eigenwerte eines operators < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mi 11.06.2014 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Operator
[mm] $$Q=i\frac{d}{d\phi},$$
[/mm]
wobei [mm] $\phi$ [/mm] die übliche Polarkoordinate in 2 Dimensionen ist.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenfunktionen des Operators. Überprüfen Sie ob die Eigenwerte reell und die Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. |
Hallo zusammen,
Ich komme bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.
Ich kann die Eigenwertgleichung aufstellen:
[mm] $$i\frac{df_n}{d\phi}=q_nf_n$$, [/mm] wobei [mm] $q_n$ [/mm] die Eigenwerte bezeichnet.
jedoch fällt mir kein vernünftiger Ansatz für die Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] ein. ich habe es mit einem exponentialansatz [mm] versucht:$$f_n=Ce^{-iq_n\phi}$$, [/mm] aber diese Funktion wäre nicht normierbar...
ich wäre dankbar für einen kleinen Denkanstoß.
gruß marmik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 11.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum ist die fkt nicht normierbar, phi liegtt doch zw 0 und 2pi
bis dann, lula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie den Operator
> [mm]Q=i\frac{d}{d\phi},[/mm]
> wobei [mm]\phi[/mm] die übliche Polarkoordinate in 2 Dimensionen
> ist.
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten
> Eigenfunktionen des Operators. Überprüfen Sie ob die
> Eigenwerte reell und die Eigenfunktionen zu verschiedenen
> Eigenwerten orthogonal sind.
> Hallo zusammen,
> Ich komme bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.
> Ich kann die Eigenwertgleichung aufstellen:
> [mm]i\frac{df_n}{d\phi}=q_nf_n[/mm], wobei [mm]$q_n$[/mm] die Eigenwerte
> bezeichnet.
> jedoch fällt mir kein vernünftiger Ansatz für die
> Funktionen [mm]$f_n$[/mm] ein. ich habe es mit einem
> exponentialansatz versucht:[mm]f_n=Ce^{-iq_n\phi}[/mm], aber diese
> Funktion wäre nicht normierbar...
>
> ich wäre dankbar für einen kleinen Denkanstoß.
Die Frage nach den Eigenwerten und den Eigenfunktionen hängt doch gewaltig vom Definitionsraum des Differentialoperators ab ! Also: wo ist Q definiert ???
FRED
>
> gruß marmik
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:12 Do 12.06.2014 | | Autor: | marmik |
hallo,
danke für die Antworten.
Über den Definitionsraum ist nichts erwähnt worden. Aber wenn [mm] $\phi$ [/mm] zwischen 0 und [mm] $2\pi$ [/mm] liegt bekomm ich die Eigenfunktionen:[mm]f_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-iq_n\phi}[/mm]
Jetzt habe ich nur leider keine Ahnung wie ich an die Eigenwerte kommen kann...?
Einsetzen in die Eigenwertgleichung liefert nur: [mm] $q_n=q_n$.
[/mm]
Gruß
marmik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 14.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> danke für die Antworten.
> Über den Definitionsraum ist nichts erwähnt worden.
Na dann Prost !
> Aber
> wenn [mm]\phi[/mm] zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm] liegt bekomm ich die
> Eigenfunktionen:[mm]f_n(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-iq_n\phi}[/mm]
> Jetzt habe ich nur leider keine Ahnung wie ich an die
> Eigenwerte kommen kann...?
> Einsetzen in die Eigenwertgleichung liefert nur: [mm]q_n=q_n[/mm].
Für [mm] \lambda \in \IC [/mm] sei [mm] f_{\lambda}(\phi):=e^{-i \lambda \phi}. [/mm] Dann ist
[mm] Q(f_{\lambda})= \lambda*f_{\lambda}
[/mm]
FRED
>
> Gruß
> marmik
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