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Forum "Mathe Klassen 8-10" - e-Funktion und Ungleichung
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e-Funktion und Ungleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)²  [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] ?

Die Frage erscheint eigentlich einfach,  nur habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.

Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und danach  mal (-1) gerechnet.

Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel und alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel

oder

Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung


beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.

bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und x2=-3,8326
bei 2.) entweder x [mm] \ge [/mm] -2,1674 oder x [mm] \le [/mm] -2,1674


aber eigentlich muss ja rauskommen:

x [mm] \ge [/mm] -2,1674  oder x [mm] \le-3,8326 [/mm]


Vielen Dank im Vorraus!

        
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 19:58 Mo 23.01.2006
Autor: Arkus

Hi Jette87

so wie ich das sehe stimmt doch alles :-?

ich komme auf

[mm] $-3+\sqrt{ln2} \ge [/mm] x$  und
[mm] $-3-\sqrt{ln2} \ge [/mm] x$

sprich:
$-2,17 [mm] \ge [/mm] x$ und
$-3,8 [mm] \ge [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \le [/mm] -3,8$ (bildhaft gesehen umdrehen)

das verpacke ich in eine form und erhalte:

$-2,17 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] -3,8$


MfG Arkus

Bezug
                
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Ich habe doch in meiner Frage geschrieben, dass die Ungleichung für

x [mm] \ge [/mm] -2,1674 und x  [mm] \le [/mm] -3,8326 gilt und nicht für was anderes... schaut man sich die Funktion an usw....)

Bezug
                        
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mo 23.01.2006
Autor: Arkus

Hi

ich glaub ich hab meine Fehler schon korrigiert, ansonsten klär mich mal bitte auf, weil ich grad ein wenig durch den Wind bin :-)

also berechnet hab ich für die mögliche x

$ -2,17 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] -3,8 $

und das haut auch hin, habs grad nochmal druchgerechnet. Der Bereich zwischen den beiden Zahlen (auf dem Zahlenstrahl gesehen) erfüllt die Ungleichung nicht. Alle anderen schon und das steht ja eigentlich ein paar Zeilen drüber :-)

MfG Arkus



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Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
gleiche Aufgabe

1. wie kommst du darauf?
und 2. sieht das so aus, als würden gerade diese werte die Ungleichung erfüllen...

und außerdem müsste man das anders hinschreiben, wenn dann:

-3,8 [mm] \le [/mm] x  [mm] \le [/mm] -2,17...


danke schon mal trotzdem...

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Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 20:38 Mo 23.01.2006
Autor: Arkus

Also zu 1., das steht in meiner ersten Antwort, ich hatte dann bloß eine Zeile entfernt die falsch war und die Umkehrung lieferte.

$ -2,17 [mm] \ge [/mm] x [mm] \le [/mm] -3,8 $

In Worten x muss größer oder gleich -2,17 (weiter rechts auf dem Zahlenstrahl) oder kleiner oder gleich -3,8 (weiter links auf dem Zahlenstrahl sein)

Sprich alle Werte zwischen -3,8 und -2,17 erfüllen die Ungleichung nicht. Alle Werte ausserhalb dieses Bereiches erfüllen die Gleichung.

Probe:

-4 (ausserhalb der Tabuzone :-) ) --> $0,37 [mm] \le [/mm] 0,5$ stimmt
-2 (ausserhalb der Tabuzone :-) ) --> $0,37 [mm] \le [/mm] 0,5$ stimmt auch

-3,1 (innerhalb der Tabuzone :-) ) --> $0,99 [mm] \le [/mm] 0,5$ erfüllt die Gleichung nicht.

Stimmt doch so oder? Wüsste nicht wo da was falsch wäre *kopfkratz*

> und außerdem müsste man das anders hinschreiben, wenn
> dann:
>  
> -3,8 [mm]\le[/mm] x  [mm]\le[/mm] -2,17...
>  

von der Überlegung her, hättest du damit aber die "Tabuzone" definiert (siehe test)

hoffe ich hab deine Frage beantwortet?

lg

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Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
selbe Aufgabe

nee du hast nen fehler...
wenn du sagst

[mm]-2,17 \ge x \le -3,8[/mm]

dann bedeutet das, dass x  [mm] \le [/mm] -2,17 bzw. x [mm] \le [/mm] -3,8
deswegen mecker ich die ganze zeit ;PPPP


deswegen muss man ja schreiben: x  [mm] \le [/mm] -3,8 und x  [mm] \ge [/mm] -2,17


und du hast mir immer noch nicht geschrieben, wie du darauf kommst... ich komme auf was anderes... wie im 1. Thread geschrieben!

