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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - e-Funktion, Matrix
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e-Funktion, Matrix: Matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Berechnen Sie

[mm] $exp(t\cdot\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$ [/mm]

[mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm]

Hallo,

ich habe eine Frage wie sich obiges berechnen lässt.
Ich habe es mal bei Wolframalpha eingegeben und das wirft mir das wenig überraschende Ergebnis

[mm] $\begin{pmatrix}e^t&e^{4t}\\e^t&e^t\end{pmatrix}$ [/mm]

als Ergebnis aus.

Aber das kann doch nicht immer so einfach sein, oder?
Ich dachte man müsste die Matrix erst auf Jordannormalform bringen.

Wie ist die allgemeine Vorgehensweise?

        
Bezug
e-Funktion, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Fr 25.07.2014
Autor: Richie1401

Hi,
> Berechnen Sie
>  
> [mm]exp(t\cdot\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]t\in\mathbb{R}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage wie sich obiges berechnen lässt.
> Ich habe es mal bei Wolframalpha eingegeben und das wirft
> mir das wenig überraschende Ergebnis
>  
> [mm]\begin{pmatrix}e^t&e^{4t}\\e^t&e^t\end{pmatrix}[/mm]
>  
> als Ergebnis aus.
>
> Aber das kann doch nicht immer so einfach sein, oder?
>  Ich dachte man müsste die Matrix erst auf
> Jordannormalform bringen.

Stimmt.

>  
> Wie ist die allgemeine Vorgehensweise?

Wenn du dich für das Vorgehen, also in der Tat nur für die Berechnung interessierst, so empfehle ich dir:

https://www.uni-due.de/~hm0019/lehre/pdf/nachklausur-mit.pdf


Für ein paar mehr Fakten empfehle ich dir:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite21.html
(hier findest du auch ein Beispiel zur Berechnung - siehe die Links ganz unten)


Bezug
                
Bezug
e-Funktion, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Ich hatte die Matrix S und [mm] S^{-1} [/mm] berechnet und folgendes erhalten:

[mm] $S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}$ [/mm]

[mm] $S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}$ [/mm]

Die sollten soweit auch stimmen.

Und nun muss ich also folgendes berechnen:

[mm] $\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-3}&0\\0&e^{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}$ [/mm]

Da ich die Eigenwerte [mm] $\lambda_1=3$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-1$ [/mm] habe?

Bezug
                        
Bezug
e-Funktion, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Fr 25.07.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Ich hatte die Matrix S und [mm]S^{-1}[/mm] berechnet und folgendes
> erhalten:
>  
> [mm]S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Die sollten soweit auch stimmen.

Jap, das stimmt.

>  
> Und nun muss ich also folgendes berechnen:
>  
> [mm]\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-3}&0\\0&e^{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}[/mm]

Fast, die Matrix in der Mitte sollte doch

   [mm] \begin{pmatrix}e^{3}&0\\0&e^{-1}\end{pmatrix} [/mm]

heißen.

Nun ist nur noch das Produkt auszurechnen.

>  
> Da ich die Eigenwerte [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=-1[/mm] habe?


Bezug
                                
Bezug
e-Funktion, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

So komme ich dann auf die Matrix:

[mm] \begin{pmatrix}\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}&e^{3}-e^{-1}\\\frac{1}{4}e^{3}-\frac{1}{4}e^{-1}&\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}\end{pmatrix} [/mm]

wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Und dies wäre nun mein Ergebnis?
Was ist mit dem t? Wieso ist die anfängliche Lösung von Wolframalpha "anders"?

Bezug
                                        
Bezug
e-Funktion, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> So komme ich dann auf die Matrix:
>  
> [mm]\begin{pmatrix}\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}&e^{3}-e^{-1}\\\frac{1}{4}e^{3}-\frac{1}{4}e^{-1}&\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}\end{pmatrix}[/mm]
>  
> wenn ich mich nicht verrechnet habe.
> Und dies wäre nun mein Ergebnis?
>  Was ist mit dem t? Wieso ist die anfängliche Lösung von
> Wolframalpha "anders"?


Das "t" gehört ohne Zweifel zur Exponentialfunktion.

Die Diagonalmatrix lautet:

[mm]\pmat{e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{-t}}[/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                                                
Bezug
e-Funktion, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Gut, also wenn ich einfach überall oben das t hinzufüge, so habe ich das richtige Ergebnis?

Bezug
                                                        
Bezug
e-Funktion, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Fr 25.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Gut, also wenn ich einfach überall oben das t hinzufüge,
> so habe ich das richtige Ergebnis?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
e-Funktion, Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:12 Fr 25.07.2014
Autor: YuSul

Vielen Dank.

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