ebenengleichung aus 4 punkten < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte A(10/2/5), B(6/8/3), C(-2/12/7) und D(2/6/9). Bestimme die Gleichung dieser Ebene. |
Ich weiss zwar, wie man eine Ebenengleichung in Parameterform aus 3 Punkten aufstellt, aber gilt das selbe prinzip auch fuer 4 Punkte? Also um die aufgabe oben zu loesen, habe ich mal als stuetzvektor den ortsvektor von A (hier OA) genommen und als richtungsvektoren AB, AC und AD. bei mir sieht die ebenengleichung dann so aus:
E: x= OA + r*AB + s*AC + t*AD. ist das denn richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die Punkte A(10/2/5), B(6/8/3), C(-2/12/7) und
> D(2/6/9). Bestimme die Gleichung dieser Ebene.
> Ich weiss zwar, wie man eine Ebenengleichung in
> Parameterform aus 3 Punkten aufstellt, aber gilt das selbe
> prinzip auch fuer 4 Punkte?
Hallo,
Du könntest entsetzliche Probleme bekommen. Denn wer garantiert Dir, daß die Punkte wirklich alle in einer Ebene liegen?
Mach es so: nimm drei geeignete Punkte, stell die Ebenengleichung auf und kontrolliere, o der 4.Punkt auch in der Ebene liegt.
(Geeignet sind die Punkte, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen, Du merkst das beim Aufstellen der Richtungsvektoren).
Gruß v. Angela
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danke! also, ich habe zuerst die ebenengleichung aus drei punkten aufgestellt und geprueft, ob der Punkt D auch auf derselben ebene liegt:
D = OA + r*AB + s*AC (Punktprobe). fuer r hab ich dann -1 und fuer s 1 rausbekommen. das heisst doch, dass die vektoren linear abhaengig sind und somit auf einer ebene liegen, oder?
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> danke! also, ich habe zuerst die ebenengleichung aus drei
> punkten aufgestellt und geprueft, ob der Punkt D auch auf
> derselben ebene liegt:
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> D = OA + r*AB + s*AC (Punktprobe). fuer r hab ich dann -1
> und fuer s 1 rausbekommen. das heisst doch, dass die
> vektoren linear abhaengig sind und somit auf einer ebene
> liegen, oder?
Hallo,
ja, Du weißt nun, daß der Punkt D in derselben Ebene liegt wie A,B,C.
AD ist linear abhängig von AB und AC.
Gruß v. Angela
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achso, aber wie lautet dann letztendlich die gleichung der ganzen ebene?
wenn also D = OA + r*AB + s*AC ist, dann muss ich D auf die andere Seite der gleichung bringen und von OA abziehen, oder?
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> achso, aber wie lautet dann letztendlich die gleichung der
> ganzen ebene?
> wenn also D = OA + r*AB + s*AC ist, dann muss ich D auf die
> andere Seite der gleichung bringen und von OA abziehen,
> oder?
Hallo,
die Gleichung der Ebene ist die Gleichung, die Du aus den Punkten A,B,C aufgestellt hattest, also E: x=OA + r*AB + s*AC.
Obgleich der Punkt D in der Ebenengleichung nicht namentlich genannt wird - ein Schicksal, welches er mit den meisten Punkten dieser Ebene teilt -, hast Du damit die Gleichung der Ebene aufgestellt, in welcher A,B,C,D liegen. Daß D wirklich drinliegt, hast Du ja völlig richtig nachgerechnet.
> wenn also D = OA + r*AB + s*AC ist, dann muss ich D auf die
> andere Seite der gleichung bringen und von OA abziehen,
So prüfst Du, ob D in der Ebene liegt. Das hast Du ja richtig gemacht.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Gegeben sind die Punkte A(10/2/5), B(6/8/3), C(-2/12/7) und D(2/6/9). Berechne die Durchstosspunkte der Koordinatenachsen. |
Danke fuer die Hilfestellung! Jetzt gibt es aber noch diese Teilaufgabe dazu, die ich loesen muss. Wie gehe ich das denn am besten an? Bisher haben wir ja die vier Punkte gegeben und die Ebenengleichung
E: x= OA + r*AB + s*AC
E: x= (10/2/5) + r*(-4/6/-2) + s*(-12/10/2)
Um nun die Durchstosspunkte der Koordinatenachsen an der Ebene auszurechnen, muss ich da nicht zuerst die gleichungen fuer die koordinatenachsen x, y und z herausschreiben? also:
x= 10 - 4r - 12s
y= 2 + 6r +10s
z = 5 - 2r + 2s
aber wie es weitergehen soll, da komm ich nun wirklich nicht weiter. was kann ich aus den gleichungen machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 09.06.2009 | | Autor: | hawe |
Du berechnest die Koordinatenform der Ebene
(>< Kreuzprodukt, . Skalarprodukt)
(B-A)><(C-A).([x,y,z]-A)/32
und schaust Dir das Ergebnis seehr genau an...
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