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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - eigenwerte einer unitären matr
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eigenwerte einer unitären matr: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 25.07.2010
Autor: sepp-sepp

Aufgabe
Beh.: eigenwerte einer unitären matrix sind nur 1,-1,i,-i

wollte nur wissen ob obige beh. stimmt. ich hätte schon gedacht es stimmt weil es ja heißt dass der betrag der ew einer unit. matrix nur 1 sein kann. wenn nicht kann jemand ein gegenbsp sagen?

        
Bezug
eigenwerte einer unitären matr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 So 25.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo sepp-sepp,



> Beh.: eigenwerte einer unitären matrix sind nur 1,-1,i,-i [notok]
>  wollte nur wissen ob obige beh. stimmt. ich hätte schon
> gedacht es stimmt weil es ja heißt dass der betrag der ew
> einer unit. matrix nur 1 sein kann. [ok]

Komplexe Zahlen mit Betrag 1 liegen doch auf dem Rand des Einheitskreises!

Also ist auch ein EW [mm] $\lambda$ [/mm] einer (komplexen) unitären Matrix dort gelegen, er hat also die Form [mm] $\lambda=e^{i\varphi}$ [/mm]

> wenn nicht kann jemand
> ein gegenbsp sagen?

Puh, [mm] $\pmat{\frac{1}{\sqrt{7}}&\frac{2}{\sqrt{7}}i&\frac{1}{\sqrt{7}}(1-i)\\\frac{2}{\sqrt{5}}i&\frac{1}{\sqrt{5}}&0\\\sqrt{\frac{2}{35}}&\sqrt{\frac{8}{35}}&\sqrt{\frac{5}{14}}(-1+i)}$ [/mm]




Gruß

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
eigenwerte einer unitären matr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:45 Mo 26.07.2010
Autor: fred97

Ergänzend:

Sei t [mm] \in \IR [/mm] und die nxn-Matrix U def. durch

                 [mm] $U=e^{it}E$, [/mm] wobei E = nxn-Einheitsmatrix.

Dann ist U unitär und hat genau einen Eigenwert: [mm] \lambda= e^{it}. [/mm]

Du siehst also: jeder Punkt auf  der Einheitskreislinie ist Eigenwert einer geeigneten unitären Matrix

FRED

Bezug
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