eigenwerte zu eigenvektor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Do 22.03.2007 | | Autor: | odin666 |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2} [/mm] |
[mm] \pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2}
[/mm]
ich habe dieses Gleichungssystem gegeben und habe die Eigenwerte -2; -2; 4 berechnet, diese stimmten soweit auch. meine frage ist wie ich auf deie eigenvektoren dazu komme. ich habe die eigenwerte jeweils eingesetzt und bekomme für -2 z.B. folgendes GS raus:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
wieso ist der eigenvektor nun [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ???
für 4 bekomme ich folgendes GS:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ -6 & 6 & -6 }
[/mm]
hierbei ist der Eigenvektor nun [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }.
[/mm]
aber warum, für mich sind die GS gleich, kann mir das evtl einer erklären???? Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2}[/mm]
> [mm]\pmat{ -3 & 1 & -1 \\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2}[/mm]
>
> ich habe dieses Gleichungssystem gegeben und habe die
> Eigenwerte -2; -2; 4 berechnet, diese stimmten soweit auch.
> meine frage ist wie ich auf deie eigenvektoren dazu komme.
> ich habe die eigenwerte jeweils eingesetzt und bekomme für
> -2 z.B. folgendes GS raus:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
wenn ich -2 einsetze und umforme, bekomme ich
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Das sagt mir, daß z=6 und daß ich eine Variable frei wählen kann, etwa x=t.
Dann ist y=x+z=t+0=t, und somit haben die Lösungen des Systems die Gestalt
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{t \\ t\\0}=t\vektor{1 \\ 1\\0}.
[/mm]
Also wird der Lösungsraum des GS aufgespannt von [mm] \vektor{1 \\ 1\\0},
[/mm]
und damit ist der Eigenraum zum EW 2 der Raum [mm] <\vektor{1 \\ 1\\0}>.
[/mm]
>
> wieso ist der eigenvektor nun [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] ???
>
> für 4 bekomme ich folgendes GS:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ -6 & 6 & -6 }[/mm]
Auch das solltest Du nochmal nachrechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 22.03.2007 | | Autor: | odin666 |
also ich habe jetzt nachgerechnet und hab ein GS von:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
bis hier find ich keinen Fehler und ich könnte doch jetzt die beiden unteren Zeilen eliminieren oder halt nur eine dann würd ich auf:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
kommen. und wie jetzt weiter, ist es egal welche variable ich frei wähle??? und warum dürfte ich wenn es richtig ist dann nur bis da umwandeln.
Das sagt mir, daß z=6 und daß ich eine Variable frei wählen kann, etwa x=t.
Dann ist y=x+z=t+0=t, und somit haben die Lösungen des Systems die Gestalt.....
und was meinst du jetzt damit ich sitz gerade irgendwie aufm schlauch.
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> also ich habe jetzt nachgerechnet und hab ein GS von:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>
> bis hier find ich keinen Fehler und ich könnte doch jetzt
> die beiden unteren Zeilen eliminieren
Oh nein!!! Wie willst Du denn beide wegbekommen???
> oder halt nur eine
> dann würd ich auf:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> kommen.
Ja.
> und wie jetzt weiter, ist es egal welche variable
> ich frei wähle???
fast. z liegt ja fest durch 6z=0. Du kannst also x oder y frei wählen.
> und warum dürfte ich wenn es richtig ist
> dann nur bis da umwandeln.
Du kannst noch weiter umwandeln, wenn es Dir nützlich erscheint:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] (*)
>
> Das sagt mir, daß z=6 und daß ich eine Variable frei wählen
> kann, etwa x=t.
> Dann ist y=x+z=t+0=t, und somit haben die Lösungen des
> Systems die Gestalt.....
>
> und was meinst du jetzt damit ich sitz gerade irgendwie
> aufm schlauch.
Was Du bei (*) stehen hast, ist ja die "Abkürzung" für das GS
-x+y=0
z=0,
und dieses GS muß gelöst werden. Das habe ich getan.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 22.03.2007 | | Autor: | odin666 |
so ich habs jetzt auch mal!!! vielen Dank, aber ein (evtl. dumme) Frage hab ich noch.
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
könnnte ich hier nich quasi die 2. zeile von der dritten und die dritte zeile von der zweiten abziehen?? oder steht da in Mathematikkreisen die Todesstrafe drauf???
und
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
auf die eins bist du gekommen, weil z=0 ist und du dir das "sparen" kannst, daher dann auch in der ersten zeile z=0, weil da eh 0 raus kommt???
Ich bedanke mich nochmal hgerzlichst bei dir.
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> so ich habs jetzt auch mal!!! vielen Dank, aber ein (evtl.
> dumme) Frage hab ich noch.
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm]
>
> könnnte ich hier nich quasi die 2. zeile von der dritten
> und die dritte zeile von der zweiten abziehen??
Du mußt Dich entscheiden.
A. Du kannst die 2. von der 3. abziehen. Dann hast Du das:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Und hier siehst Du, daß Du die zweite Zeile nicht mehr vollständig wegbekommst. Wenn Du die jetzige 3. Zeile abziehst, ändert das ja nichts...
Oder
B: Du ziehst die 3. von der 2. ab:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
> oder steht
> da in Mathematikkreisen die Todesstrafe drauf???
Niemals würden Mathematiker so etwas tun! Allerdings wäre es möglich, daß Mathematiker in Anblick der Matrix
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},
[/mm]
welche Du auf dubiosem Wege gewonnen hast, einen sofortigen Herzstillstand erleiden.
>
> und
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> auf die eins bist du gekommen, weil z=0 ist und du dir das
> "sparen" kannst, daher dann auch in der ersten zeile z=0,
> weil da eh 0 raus kommt???
Nein, ich habe ausgehend von
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
folgendes getan:
2.Zeile dividiert durch 6 --->
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 },
[/mm]
nun die 2. Zeile zu der 1. addiert --->
[mm] \pmat{ -1 & 1 & \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Do 22.03.2007 | | Autor: | odin666 |
Vielen vielen Dank für deine Geduld. Momentan hab ich keine Fragen mehr, das kann sich aber sehr schnell ändern.....
Danke für die Geduld
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