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ein Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:25 Sa 19.05.2007
Autor: EasyLee

Hallo!

Kann mir bitte jemand helfen [mm] \int_{-r}^{r} 6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] zu lösen?
Lieder komme ich nicht weiter. Hier mein Ansatz:

[mm] \int_{-r}^{r}6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] = [mm] 6\int_{-r}^{r}x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] *

Substitution [mm] x=rsin(\phi) [/mm] , [mm] dx=rcos(\phi) d\phi [/mm] , [mm] \phi=sin\left(\bruch{x}{r}\right)^{-1} [/mm]

*
= [mm] 6\int_{-r}^{r} r^2sin(\phi)^2*rcos(\phi)*rcos(\phi) d\phi [/mm] = [mm] 6r^4\int_{-r}^{r} sin(\phi)^2cos(\phi)^2 d\phi [/mm]

mit den Identitäten [mm] cos(x)^2=\left(\bruch{1+cos(2x)}{2}\right) [/mm] und [mm] six(x)^2=\left(\bruch{1-cos(2x)}{2}\right) [/mm] folgt dann

= [mm] 6r^4\int_{-r}^{r} \bruch{1-cos(2\phi)}{2} \bruch{1+cos(2\phi)}{2} d\phi [/mm] = [mm] \bruch{6r^4}{4}\int_{-r}^{r}\left(1- cos(2\phi)^2\right) d\phi [/mm]

[mm] =\bruch{6r^4}{4} \left( \int_{-r}^{r} 1\ d\phi\ - \int_{-r}^{r} cos(2\phi)^2 d\phi\right) =\bruch{6r^4}{4} \left( \int_{-r}^{r} 1\ d\phi\ - \int_{-r}^{r} \bruch{1}{2}\left(1+cos(4\phi)\right) \ d\phi\right) [/mm]

Ich komm jetzt leider nicht weiter. Wäre schön wenn jemand helfen kann.
Stimmt es bisher überhaupt?

Danke!
EasyLee

        
Bezug
ein Integral: Integral auseinanderziehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:40 Sa 19.05.2007
Autor: Loddar

Hallo EasyLee!


Außer dass Du hier auch noch die Grenzen substituieren solltest bzw. das Ganze als unbestimmtes Integral zu lösen, kann ich keinen Fehler entdecken.

Zerlege nun das letzte Integral:

[mm]... \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \integral{1\ d\varphi} \ - \ \integral{\bruch{1}{2}\left(1+\cos(4\varphi)\right) \ d\varphi} \ \right] \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \integral{1\ d\varphi} \ - \ \integral{\bruch{1}{2} \ d\varphi} - \integral{\cos(4\varphi) \ d\varphi} \ \right] \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \bruch{1}{2}*\integral{1 \ d\varphi} - \integral{\cos(4\varphi) \ d\varphi} \ \right] \ = \ ...[/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
ein Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Sa 19.05.2007
Autor: EasyLee

Hallo!

Vielen Dank für die schnelle Hilfe. Unbestimmt habe ich es sogar
gelöst, doch jetz hab ich eben mit dem substituieren der Grenzen
Probleme.

Wie sehen denn meine neuen Grenzen aus?

$ [mm] \int_{-r}^{r}6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] $
$ [mm] x=rsin(\phi) [/mm] $ $ [mm] dx=rcos(\phi) d\phi [/mm] $

Weiß gar nicht wie? Muss doch meine alten Grenzen in $ [mm] x=rsin(\phi) [/mm] $
einsetzenoder? aber wie? Hab ich dann unten [mm] -r\sin(\phi) [/mm] oder wie?

Evtl. kann jemand ein paar Worte dazu schreiben. Merke schon länger
das ich da was nicht verstanden hab.

Vielen Dank
EasyLee

Bezug
                        
Bezug
ein Integral: Integrationsgrenzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Sa 19.05.2007
Autor: Loddar

Hallo EasyLee!


Du hast doch oben selber geschrieben, dass gilt:   $ [mm] \varphi [/mm] \ = \ [mm] \varphi(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{x}{r}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)$ [/mm]


Damit erhältst Du für Deine neuen Integrationsgrenzen:

$ [mm] \varphi_1 [/mm] \ = \ [mm] \varphi(-r) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{-r}{r}\right) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin(-1) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{2}$ [/mm]

$ [mm] \varphi_2 [/mm] \ = \ [mm] \varphi(+r) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{r}{r}\right) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin(+1) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{\pi}{2}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
ein Integral: Super! Danke Loddar!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Sa 19.05.2007
Autor: EasyLee

Hast mit sehr geholfen! Mal sehen ob mir das mit dem substituieren der
Grenzen beim nächsten mal noch Probleme mach.

Ciao
EasyLee

Bezug
                                        
Bezug
ein Integral: Alternative
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Sa 19.05.2007
Autor: Loddar

Hallo EasyLee!


Alternativ kann man natürlich auch am Ende des Integrals wieder resubstituieren mit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)$ [/mm] .


Für Dein Integral habe ich in meiner Formelsammlung gefunden:

[mm] $\integral{x^2*\wurzel{r^2-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{8}*\wurzel{r^2-x^2}*\left(2x^2-r^2\right)+\bruch{r^4}{8}*\arcsin\left(\bruch{x}{r}\right) [/mm] + C$


Gruß
Loddar


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