e^{x^2integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Do 02.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie die Integrationsbereiche der folgenden Integrale und berechnen Sie deren Wert. (Hinweis: Satz von Fubini). |
[mm] D = \{(x,y) \in \IR²: y \in [0,1], y \le x \le 1\},
\integral_{D}{e^{x^2} d(x,y)\[/mm]
Satz von Fubini bedeutet, ich integriere in diesem Fall erst nach x, weil der Wertebereich von y genau vorgegeben ist. Soweit in Ordnung, aber das Integral selber...
(Ich studiere Informatik im 2. Semester, bin aber definitiv kein Mathegenie, sondern bin durch sture Lernerei "so weit" gekommen. Heißt, mein Vorstellungsvermögen ist scheinbar ein wenig eingrenzt)
Nachdem ich es erst selber mit Substitution versucht habe, bin ich über Google auf die "Erfi" Funktion gestoßen.
Kann ich das als Stammfunktion verwenden? Bzw es gibt doch keine Stammfunktion?
Bin mir nicht ganz sicher, ob ich das Grundprinzip verstanden habe.
Aufgabenstellung ist mittlerweile korrigiert, sorry...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also wenn du zuerst nach x integrierst, wirst du dir daran die Zähne ausbeißen, denn elementar kannst du das nicht integrieren (daher musste extra eine neue Funktion, erf(x) ins Leben gerufen werden!).
Daher solltest du versuchen, das Ding erst nach y zu integrieren. Dabei musst du die Ungleichungen, die dein Gebiet beschreiben, nur ein bisschen anders schreiben. Zeichne dir D am besten einfach mal auf (es ist einfach ein Dreieck). Beschrieben wird es ja dadurch, dass y von 0 bis 1 läuft und x immer zwischen y und 1 ist.
Du kannst das aber auch so ausdrücken, dass x von 0 bis 1 läuft und y immer wo zwischen ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Do 02.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Ok,
der Wertebereich von x und y liegt jeweils zwischen [0,1];
y ist [mm] \le [/mm] x, also wäre das größte zu bildende Dreieck zwischen(0,0), (1,1) und (1,0).
Die Stammfunktion von y wäre dann
?
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} { (e^x)^2 * y })dx}[/mm]
Dann lande ich aber als nächtes wieder bei der Stammfunktion von e?
Oder darf das "am Ende" der Rechnung einfach stehenbleiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Genau, das ist das Dreieck.
Du kannst D auch schreiben als [mm] $D=\{(x,y)\in\IR^2|x\in[0;1], 0\le y \le x\}$.
[/mm]
Damit ist [mm] \integral_{D}^{}{e^{x^2} dx}=\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{x}{e^{x^2} dy} dx}.
[/mm]
Das innere Integral kannst du leicht lösen, [mm] \integral_{0}^{x}{e^{x^2} dy}=[e^{x^2}y]^x_0=xe^{x^2}.
[/mm]
Das setzt du nun ein und nun musst du noch [mm] \integral_{0}^{1}{xe^{x^2} dx} [/mm] lösen. Das geht mit Substitution ganz schnell!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Fr 03.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Vielen vielen Dank!!
Ich habe es mir gerade selber nochmal schwer gemacht, indem ich den Wertebereich vertauscht habe...
Das heißt:
Die Stammfunktion von [mm]e^{x^2}[/mm] ist: [mm]\bruch{e^{x²}}{2log(e)[/mm]
==> [mm]\bruch{-1+e}{2log(e)}[/mm]
Stimmt dann, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Fr 03.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst doch jetzt die Stammfunktion von [mm] xe^{x^2} [/mm] bestimmen, nicht von [mm] e^{x^2} [/mm] (denn das ging doch nicht wirklich gut)!
Erst innen nach y integrieren, wie ich es vorgemacht habe. Dann kannst du den entstehenden Term [mm] xe^{x^2} [/mm] nach x integrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mi 08.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Späte Antwort...
Das war mal wieder missverständlich abgekürzt von mir...
Ich hab das richtige gemacht (hoffe ich ;)), ich dachte nur, ich könnte das abgekürzt hinschreiben...
Danke nochmal für die Hilfe!
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> Skizzieren Sie die Integrationsbereiche der folgenden
> Integrale und berechnen Sie deren Wert. (Hinweis: Satz von
> Fubini).
> [mm]D = \{(x,y) \in \IR²: y \in [0,1], y \le x \le 1\},
\integral_{D}{(e^x)^2 d(x,y)\[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> [mm]e^x"hoch"2[/mm] ist gemeint, nicht e^2x...
(e hoch x) hoch 2 ist dasselbe wie e^(zweimal x) :
[mm] $\left(e^x\right)^2\ [/mm] =\ [mm] e^{2*x}$
[/mm]
Wenn du aber e hoch (x im Quadrat) meinst, also [mm] e^{x^2} [/mm]
dann setzt du am besten verdeutlichende Klammern:
[mm] e^{\left(x^2\right)}
[/mm]
LG
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