Danke nochmal!

Bezug
                                                        
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 21:32 Mo 23.01.2006
Autor: Arkus

*seufz* so langsam bin ich überfragt:

meine Lösung:

[mm] $e^{-(x+3)^2}\le\frac{1}{2}$ [/mm]

[mm] $-(x+3)^2\le\ln{\frac{1}{2}}$ [/mm]

[mm] $-(x+3)^2\le-\ln{2}$ [/mm] $| [mm] \cdot [/mm] (-1)$

[mm] $x^2+6x+9\ge\ln{2}$ [/mm]

[mm] $x^2+6x+[9-ln2]\ge0$ [/mm]

#####################

[mm] $x_1/{_2}= [/mm] -3 [mm] \pm \sqrt{ln2}$ [/mm]

darausfolgt:

[mm] $-3+\sqrt{ln2}$ [/mm] und [mm] $-3-\sqrt{ln2}$ [/mm]

#####################

$-2,17 [mm] \ge [/mm] x$ ---> wenn ich mir das genau anschaue sehe ich grad, das das irgendwie doch nicht hinkommt, ich wette da muss die Relation andersrumsein, aber ich find grad den Fehler nicht :-?

$-3,8 [mm] \ge [/mm] x$ bzw. $x [mm] \le [/mm] -3,8$

Weißt du, jetzt hab ich mittlerweile auch schon ein Brett vorm Kopf und bin verunsichert (doofe Relationszeichen) :-D

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Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
selbe Aufgabe

siehst du, genau das gleiche Problem habe ich auch!!! deswegen meinte ich ja, dass das so nicht funzt


vielleicht weiß es jemand anders und wir schlafen noch mal drüber, wenn es heute abend niemand weiß

danke trotzdem!

also frage wieder frei an alle!!!!!

Bezug
                                                                        
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e-Funktion und Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 23.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Jette,

die Lösungen der Gleichung (!)

[mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0 sind Dir ja bekannt:

[mm] x_{1} [/mm] = -3,8326;  [mm] x_{2} [/mm] =-2,1674

Die Ungleichung [mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) [mm] \ge [/mm] 0 selbst löst man nun am besten graphisch:
Die linke Seite kann als Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel angesehen werden. Die Nullstellen dieser Parabel sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm]
" [mm] \ge [/mm] 0 " heißt nun aber: "oberhalb der x-Achse".
Für welche Werte von x liegt die Parabel also oberhalb?
Na, für: x [mm] \ge [/mm] -2,1674, sowie für x [mm] \le [/mm] -3,8326.

(Wenn Dir dieser Lösungsweg nicht gefallen sollte, kommst Du um eine Fallunterscheidung nicht rum - aber: kein "vernünftiger" Mensch löst eine quadratische Ungleichung mit Fallunterscheidung!)

mfG!
Zwerglein



Bezug
                                                                                
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
selbe Frage

Ja, das sagst du mir, aber sag das meinem Prof...
ich glaube nicht, dass die graphische Version reicht, da die 2. Aufgabe ist, dass graphisch darzustellen und davor da muss ne Fallunterscheidung hin, aber das Problem ist, wo die hin muss... also bei welchem Schritt und das ist mir nicht klar, denn mit der Version  [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0   wüsste ich nicht, wo man da ne Fallunterscheidung macht und bei der Version, bei der man ne Wurzel zieht, geht eben ein Ergebnis verloren!

Danke trotzdem schon mal.

