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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Hing |
Hallo, ich stelle fest das ich Schwierigkeiten habe, das hier zu verstehen:
[mm] \lbrack \bruch{1}{a-s}e^{(a-s)t} \rbrack^{t=\infty}_{t=0}=\bruch{1}{s-a} [/mm] (Integration mit Grenzen)
a ist eine komplexe Zahl
Re(s) > Re(a)
Zum Einen verstehe ich nicht, wie auf die Lösung gekommen wird, weil ich nicht weiss was ich mit
[mm] \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)\infty}-1) [/mm]
anfangen soll.
Ausserdem weiss ich nicht so richtig wie ich das Re(s) > Re(a) verstehen soll (hab ich immer ignoriert). Für mich sind das nur Parameter..
Ich denke an Ortskurven usw. aber bevor ich mich da reinstürze will ich erstmal fragen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich stelle fest das ich Schwierigkeiten habe, das
> hier zu verstehen:
>
> [mm]\lbrack \bruch{1}{a-s}e^{(a-s)t} \rbrack^{t=\infty}_{t=0}=\bruch{1}{s-a}[/mm]
> (Integration mit Grenzen)
>
> a ist eine komplexe Zahl
>
> Re(s) > Re(a)
>
> Zum Einen verstehe ich nicht, wie auf die Lösung gekommen
> wird, weil ich nicht weiss was ich mit
>
> [mm]\bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)\infty}-1)[/mm]
>
> anfangen soll.
>
> Ausserdem weiss ich nicht so richtig wie ich das Re(s) >
> Re(a) verstehen soll (hab ich immer ignoriert)
Keine gute Idee....
> . Für mich
> sind das nur Parameter..
Dann wollen wir mal: Für eine komplexe Zahl z ist Re(z) der Realteil von z.
Ist nun Re(s)>Re(a), so ist
(*) r:=Re(a-s)<0
Die Schreibweise [mm] \lbrack \bruch{1}{a-s}e^{(a-s)t} \rbrack^{t=\infty}_{t=0} [/mm] mag ich persönlich überhaupt nicht. Das ist jetzt aber mal egal.
Sie bedeutet
$ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1) [/mm] $
Nun ist mit der Abkürzung aus (*)
[mm] |e^{(a-s)t}|=e^{rt}.
[/mm]
Wegen r<0 haben wir
[mm] |e^{(a-s)t}|=e^{rt} \to [/mm] 0 (t [mm] \to \infty)
[/mm]
Damit ist
$ [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1)= \bruch{1}{s-a} [/mm] $
FRED
>
> Ich denke an Ortskurven usw. aber bevor ich mich da
> reinstürze will ich erstmal fragen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Hing |
Danke lieber Fred. Bis auf eine Sache habe ich deine Ausführungen verstanden.
Es soll Re(s) > Re(a) sein. Das klappt jedoch nur für das Ergebnis [mm] (\bruch{1}{s-a}). [/mm] In der Ausgangsidentität(?) [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1) [/mm] würde im Nenner < 0 entstehen. Wie "klappt" das?
PS: Re hatte ich als reelle Zahlenmenge verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke lieber Fred. Bis auf eine Sache habe ich deine
> Ausführungen verstanden.
>
> Es soll Re(s) > Re(a) sein. Das klappt jedoch nur für das
> Ergebnis [mm](\bruch{1}{s-a}).[/mm]
Was meinst Du damit ?
In der Ausgangsidentität(?)
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1)[/mm]
> würde im Nenner < 0 entstehen. Wie "klappt" das?
ich verstehe Deine Frage nicht !
FRED
>
> PS: Re hatte ich als reelle Zahlenmenge verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Hing |
Entschuldigung, ich versuche es genauer zu erklären.
Es soll Re(s) > Re(a) sein. Ich vermute, damit der Nenner > 0.
In [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1) [/mm] würde im ersten Faktor aber dadurch [mm] \bruch{1}{a-s<0} [/mm] entstehen. In der Lösung würde die Bedingung Re(s) > Re(a) jedoch zum richtigen Ergebnis [mm] \bruch{1}{a-s > 0} [/mm] führen.
Es ist wahrscheinlich eine triviale Antwort, aber leider verstehe ich manchmal auch selbstverständliche Sachen nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung, ich versuche es genauer zu erklären.
>
> Es soll Re(s) > Re(a) sein. Ich vermute, damit der Nenner >
> 0.
Nein. [mm] \bruch{1}{a-s} [/mm] ist eine komplexe Zahl, für die hat <0, > 0 keinen Sinn
Aus Re(s) > Re(a) folgt, dass [mm] e^{(a-s)t} \to [/mm] 0 geht für t [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
>
> In [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{a-s}(e^{(a-s)t}-1)[/mm]
> würde im ersten Faktor aber dadurch [mm]\bruch{1}{a-s<0}[/mm]
> entstehen. In der Lösung würde die Bedingung Re(s) >
> Re(a) jedoch zum richtigen Ergebnis [mm]\bruch{1}{a-s > 0}[/mm]
> führen.
>
> Es ist wahrscheinlich eine triviale Antwort, aber leider
> verstehe ich manchmal auch selbstverständliche Sachen
> nicht.
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