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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Mo 24.01.2005 | | Autor: | WOWY |
Hallo
Gegeben ist eine Funktion f(x)= e-e^(tx)
Meine Fragen:
-Wenn ich die Steigung in bestimmten Punkten bestimmen soll, muss ich doch einfach nur den Punkt in die erste Ableitung einsetzen, oder?!
- Zeige: Die Tangenten aller Kurven K im Schnittpunkt von K mit der x-Achse haben einen Punkt gemeinsam. Gib diesen Punkt an.
Um den Punkt auszurechnen hab ich mir folg. überlegt: y=mx+n. m ist ja meine 1. Ableitung und n kann ich ja auch ausrechnen. Dann hab ich das ganze 0 gesetzt, (wegen Schnittpunkt mir der x-Achse. Aber irgendwie kommt da nix gescheites raus. Stimmt der Ansatz so?
Danke schon mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 24.01.2005 | | Autor: | WOWY |
Meine Ergebnisse:
Für die Nullstelle: x=1/t
Schnittpunkt mit der y-Achse: [mm] f(0)=e-e^t*o= [/mm] 1,72
f´(x)= -t*e^tx
In die Formel y=mx+n eingesetzt, wäre das dann:
y= (-t*e^tx)*x+1,72
Wenn ich das ganze dann 0 setze, hab ich ein paar Probleme die Gleichung aufzulösen:
0= (-t*e^tx)x+1,72
(t*e^tx)x=1,72
Und dann komme ich nicht weiter! Ich dachte mir, ich kann das irgendwie mit Logarithmus machen, aber irgendwie bekomm ich das nicht so hin...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo WOWY!
> Meine Ergebnisse:
> Für die Nullstelle: [mm] $x_N [/mm] = 1/t$
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Schnittpunkt mit der y-Achse: [mm]f(0)=e-e^{t*0}=[/mm] 1,72
Aber dieses Ergebnis benötigst Du doch gar nicht ... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die zu untersuchenden Tangenten liegen doch an der Schnittstelle mit der x-Achse (= Nullstelle), oder?
> [mm] $f_t'(x)= -t*e^{tx}$
[/mm]
> In die Formel y=mx+n eingesetzt, wäre das dann:
> y= (-t*e^tx)*x+1,72
> Wenn ich das ganze dann 0 setze, hab ich ein paar Probleme
> die Gleichung aufzulösen:
> 0= (-t*e^tx)x+1,72
> (t*e^tx)x=1,72
> Und dann komme ich nicht weiter! Ich dachte mir, ich kann
> das irgendwie mit Logarithmus machen, aber irgendwie bekomm
> ich das nicht so hin...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
So wie ich die o.g. Aufgabenstellung verstanden habe, mußt Du zunächst die Tangentensteigung [mm] $m_t$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_N [/mm] = [mm] \bruch{1}{t}$ [/mm] berechnen: [mm] $m_t [/mm] = [mm] f_t'(x_N) [/mm] = ...$
Der Wert $n$ gibt ja den y-Achsenabschnitt der Geraden (sprich: der Tangente) an (und nicht von [mm] $f_t(x)$ [/mm] !!).
Und der gemeinsame Punkte von [mm] $f_t(x)$ [/mm] und $g(x)$ ist ja: [mm] $N(\bruch{1}{t} [/mm] \ | \ 0 \ )$.
Also mußt Du diese Werte in die Tangentengleichung einsetzen, um $n$ zu bestimmen ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 25.01.2005 | | Autor: | WOWY |
> Hallo WOWY!
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> > Meine Ergebnisse:
> > Für die Nullstelle: [mm]x_N = 1/t[/mm]
>
>
>
>
> > Schnittpunkt mit der y-Achse: [mm]f(0)=e-e^{t*0}=[/mm] 1,72
> Aber dieses Ergebnis benötigst Du doch gar
> nicht ...
> Die zu untersuchenden Tangenten liegen doch an der
> Schnittstelle mit der x-Achse (= Nullstelle), oder?
>
>
> > [mm]f_t'(x)= -t*e^{tx}[/mm]
>
>
>
>
> > In die Formel y=mx+n eingesetzt, wäre das dann:
> > y= (-t*e^tx)*x+1,72
> > Wenn ich das ganze dann 0 setze, hab ich ein paar
> Probleme
> > die Gleichung aufzulösen:
> > 0= (-t*e^tx)x+1,72
> > (t*e^tx)x=1,72
> > Und dann komme ich nicht weiter! Ich dachte mir, ich
> kann
> > das irgendwie mit Logarithmus machen, aber irgendwie
> bekomm
> > ich das nicht so hin...
