e hoch A berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Fr 09.04.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man berechne e hoch A für folgende Matrix A:
(0 1 .....
..0 1 ...
.........
.......0 1
.........0) |
Anmerkung zur Aufgabe: Also im oberen Dreieck hat diese Matrix alles einer, aber auf der Diagonalen alles Nullen.
Ich habe etwas Probleme dabei, diese Aufgabe anzugehen, da sie mir etwas abstrakt vorkommt. Ich weiss, dass man e hoch A grundsätzlich dann gut berechnen kann, wenn A eine Diagonalmatrix ist, eine 2x2 obere Dreickecksmatrix oder eine diagonalisierbare Matrix.
Für diese hier kommt ja allenfalls diagonalisierbarkeit in Frage. Um festzustellen, ob die Matrix diagonalisierbar ist, würde ich die EW bestimmen und dann schauen, ob die EV eine Basis bilden...
Jedoch gestaltet sich das irgendwie schwierig, da diese Matrix ja irgendwie "unendliche" Dimensionen hat..
Gibt es da einen Trick? *hoffnungsvoll-schau* :D
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> Man berechne e hoch A für folgende Matrix A:
> (0 1 .....
> ..0 1 ...
> .........
> .......0 1
> .........0)
> Anmerkung zur Aufgabe: Also im oberen Dreieck hat diese
> Matrix alles einer, aber auf der Diagonalen alles Nullen.
>
> Ich habe etwas Probleme dabei, diese Aufgabe anzugehen, da
> sie mir etwas abstrakt vorkommt. Ich weiss, dass man e hoch
> A grundsätzlich dann gut berechnen kann, wenn A eine
> Diagonalmatrix ist, eine 2x2 obere Dreickecksmatrix oder
> eine diagonalisierbare Matrix.
Hallo,
dem entnehme ich, daß Du auch weißt, was [mm] e^A [/mm] bedeutet.
> Für diese hier kommt ja allenfalls diagonalisierbarkeit
> in Frage.
Wieso "allenfalls"? Diagonalisierbarkeit ist die Krönung dessen, was passieren kann!
> Um festzustellen, ob die Matrix diagonalisierbar
> ist, würde ich die EW bestimmen und dann schauen, ob die
> EV eine Basis bilden...
> Jedoch gestaltet sich das irgendwie schwierig, da diese
> Matrix ja irgendwie "unendliche" Dimensionen hat..
> Gibt es da einen Trick? *hoffnungsvoll-schau* :D
Nun, das charakteristische Polynom ist schnell auggestellt, [mm] \Chi(x)=x^n,
[/mm]
also ist die 0 n-facher Eigenwert
Nun die Bestimmung der Eigenvektoren: Kern(A-0*E)=Kern A,
A hat den Rang n-1, also muß nach dem Kern-Bild-Satz die Dimension des Eigenraumes =1 sein - zu klein, die Matrix ist nicht diagonalisierbar.
Nun mach mal folgendes: nimm Dir eine 5x5-Matrix A der obigen Machart und multipliziere sie immer wieder mit sich selbst, berechne also A, [mm] A^2, [/mm] usw. bis (sagen wir:) [mm] A^{10}.
[/mm]
Versuch das noch mit einer weiteren Matrix, an welcher Du Deine Beobachungen bestätigst.
Danach ist die Aufgabe nicht mehr schwer.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Sa 10.04.2010 | | Autor: | natascha |
Japp, jetzt hat es geklappt, super! Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 14.04.2010 | | Autor: | neu_ling |
> Nun mach mal folgendes: nimm Dir eine 5x5-Matrix A der
> obigen Machart und multipliziere sie immer wieder mit sich
> selbst, berechne also A, [mm]A^2,[/mm] usw. bis (sagen wir:)
> [mm]A^{10}.[/mm]
>
> Versuch das noch mit einer weiteren Matrix, an welcher Du
> Deine Beobachungen bestätigst.
>
> Danach ist die Aufgabe nicht mehr schwer.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Läuft das auf eine endliche Reihe hinaus?
[mm] e^{A} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}A^{n}/k!
[/mm]
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Hallo neu_ling,
> > Nun mach mal folgendes: nimm Dir eine 5x5-Matrix A der
> > obigen Machart und multipliziere sie immer wieder mit sich
> > selbst, berechne also A, [mm]A^2,[/mm] usw. bis (sagen wir:)
> > [mm]A^{10}.[/mm]
> >
> > Versuch das noch mit einer weiteren Matrix, an welcher Du
> > Deine Beobachungen bestätigst.
> >
> > Danach ist die Aufgabe nicht mehr schwer.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> Läuft das auf eine endliche Reihe hinaus?
> [mm]e^{A}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}A^{n}/k![/mm]
Das dient erstmal dazu, daß Du ein System darin erkennst,
wie sich die verschiedenen Potenzen der Matrix A ergeben.
Danach kannst Du die unendliche Reihe
[mm]e^{A} = \summe_{k=0}^{\infty}A^{n}/k![/mm]
bilden.
Gruss
MathePower
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