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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 16.02.2010 | | Autor: | dom88 |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Geben sie die Eigenvektoren von A an. |
Hallo,
habe auch schon die Eigenwerte ausgerechnet. a=-1 mit algebraischer Vielfachheit 2 und b=2 mit algebr. VFH 1.
hab dann erst die Eigenvektoren zum EW a=-1 berechnet. da ist die geometrische vielfachheit ja 2 und deswegen hab ich auch 2 eigenvektoren bestimmt.
bei dem eigenwert b=2 hab ich jedoch ein problem.
der grad des charakteristischen polynoms ist 3. weshalb n=3 ist.
der rang der matrix (A-2E) ist, würd ich jetzt mal schätzen =3.
laut dimensionformel: n=dimBild(rang matrix)+dim Kern(geomtr. vhf)
muss die dimKern=3-3=0 sein.
folglich ist doch die geometrische VFH auch gleich null weswegen man sagen kann, dass der EW b=2 keinen Eigenvektor besitzt oder?!
Mein Dozent hat bei dieser Aufgabe auch in bei diesem Fall den Eigenvektor betsimmt weswegen ich gerad aufn schlauih stehe.
danke im vorraus
dom
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> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &1 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Geben sie die Eigenvektoren von A an.
> Hallo,
>
> habe auch schon die Eigenwerte ausgerechnet. a=-1 mit
> algebraischer Vielfachheit 2 und b=2 mit algebr. VFH 1.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> hab dann erst die Eigenvektoren zum EW a=-1 berechnet. da
> ist die geometrische vielfachheit ja 2 und deswegen hab ich
> auch 2 eigenvektoren bestimmt.
[mm] E_{-1}(f) [/mm] = [mm] \IR\vektor{-1 \\0 \\1} [/mm] + [mm] \IR\vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
>
> bei dem eigenwert b=2 hab ich jedoch ein problem.
> der grad des charakteristischen polynoms ist 3. weshalb
> n=3 ist.
> der rang der matrix (A-2E) ist, würd ich jetzt mal
> schätzen =3.
>
> laut dimensionformel: n=dimBild(rang matrix)+dim
> Kern(geomtr. vhf)
> muss die dimKern=3-3=0 sein.
> folglich ist doch die geometrische VFH auch gleich null
Wirklich. Die Eigenräume bilden eine direkte Summe zum ganzen Vektorraum. Also V = [mm] E_{-1} \oplus E_{2}
[/mm]
dim [mm] (E_{2}) [/mm] = dim V - 2 = 1
> weswegen man sagen kann, dass der EW b=2 keinen Eigenvektor [nook]
> besitzt oder?!
>
> Mein Dozent hat bei dieser Aufgabe auch in bei diesem Fall
> den Eigenvektor betsimmt weswegen ich gerad aufn schlauih
> stehe.
Hab ich auch [mm] E_{2} [/mm] = [mm] \IR\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Dimensionen stimmen auch 1+2=3
>
> danke im vorraus
>
> dom
Meiner Ansicht nach gibt es auch einen Unterschied zwischen
$Ker(A)$ und [mm] Ker(\lambda1_3-A)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Mi 17.02.2010 | | Autor: | dom88 |
welche dimension V meinst du denn? du hast doch zwei verschiedene matrizen wenn du zwei verschiedene eigenwerte reinpackst. demnach kann doch dann auch der rang der matrix = dimension des bildes variieren?!
deshalb ist mir nicht klar wie man dann einfach die summe bilden darf...
dom
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Hallo,
irgendetwas geht bei Dir durcheinander...
Ich versuche jetzt nochmal, Eigenwert und Eigenvektor und das Tun bei der Bestimmung derselben etwas zu erklären.
Du untersuchst die Matrix A:=$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] $ auf Eigenwerte und Eigenvektoren.
Was ist ein Eigenwert? [mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert, wenn es ein [mm] x\not=0 [/mm] gibt mit [mm] Ax=\lambda [/mm] x.
Die ist äquivalent zu [mm] (Ax-\lambda [/mm] E)x=0.
Wir interessieren uns zunächst dafür, für welche [mm] \lambda [/mm] das homogene LGS [mm] (Ax-\lambda [/mm] E)x=0 überhaupt nichttriviale Lösungen hat.
Dies finden wir heraus, indem wir untersuchen, für welche [mm] \lambda [/mm] die Determinante von [mm] (Ax-\lambda [/mm] E) gleich Null ist.
(Nullstellenbestimmung des charakteristischen Polynoms, hier [mm] \Xi(\lambda)=:(x+1)^2(x-2)).
[/mm]
Dies hast Du getan mit dem Ergebnis, daß man für [mm] \lambda_1=-1 [/mm] und [mm] \lambda_2=2 [/mm] solche nichttriviale Lösungen (=Eigenvektoren) findet.
Nachdem nun die Eigenwerte gefunden sind, interessieren wir uns für die Eigenvektoren der Matrix A, also für die [mm] x\not=0 [/mm] mit Ax=-1*x bzw Ax=2x.
Dies läuft auf die Lösung der homogenen LGSe (A+E)x=0 und (A+2E)x=0 hinaus, also auf die bestimmung der Kerne von (A+E) und (A+2E).
Jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor, der im Kern von (A+E) oder (A+2E) ist, ist ein Eigenvektor der Matrix A, also ein Vektor, der bei Multiplikation mit A auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
Im Eingangspost schreibst Du, daß Du schätzt, daß die Matrix A-2E den Rang 3 hat. Diese Schätzung ist entschieden zu ungenau. Man schätzt sowas nicht, sondern man rechnet es aus - wenn man nicht andere Methoden hat, den Rang zu wissen.
Wenn Du hier rechnest, stellst Du fest: der Rang ist 1...
Noch ein Hinweis: wenn Du einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] errechnet hast, dann muß der Rang der Matrix [mm] A-\lambda [/mm] E kleiner als der volle Rang sein, sonst weißt Du gleich, daß Du Dich irgendwo verrechnet hast.
Sonst wäre ja die Dimension des Eigenraumes =0, also hättest Du gar keinen Eigenvektor - und somit auch keinen Eigenwert. (Der Nullvektor zählt nicht als Eigenvektor.)
Du hast mit der Matrix A also eine Matrix vorliegen, bei der die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten üereinstimmen.
Die Matrix A repräsentiert eine Abbildung aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^3.
[/mm]
Du hast, wenn Du fertig bist mit dem Rechnen, drei linear unabhängige Eigenvektoren, welche zusammen eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Der [mm] \IR^3 [/mm] hat also eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix A. (In diesen Fällen freut man sich: die Matrix ist diagonalisierbar - wenn's nicht dran war, dann kommt es bald.)
Und damit ist [mm] \IR^3=Eig(A,-1)\oplus [/mm] Eig(A,2).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 17.02.2010 | | Autor: | dom88 |
danke für die gute erklärung.
gibt es denn tricks um zu erkennen, welchen rang die matrix hat wenn es mal nicht so offensichtlich ist?
dom
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Mit dem Gauß-Algo kannst du eine Zeilenstufenform oder Spaltenstufenform kreieren und dann den Rang ablesen.
Oder du betrachtest die Zeilen bzw. Spalten als Vektoren und hoffst ihre lineare Unabhängigkeit auf Anhieb zu erkennen.
Was hier natürlich einfach ist, da es eine orthogonale Matrix ist.
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