>
>
> So wie ich die o.g. Aufgabenstellung verstanden habe, mußt
> Du zunächst die Tangentensteigung [mm]m_t[/mm] an der Stelle [mm]x_N = \bruch{1}{t}[/mm]
> berechnen: [mm]m_t = f_t'(x_N) = ...[/mm]
>
> Der Wert [mm]n[/mm] gibt ja den y-Achsenabschnitt der Geraden
> (sprich: der Tangente) an (und nicht von [mm]f_t(x)[/mm] !!).
>
> Und der gemeinsame Punkte von [mm]f_t(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] ist ja:
> [mm]N(\bruch{1}{t} \ | \ 0 \ )[/mm].
> Also mußt Du diese Werte in
> die Tangentengleichung einsetzen, um [mm]n[/mm] zu bestimmen ...
>
>
> Loddar
>
Wunderbar... Dankeschön... hab bis dahin jetzt alles verstanden!
... hab aber noch ne Frage: (immernoch zur selben Funktion)
Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von K mit der y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für welchen Wert wird die Länge dieser Strecke extremal. Minimum oder Maximum? Gib den Extremwert der Streckenlänge an.
Die beiden Punkte auf der x-Achse konnte ich bestimmen, aber ich weiß jetzt nicht, wie ich den Extremwert errrechnen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Di 25.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo WOWY!
> Wunderbar... Dankeschön... hab bis dahin jetzt alles
> verstanden!
> ... hab aber noch ne Frage: (immernoch zur selben
> Funktion)
> Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von K mit der
> y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für
> welchen Wert wird die Länge dieser Strecke extremal.
> Minimum oder Maximum? Gib den Extremwert der Streckenlänge
> an.
> Die beiden Punkte auf der x-Achse konnte ich bestimmen,
> aber ich weiß jetzt nicht, wie ich den Extremwert
> errrechnen kann.
Wie lauten denn diese Punkte (klar - die Nullstelle haben wir ja bereits: [mm] $N(\bruch{1}{t} [/mm] \ | \ 0)$ ).
Der zweite Punkt wird ja auch abhängig sein von dem Parameter $t$.
Damit erhält man auch eine Funktion $d(t)$ mit d = Abstand zwischen den Punkten.
Für diese Funktion $d(t)$ ist dann eine "ganz normale" Extremwertberechnung durchzuführen ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 25.01.2005 | | Autor: | WOWY |
> Hallo WOWY!
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> > Wunderbar... Dankeschön... hab bis dahin jetzt alles
> > verstanden!
>
>
>
>
> > ... hab aber noch ne Frage: (immernoch zur selben
> > Funktion)
> > Die Tangente und die Normale im Schnittpunkt von K mit
> der
> > y-Achse schneiden aus der x-Achse eine Strecke aus. Für
>
> > welchen Wert wird die Länge dieser Strecke extremal.
> > Minimum oder Maximum? Gib den Extremwert der
> Streckenlänge
> > an.
> > Die beiden Punkte auf der x-Achse konnte ich bestimmen,
>
> > aber ich weiß jetzt nicht, wie ich den Extremwert
> > errrechnen kann.
> Wie lauten denn diese Punkte (klar - die Nullstelle haben
> wir ja bereits: [mm]N(\bruch{1}{t} \ | \ 0)[/mm] ).
>
> Der zweite Punkt wird ja auch abhängig sein von dem
> Parameter [mm]t[/mm].
> Damit erhält man auch eine Funktion [mm]d(t)[/mm] mit d = Abstand
> zwischen den Punkten.
>
> Für diese Funktion [mm]d(t)[/mm] ist dann eine "ganz normale"
> Extremwertberechnung durchzuführen ...
>
>
> Loddar
>
>
Der erste Punkt ist die Nullstelle und der 2. ist (-1,72t/0)
Ja, mir ist schon klar, dass ich eine Funktion in Abhängigkeit von d erhalten müsste, aber ich weiß net, wie ich auf diese Funktion komme.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 25.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo WOWY!
Hier ist einmal ein Skizze für $t=2$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Der erste Punkt ist die Nullstelle und der 2. ist
> (-1,72t/0)
genauer: [mm] $x_{N2} [/mm] = (1-e)*t$
Und wir kennen ja bereits: [mm] $x_{N1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t}$
[/mm]
Unsere Abstandsfunktion $d(t)$ ist nun (siehe Skizze):
$d(t) \ = \ [mm] x_{N1} [/mm] - [mm] x_{N2} [/mm] = ...$
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 25.01.2005 | | Autor: | WOWY |
Vielen Dank für die Mühe... Ich hab jetzt alles verstanden!
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