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| Aufgabe | Bestimmen Sie zu folgenden Matrizen A jeweils alle Eigenwerte, alle Eigenvektoren sowie eine Matrix V , sodass V^(-1)AV Diagonalgestalt besitzt:
a) [mm] \pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Rechnen Sie, falls notwendig, in [mm] \IC.
[/mm]
Rechnen Sie für die zweite Matrix explizit nach, dass V 1AV eine Diagonalmatrix ist |
A=Matrix
E=Einheitsmatrix
V=eigenvektoren
[mm] \lambda= [/mm] Eigenwerte
a)
[mm] (A-\lambda*E)*V=0
[/mm]
eigenwerte bestimmen:
[mm] det(A-\lambda*E)= [/mm] 0
[mm] det\pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }= (4-\lambda)*(1-\lambda)-6
[/mm]
0 = [mm] \lambda^2-5\lambda [/mm] -2
[mm] \lambda_1= 2,5+\bruch{wurzel{33}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_2= 2,5-\bruch{wurzel{33}}{2}
[/mm]
ich wollte erst mal fragen ob das soweit richtig ist, weil die werte so unschön sind
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> Bestimmen Sie zu folgenden Matrizen A jeweils alle
> Eigenwerte, alle Eigenvektoren sowie eine Matrix V , sodass
> [mm] V^{-1}AV [/mm] Diagonalgestalt besitzt:
(damit der Exponent wirklich hochgestellt wird, musst
du ihn zwischen geschweifte Klammern setzen ! Das habe
ich jetzt getan)
> a) [mm]\pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
>
> Rechnen Sie, falls notwendig, in [mm]\IC.[/mm]
> Rechnen Sie für die zweite Matrix explizit nach, dass V
> 1AV eine Diagonalmatrix ist
> A=Matrix
> E=Einheitsmatrix
> V=eigenvektoren
> [mm]\lambda=[/mm] Eigenwerte
>
> a)
>
> [mm](A-\lambda*E)*V=0[/mm]
>
> eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]det(A-\lambda*E)=[/mm] 0
>
>
> [mm]det\pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }= (4-\lambda)*(1-\lambda)-6[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Bist du einfach zu faul, die Matrix komplett (mit
den [mm] \lambda [/mm] - Termen) hinzuschreiben ?
> 0 = [mm]\lambda^2-5\lambda[/mm] -2
>
> [mm]\lambda_1= 2,5+\bruch{wurzel{33}}{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2= 2,5-\bruch{wurzel{33}}{2}[/mm]
>
> ich wollte erst mal fragen ob das soweit richtig ist, weil
> die werte so unschön sind
Da habe ich schon wesentlich unschöneres gesehen. Mach
mal weiter !
Damit die Wurzeln aber richtig dargstellt werden, solltest
du anstatt wurzel jeweils \wurzel schreiben !
LG , Al-Chw.
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ok dann mach ich mal weiter
[mm] \pmat{ 4- \bruch{5+\wurzel{33}}{2}& 3 \\ 2 & 1-\bruch{5-\wurzel{33}}{2} } *\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1: [mm] \bruch{3-\wurzel{33}}{2}x+3y=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2: 2x+ [mm] \bruch{-3+\wurzel{33}}{2}y [/mm] = 0
1: [mm] \bruch{3-\wurzel{33}}{2}x+3y=0
[/mm]
y= [mm] \bruch{-3+\wurzel{33}}{6}x
[/mm]
y in 2:
2x+ [mm] \bruch{-3+\wurzel{33}}{2}*\bruch{-3+\wurzel{33}}{6}x=0
[/mm]
2x+ [mm] \bruch{7-\wurzel{33}}{2}x=0
[/mm]
x= 0?
sieht irgendwie total falsch aus was ich da mache
ich bitte um korrektur
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Hallo arbeitsamt,
> ok dann mach ich mal weiter
>
> [mm]\pmat{ 4- \bruch{5+\wurzel{33}}{2}& 3 \\ 2 & 1-\bruch{5-\wurzel{33}}{2} } *\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1: [mm]\bruch{3-\wurzel{33}}{2}x+3y=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2: 2x+ [mm]\bruch{-3+\wurzel{33}}{2}y[/mm] = 0
>
> 1: [mm]\bruch{3-\wurzel{33}}{2}x+3y=0[/mm]
>
> y= [mm]\bruch{-3+\wurzel{33}}{6}x[/mm]
>
> y in 2:
>
> 2x+ [mm]\bruch{-3+\wurzel{33}}{2}*\bruch{-3+\wurzel{33}}{6}x=0[/mm]
>
> 2x+ [mm]\bruch{7-\wurzel{33}}{2}x=0[/mm]
>
> x= 0?
