a +unendlich einsetze, dann erhalte ich a=0. Dann wäre das Ergebnis A=4. Stimmt das?
Bitte erkläre mir aber noch, warum ich für a +unendlich einsetzen muss. Dass habe ich nämlich noch nicht verstanden.
Gruß, SuperTTT
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $-4*e^0 [/mm] \ = \ [mm] -4*\red{1} [/mm] \ = \ -4 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