> Hi, Jette,

>  
> die Lösungen der Gleichung (!)
>  
> [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) = 0 sind Dir ja bekannt:
>  
> [mm]x_{1}[/mm] = -3,8326;  [mm]x_{2}[/mm] =-2,1674
>  
> Die Ungleichung [mm]x^{2}[/mm] + 6x + 9-ln(2) [mm]\ge[/mm] 0 selbst löst man
> nun am besten graphisch:
>  Die linke Seite kann als Funktionsterm einer nach oben
> geöffneten Parabel angesehen werden. Die Nullstellen dieser
> Parabel sind [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}.[/mm]
>  " [mm]\ge[/mm] 0 " heißt nun aber: "oberhalb der x-Achse".
> Für welche Werte von x liegt die Parabel also oberhalb?
>  Na, für: x [mm]\ge[/mm] -2,1674, sowie für x [mm]\le[/mm] -3,8326.
>  
> (Wenn Dir dieser Lösungsweg nicht gefallen sollte, kommst
> Du um eine Fallunterscheidung nicht rum - aber: kein
> "vernünftiger" Mensch löst eine quadratische Ungleichung
> mit Fallunterscheidung!)
>  
> mfG!
>  Zwerglein
>  
>  

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Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Mo 23.01.2006
Autor: Arkus

Hi

meine Lehrerin würde wohl sagen, wir sind in der Mathematik, da reicht graphisches Lösen nicht :-D

Aber ehrlich gesagt würde mich eine rechnerische Lösung mit Fallunterscheidung auch interessieren, da mir das jetzt auch keine Ruhe mehr lässt :-)

MfG Arkus

Bezug
                                                                                        
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e-Funktion und Ungleichung: Fallunterscheidung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Di 24.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Arkus,

als rechnerisches Verfahren kannst Du z.B. die Methode benutzen, die leduart vorgeführt hat.

Es geht aber auch so:
Nachdem Du die Nullstellen des Quadratterms berechnet hast, kannst Du ihn zerlegen:

[mm] x^{2} [/mm] + 6x + 9-ln(2) = (x + 3,8326)*(x+2,1677)

Demnach lautet die Ungleichung nun:
(x + 3,8326)*(x+2,1677) [mm] \ge [/mm] 0.

1. Fall: (x + [mm] 3,8326)\ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (x+2,1677) [mm] \ge [/mm] 0.
Daraus egibt sich letztlich: x [mm] \ge [/mm] -2,1677

2. Fall: (x + [mm] 3,8326)\le [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] (x+2,1677) [mm] \le [/mm] 0.
Daraus wird: x [mm] \le [/mm] -3,8326.

Reicht Dir das?

mfG!
Zwerglein


Bezug
                                                                                                
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Di 24.01.2006
Autor: Arkus

Ja, danke :-)

lg arkus

Bezug
        
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e-Funktion und Ungleichung: keine 2 Wege!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Mo 23.01.2006
Autor: leduart

Hallo Jette
> Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)²  [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> ?
>  Die Frage erscheint eigentlich einfach,  nur habe ich
> irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.
>  
> Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und
> danach  mal (-1) gerechnet.

also hast du dann [mm] $(x+3)^2>ln2$ [/mm]

> Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel und
> alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel

Woher hat man denn die Lösungsformel? Um die zu kriegen, macht man quadratische Ergänzung und landet dann wieder bei [mm] (x+3)^2>ln2 [/mm]
nur dass du jetzt ein Gleichheitszeichen gesetzt hast und nicht mehr so richtig weisst wierum das größer Zeichen steht! In Wirklichkeit bist du also wieder am Anfang!
[mm] ($x^2+px+q=x^2+2*\bruch{p}{2}*x+(\bruch{p}{2})^2-\bruch{p}{2}+q=(x+\bruch{p}{2})^2 +q-\bruch{p}{2}$ [/mm] das ist der Weg zur "pq"Formel und den bist du verkürzt gegangen, wenn du sie einfach hinschreibst!

> oder
>  
> Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung
>  
>
> beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.

richtig gerechnet kommt man auch zum richtigen Ergebnis:
[mm] $(x+3)^2>ln2$ [/mm] bedeutet
1. $ [mm] x+3>\wurzel{ln2}$ [/mm] oder
2.  -(x+3)> [mm] \wurzel{ln2} [/mm]
aus 1. folgt [mm] x>\wurzel{ln2}-3 [/mm]
aus 2. folgt [mm] -x>\wurzel{ln2}+3 [/mm] daraus [mm] x<-(\wurzel{ln2}+3) [/mm]
anderes kann auch nicht rauskommen wenn man erst ausmultipliziert und dann wieder quadr. Ergänzung macht!

> bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und
> x2=-3,8326

da hast du vergessen, wie die Ungleichung aussieht

>  bei 2.) entweder x [mm]\ge[/mm] -2,1674 oder x [mm]\le[/mm] -2,1674

das versteh ich nicht, siehe oben.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mo 23.01.2006
Autor: Jette87

Aufgabe
selbe Frage

> Hallo Jette
>  > Für welche x gilt die Ungleichung e^-(x+3)²  [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]

> > ?
>  >  Die Frage erscheint eigentlich einfach,  nur habe ich
> > irgendwie ein Brett vorm Kopf anscheinend.
>  >  
> > Also zunächst habe ich logarithmiert (also mit ln) und
> > danach  mal (-1) gerechnet.
>  also hast du dann [mm](x+3)^2>ln2[/mm]
>  > Dann gibt es 2 Möglichkeiten entweder binomische Formel

> und
> > alles auf eine Seite bringen, dann Lösungsformel
>  Woher hat man denn die Lösungsformel? Um die zu kriegen,
> macht man quadratische Ergänzung und landet dann wieder bei
> [mm](x+3)^2>ln2[/mm]


wie kommst du auf ln 2??? muss doch ln 1/2 sein

>  nur dass du jetzt ein Gleichheitszeichen gesetzt hast und
> nicht mehr so richtig weisst wierum das größer Zeichen
> steht! In Wirklichkeit bist du also wieder am Anfang!
>  
> ([mm]x^2+px+q=x^2+2*\bruch{p}{2}*x+(\bruch{p}{2})^2-\bruch{p}{2}+q=(x+\bruch{p}{2})^2 +q-\bruch{p}{2}[/mm]
> das ist der Weg zur "pq"Formel und den bist du verkürzt
> gegangen, wenn du sie einfach hinschreibst!
>  > oder

>  >  
> > Wurzel ziehen, dann Fallunterscheidung
>  >  
> >
> > beides kommt aber nicht zum richtigen Ergebnis.
>  richtig gerechnet kommt man auch zum richtigen Ergebnis:
>  [mm](x+3)^2>ln2[/mm] bedeutet
> 1. [mm]x+3>\wurzel{ln2}[/mm] oder
>  2.  -(x+3)> [mm]\wurzel{ln2}[/mm]

>  aus 1. folgt [mm]x>\wurzel{ln2}-3[/mm]
>  aus 2. folgt [mm]-x>\wurzel{ln2}+3[/mm] daraus [mm]x<-(\wurzel{ln2}+3)[/mm]


und es ist doch -(x+3)² [mm] \le [/mm] ln 1/2

>  anderes kann auch nicht rauskommen wenn man erst
> ausmultipliziert und dann wieder quadr. Ergänzung macht!
>  
> > bei 1.) kriege ich die richtigen Werte x1= -2,1674 und
> > x2=-3,8326
>  da hast du vergessen, wie die Ungleichung aussieht
>  >  bei 2.) entweder x [mm]\ge[/mm] -2,1674 oder x [mm]\le[/mm] -2,1674
>  das versteh ich nicht, siehe oben.
>  Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Mo 23.01.2006
Autor: leduart

Hallo Jette
"und es ist doch -(x+3)² < ln 1/2"
ja genau aber ln [mm] 1/2=ln(2^{-1}) [/mm] =-ln2
damit  -(x+3)² < -ln2   mit -1 multipliziert kehrt das <Zeichen um, also (x+3)² > ln2
Ich rechne, wenn möglich lieber mit positiven Ausdrücken in Ungleichungen, ist  aber Geschmacksache!
aber damit ändert sich an meiner Aussage ja nichts! Du kannst auch alles mit ln 1/2 rechnen! (dann aber immer beim hantieren damit dran denken, dass ln1/2<0)
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
e-Funktion und Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Di 24.01.2006
Autor: Jette87

Vielen Dank, so stimmt das allerdings immer die ">" und "<" ersetzen durch  [mm] \le [/mm] und  [mm] \ge- [/mm] für den, der es nachlesen möchte ;).

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