>
x ist frei wählbar., da es sich um
zwei linear abhängige Gleichungen handelt.
Wähle also ein x und bestimme Hilfe
der ersten Gleichung das zugehörige y.
> sieht irgendwie total falsch aus was ich da mache
>
> ich bitte um korrektur
>
Gruss
MathePower
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ich habe übrigens einen fehler erkannt, aber egal
also für [mm] \lambda_1
[/mm]
folgende gleichung:
[mm] \bruch{3-\wurzel{33}}{2}x+3y=0
[/mm]
ich wähle für x=1
[mm] \bruch{3-\wurzel{33}}{2}+3y=0
[/mm]
y= [mm] \bruch{-3+\wurzel{33}}{6}
[/mm]
für [mm] \lambda_2 [/mm] habe ich foglende gleichung
2x + [mm] \bruch{-3+\wurzel{33}}{2}y=0
[/mm]
x=1
y= [mm] \bruch{-3-\wurzel{33}}{6}
[/mm]
also zusammengefasst:
[mm] \lambda_1 \Rightarrow V_1= \vektor{1 \\ \bruch{-3+\wurzel{33}}{6}}
[/mm]
[mm] \lambda_2 \Rightarrow V_2= \vektor{1 \\ \bruch{-3-\wurzel{33}}{6}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Sa 14.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieht richtig aus, aber du kannst ja auch selbst die Probe mit einsetzen machen.
gruss leduart
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ok danke
ich soll jetzt eine Matrix V bestimmen, sodass [mm] V^{-1}AV [/mm] eine Diagonalgestalt darstellt
Matrix V = [mm] V_1V_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{-3+\wurzel{33}}{6} & \bruch{-3-\wurzel{33}}{6} }
[/mm]
[mm] V^{-1}= \pmat{ \bruch{22+\wurzel{33}}{33} & \bruch{2\wurzel{33}}{33} \\ \bruch{11-\wurzel{33}}{33} & \bruch{2\wurzel{33}}{33} }
[/mm]
meine rechnung ist im anhang
was ist hier eig AV? [mm] \pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{-3+\wurzel{33}}{6} & \bruch{-3-\wurzel{33}}{6} }?
[/mm]
alles soweit richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo arbeitsamt,
> ok danke
>
> ich soll jetzt eine Matrix V bestimmen, sodass [mm]V^{-1}AV[/mm]
> eine Diagonalgestalt darstellt
>
> Matrix V = [mm]V_1V_2= \pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{-3+\wurzel{33}}{6} & \bruch{-3-\wurzel{33}}{6} }[/mm]
>
> [mm]V^{-1}= \pmat{ \bruch{22+\wurzel{33}}{33} & \bruch{2\wurzel{33}}{33} \\ \bruch{11-\wurzel{33}}{33} & \bruch{2\wurzel{33}}{33} }[/mm]
>
Diese Inverse zu V ist nicht richtig.
> meine rechnung ist im anhang
>
> was ist hier eig AV? [mm]\pmat{ 4 & 3 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ \bruch{-3+\wurzel{33}}{6} & \bruch{-3-\wurzel{33}}{6} }?[/mm]
>
Ja.
> alles soweit richtig?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 14.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast in der zweiten Zeile nicht denselben EW eingesetzt wie in der ersten!
dadurch falsch!
(0,0) ist immer Lösung der GS . [mm] A*x=\lambda* [/mm] du suchst eine ungleich Null.
Gruss leduart
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ok ich habe jetzt die zweite matrix gelöst. das ist ne drehmatrix. gibt es da irgendwas, was ich beachten muss?
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }= \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} }
[/mm]
[mm] det(\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-\lambda & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-\lambda })= \lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -\bruch{-\wurzel{2}}{2}+\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2-1}= -\bruch{-\wurzel{2}}{2}+\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2+i^2}= \wurzel{2}+i
[/mm]
[mm] \lambda_2= -\bruch{-\wurzel{2}}{2}-\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2-1}= [/mm] i
Eigenvektoren bestimmen:
Für [mm] \lambda_1
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-\wurzel{2}+i & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-\wurzel{2}+i }*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}x+ix-\bruch{\wurzel{2}}{2}y=0
[/mm]
x=1 (frei gewählt)
Daraus folgt y= -1+ [mm] \bruch{2i}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] V_1= \vektor{1 \\ -1+ \bruch{2i}{\wurzel{2}}}
[/mm]
Für [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-i & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-i }*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}x-ix -\bruch{\wurzel{2}}{2}y=0
[/mm]
x=1
y= [mm] 1-\bruch{2i}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] V_1= \vektor{1 \\ 1+ \bruch{2i}{\wurzel{2}}}
[/mm]
das sollte soweit richtig sein oder?
