e^(1-0.5t^2) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=e^{1-0.5x^2} [/mm] mit Definitionsbereich [mm] D_f=\IR
[/mm]
Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen G f von f.
Die Integralfunktion F ist definiert durch $F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t)dt}$
[/mm]
a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F( 1 ) , F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈ [−4;4] in die gegebene Abbildung ein.
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Ich scheitere schon bei der Integration stimmt der Ansatz überhaupt, da das t einen etwas verwirrt:
[mm] F(x)=e\int_{0}^{x}{\frac{1}{e^{0.5t^2}}dt}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
Da hier eine der beiden Integrationsgrenzen $x_$ lautet, sollte man (wie hier geschehen) innerhalb des Integrals eine andere Variable verwenden.
Zur Aufgabe: Du brauchst (und kannst) diese Funktion nicht integrieren, da sich für diese Funktion keine geschlossene Form der Stammfunktion angeben lässt.
Die Eigenschaften sollst Du zum Einen aus der (wohl Dir bekannten) Zeichnung verwenden.
Zum Anderen kennst Du ja die Ableitung der Funktion $F(x)_$ .
Es gilt:
$$F(x) \ = \ [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(t) \ \right]_0^x [/mm] \ = \ F(x)-F(0)$$
Damit wird die Ableitung zu:
$$F'(x) \ = \ f(x) \ = \ [mm] e^{1-0{,}5*x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Die Eigenschaften sollst Du zum Einen aus der (wohl Dir
> bekannten) Zeichnung verwenden.
> Zum Anderen kennst Du ja die Ableitung der Funktion [mm]F(x)_[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]F(x) \ = \ \integral_{0}^{x}{f(t) \ dt} \ = \ \left[ \ F(t) \ \right]_0^x \ = \ F(x)-F(0)[/mm]
>
> Damit wird die Ableitung zu:
> [mm]F'(x) \ = \ f(x) \ = \ e^{1-0{,}5*x^2}[/mm]
Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Antwort aber den letzten Teil weiss ich, versteh ihn aber nicht. Also das die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktione ergibt das ist klar, aber wie hilft sie mir bei der Aufgabenstellung weiter. Ausserdem bei F(x) müsste doch t dann ein konstanter Wert sein oder nicht? t steht ja nicht in der "Argumentenliste"
hier die Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
> Also das die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche
> Funktione ergibt das ist klar, aber wie hilft sie mir bei der
> Aufgabenstellung weiter.
Welche Symmetrie hat denn $f(x)_$ ? Dann kann man daraus auf die Symmetrie(art) der stammfunktion schließen.
> Ausserdem bei F(x) müsste doch t dann ein konstanter Wert sein oder nicht?
In der "integralsfreien" Darstelllung von $f(x)_$ taucht doch gar kein $t_$ mehr auf. Das war nur für das Integral eine Hilfsvariable.
Gruß
Loddar
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