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| Aufgabe | Zeigen sie das [mm] x_{n} _{n\in\IN} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm]
1. monoton wächst und
2. nach oben beschränkt ist
Zeigen sie das [mm] y_{n} _{n\in\IN} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n+1} [/mm]
1. monoton fällt
2. nach unten beschränkt ist
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Ich habe gezeigt das die Folgen monoton wachsend bzw. fallend sind...
Jedoch hab ich jetzt ein Problem damit zu zeigen das sie jeweils auch beschränkt sind.
Dürfte ja eigentlich nicht allzu schwer sein. aber irgendwas mach ich falsch.
Es gibt ja die Aussage, dass eine Folge nach oben beschränkt ist wenn [mm] x_{n} \le [/mm] S wobei S eine bestimmte Schranke ist
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aber das schein ich nicht dazu benutzen zu können um zu zeigen das es wirklich eine Schranke S gibt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, wenn die Folge eine obere Schranke hat, muss in der Tat gelten so [mm] \ge [/mm] xn. Da du ja nicht die kleinste, obere Schranke angeben musst, reicht es ja, wenn du dir einen Wert für so nimmst, von dem du meinst, dass die Folge diesen nie erreicht.
Ich habe einfach mal die 10 genommen (etwas hoch gegriffen, aber machbar).
Also muss ich zeigen, dass 10 [mm] \ge [/mm] xn [mm] \Rightarrow [/mm] 10 [mm] \ge [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})[/mm] n.
n [mm] \le [/mm] log(1+ [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] 10 [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \le \bruch{log10}{log1+\bruch{1}{n}} \Rightarrow [/mm] n [mm] \le \bruch{1}{log1+\bruch{1}{n}} [/mm] w.A.
Die letzte Umformung ist für jedes n stehts wahr, was bedeutet, dass meine 1. äquivalente Aussage auch wahr war, was demnach bedeutet, dass xn die 10 nicht erreicht/überschreitet und damit nach oben hin beschränkt ist :).
Anmerkung: Das (1+ [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] hinter dem log soll tiefer gestellt sien, aber 1+ \bruch{1}{n} klappt nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 25.05.2006 | | Autor: | HerrSchaf |
vielend dank!
Stimmt ja, ich muss ja nicht die kleinste obere Schranke finden.
Vielen dank für die Hilfe !
Herr Schaf
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