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Hallo arbeitsamt,
> ok ich habe jetzt die zweite matrix gelöst. das ist ne
> drehmatrix. gibt es da irgendwas, was ich beachten muss?
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }= \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} }[/mm]
>
>
> [mm]det(\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-\lambda & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-\lambda })= \lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\lambda_1[/mm] =
> [mm]-\bruch{-\wurzel{2}}{2}+\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2-1}= -\bruch{-\wurzel{2}}{2}+\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2+i^2}= \wurzel{2}+i[/mm]
>
> [mm]\lambda_2= -\bruch{-\wurzel{2}}{2}-\wurzel{\bruch{(-\wurzel{2}}{2})^2-1}=[/mm]
> i
>
Die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm] stimmen nicht.
> Eigenvektoren bestimmen:
>
> Für [mm]\lambda_1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-\wurzel{2}+i & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-\wurzel{2}+i }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}x+ix-\bruch{\wurzel{2}}{2}y=0[/mm]
>
> x=1 (frei gewählt)
>
> Daraus folgt y= -1+ [mm]\bruch{2i}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]V_1= \vektor{1 \\ -1+ \bruch{2i}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
>
> Für [mm]\lambda_2[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2}-i & -\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2}-i }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}x-ix -\bruch{\wurzel{2}}{2}y=0[/mm]
>
> x=1
>
> y= [mm]1-\bruch{2i}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]V_1= \vektor{1 \\ 1+ \bruch{2i}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> das sollte soweit richtig sein oder?
Gruss
MathePower
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bist du sicher das die eigenwerte nicht stimmen? ich finde den fehler nicht.
ich habe es auch mit der quadratischen ergänzung gemacht und komme immer auf das selbe ergebnis:
[mm] \lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1=0
[/mm]
0= [mm] \lambda^2-\wurzel{2}\lambda +(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2+1
[/mm]
[mm] (\lambda [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2})^2= (\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+i
[/mm]
[mm] \lambda= \wurzel{2}+i
[/mm]
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Hallo arbeitsamt,
> bist du sicher das die eigenwerte nicht stimmen? ich finde
> den fehler nicht.
>
> ich habe es auch mit der quadratischen ergänzung gemacht
> und komme immer auf das selbe ergebnis:
>
> [mm]\lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1=0[/mm]
>
> 0= [mm]\lambda^2-\wurzel{2}\lambda +(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2+1[/mm]
>
> [mm](\lambda[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2})^2= (\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}+i[/mm]
>
Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe
der Wurzeln der einzelnen Summanden:
[mm]\wurzel{a+b} \not= \wurzel{a}+\wurzel{b}[/mm]
Vielmehr muss es hier lauten:
[mm](\lambda - \bruch{\wurzel{2}}{2})= \pm\wurzel{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1}[/mm]
> [mm]\lambda= \wurzel{2}+i[/mm]
>
Gruss
MathePower
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[mm] \wurzel{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2+i^2}\not= \bruch{\wurzel{2}}{2}+i?
[/mm]
wie bestimme ich hier dann [mm] \lambda?
[/mm]
> Vielmehr muss es hier lauten:
>
> [mm](\lambda - \bruch{\wurzel{2}}{2})= \pm\wurzel{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1}[/mm]
>
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Hallo arbeitsamt,
>
> [mm]\wurzel{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2+i^2}\not= \bruch{\wurzel{2}}{2}+i?[/mm]
>
> wie bestimme ich hier dann [mm]\lambda?[/mm]
>
Unter der Wurzel steht ohne Zweifel etwas negatives.
>
>
> > Vielmehr muss es hier lauten:
> >
> > [mm](\lambda - \bruch{\wurzel{2}}{2})= \pm\wurzel{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1}[/mm]
>
> >
>
Damit ist:
[mm](\lambda - \bruch{\wurzel{2}}{2})= \pm i \wurzel{\vmat{(\bruch{\wurzel{2}}{2})^2-1}} [/mm]
Gruss
MathePower
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