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| Aufgabe | Betrachten Sie das regelmäßige 17-Eck
[mm] $X=\{(cos\frac{2t\pi}{17},sin\frac{2t\pi}{17})|0\leq t<17\}$ [/mm] im [mm] $\mathbb{R}^{2}$
[/mm]
und seine Symmetrie-Gruppe $G.$ Wieviele eigentliche und wieviele
uneigentliche Bewegungen gehören zu [mm] $G?$\\ [/mm] |
[mm] Hallo,\\
[/mm]
die Symmetrie-Gruppe $G$ ist folgendermaßen definiert: [mm] $G=\{g\in\mathcal{B}(2)|g(X)=X\},$
[/mm]
wobei [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Gruppe der Bewegungen ist.$g$ ist eigentlich, wenn gilt det $g=1$ und uneigentlich [mm] sonst.\\
[/mm]
Ich befürchte allerdings vielmehr, dass es sich hierbei um eine
Wissensfrage handelt, oder wie soll man darauf sonst [mm] kommen?\\
[/mm]
Wenn ich mal die eigentlichen Bewegungen in der Ebene betrachte,
so sind dies immer Drehungen+Translationen.
Soll ich mir dann dir Drehmatrix hernehmen und ausrechnen, wann gilt:
$g(X)=X?$ Das finde ich etwas schwierig, weil das ganze ja von meinem
$t$ [mm] abhängt.\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
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> Betrachten Sie das regelmäßige 17-Eck
>
> [mm]X=\{(cos\frac{2t\pi}{17},sin\frac{2t\pi}{17})|0\leq t<17\}[/mm]
> im [mm]\mathbb{R}^{2}[/mm]
> und seine Symmetrie-Gruppe [mm]G.[/mm] Wieviele eigentliche und
> wieviele
> uneigentliche Bewegungen gehören zu [mm]G?[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]Hallo,\\[/mm]
> die Symmetrie-Gruppe [mm]G[/mm] ist folgendermaßen definiert:
> [mm]G=\{g\in\mathcal{B}(2)|g(X)=X\},[/mm]
> wobei [mm]\mathcal{B}[/mm] die Gruppe der Bewegungen ist.[mm]g[/mm] ist
> eigentlich, wenn gilt det [mm]g=1[/mm] und uneigentlich [mm]sonst.\\[/mm]
> Ich befürchte allerdings vielmehr, dass es sich hierbei
> um eine
> Wissensfrage handelt, oder wie soll man darauf sonst
> [mm]kommen?\\[/mm]
> Wenn ich mal die eigentlichen Bewegungen in der Ebene
> betrachte,
> so sind dies immer Drehungen+Translationen.
>
> Soll ich mir dann dir Drehmatrix hernehmen und ausrechnen,
> wann gilt:
> [mm]g(X)=X?[/mm] Das finde ich etwas schwierig, weil das ganze ja
> von meinem
> [mm]t[/mm] [mm]abhängt.\\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
Wichtig ist, dass es sich um Bewegungen
im [mm] \IR^2 [/mm] gehen soll. Im [mm] \IR^3 [/mm] wären nämlich
alle Kongruenzabbildungen des regel-
mäßigen 17-Ecks "eigentliche" Bewegungen.
Im [mm] \IR^2 [/mm] teilen sich die Elemente von G auf
in jene, die die Orientierung des Vielecks er-
halten (Drehungen) und jene, welche sie
umkehren (Spiegelungen).
Berechnungen mit Matrizen und Determi-
nanten sollten sich eigentlich erübrigen.
Stell dir die Elemente von G als konkrete
geometrische Abbildungen vor. Zeichne dir
dazu je ein regelmäßiges 17-Eck auf Karton
auf, bezeichne seine Ecken mit A,B,...,Q,
schneide das eine davon aus und lege es
in allen möglichen Varianten auf das andere,
und du hast ein reales Modell, welches die
Gruppe G darstellt.
Diejenigen Abbildungen, für welche du
das Pappstück (im [mm] \IR^3 [/mm] !) "umkehren"
musst, gelten im [mm] \IR^2 [/mm] als "uneigentliche"
Bewegungen.
LG Al-Chw.
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> > Betrachten Sie das regelmäßige 17-Eck
> >
> > [mm]X=\{(cos\frac{2t\pi}{17},sin\frac{2t\pi}{17})|0\leq t<17\}[/mm]
> > im [mm]\mathbb{R}^{2}[/mm]
> > und seine Symmetrie-Gruppe [mm]G.[/mm] Wieviele eigentliche und
> > wieviele
> > uneigentliche Bewegungen gehören zu [mm]G?[/mm][mm] \\[/mm]
> >
> [mm]Hallo,\\[/mm]
> > die Symmetrie-Gruppe [mm]G[/mm] ist folgendermaßen definiert:
> > [mm]G=\{g\in\mathcal{B}(2)|g(X)=X\},[/mm]
> > wobei [mm]\mathcal{B}[/mm] die Gruppe der Bewegungen ist.[mm]g[/mm] ist
> > eigentlich, wenn gilt det [mm]g=1[/mm] und uneigentlich [mm]sonst.\\[/mm]
> > Ich befürchte allerdings vielmehr, dass es sich
> hierbei
> > um eine
> > Wissensfrage handelt, oder wie soll man darauf sonst
> > [mm]kommen?\\[/mm]
> > Wenn ich mal die eigentlichen Bewegungen in der Ebene
> > betrachte,
> > so sind dies immer Drehungen+Translationen.
> >
> > Soll ich mir dann dir Drehmatrix hernehmen und ausrechnen,
> > wann gilt:
> > [mm]g(X)=X?[/mm] Das finde ich etwas schwierig, weil das ganze
> ja
> > von meinem
> > [mm]t[/mm] [mm]abhängt.\\[/mm]
> > [mm]\\[/mm]
>
>
> Wichtig ist, dass es sich um Bewegungen
> im [mm]\IR^2[/mm] gehen soll. Im [mm]\IR^3[/mm] wären nämlich
> alle Kongruenzabbildungen des regel-
> mäßigen 17-Ecks "eigentliche" Bewegungen.
> Im [mm]\IR^2[/mm] teilen sich die Elemente von G auf
> in jene, die die Orientierung des Vielecks er-
> halten (Drehungen) und jene, welche sie
> umkehren (Spiegelungen).
> Berechnungen mit Matrizen und Determi-
> nanten sollten sich eigentlich erübrigen.
> Stell dir die Elemente von G als konkrete
> geometrische Abbildungen vor. Zeichne dir
> dazu je ein regelmäßiges 17-Eck auf Karton
> auf, bezeichne seine Ecken mit A,B,...,Q,
> schneide das eine davon aus und lege es
> in allen möglichen Varianten auf das andere,
> und du hast ein reales Modell, welches die
> Gruppe G darstellt.
> Diejenigen Abbildungen, für welche du
> das Pappstück (im [mm]\IR^3[/mm] !) "umkehren"
> musst, gelten im [mm]\IR^2[/mm] als "uneigentliche"
> Bewegungen.
>
>
> LG Al-Chw.
Habe ich dann nicht genau 17 mögliche Drehungen, also 17 eigentliche Bewegungen?
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> Habe ich dann nicht genau 17 mögliche Drehungen, also 17
> eigentliche Bewegungen?
Ja. Und dazu 17 uneigentliche Bewegungen.
Insgesamt: |G|=34
LG Al-Chw.
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