ein irreduzibles Polynom? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:09 Di 13.06.2006 | | Autor: | Trace |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Man bestimme h, r [mm] \in [/mm] K[t] mit den Eigenschaften:
(i) [mm] t^{4}+t^{2}+1=(t^{2}+t-1)h+r
[/mm]
(ii) r=0 oder r [mm] \not=0 [/mm] und Grad r<2
Für welche Körper K ist [mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] in K[t] irreduzibel?
Für welche Körper K ist [mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] in K[t] das Quadrat eines in K[t] irreduziblen Polynoms? |
Hallo erstmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also eigentlich bräuchte ich nur einen kleinen Tip (hoffe ich).
Folgendes:
Damit ich sagen kann, dass ein Polynom reduzibel ist, müsste der Rest=r doch Null werden, oder?
Nun denke ich mir aber, dass ein Polynom 4.Grades reduzibel in [mm] \IR [/mm] ist, damit ich dann sagen kann: "In allen Körpern kleiner [mm] \IR [/mm] ist dieses Polynom irreduzibel."
Oder ist dieser ein falscher Ansatz?
So nun hab ich die Polynomdivision benutzt z.B. die aus der Aufgabe, also:
[mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] / [mm] (t^{2}+t-1) [/mm] = [mm] (t^{2}-t+3) [/mm] r=-4*t+4 , also:
[mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] = [mm] (t^{2}+t-1)(t^{2}-t+3)-4*t+4.
[/mm]
Ich hab's mit sämtlichen Divisionen versucht, doch kein Erfolg gehabt.
Offenbar klappt es so nicht.
Leider hat dieses Polynom keine Nullstellen, was wohl erheblich einfacher wäre.... :(
Es wäre also nett, wenn mir einer helfen könnte.
MfG Trace
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 13.06.2006 | | Autor: | Trace |
Ich glaube ich hab jetzt endlich mal einen anderen Ansatz gefunden, nur leider häng ich dort auch wieder fest. Also:
Hab jetzt mal folgendes gerechnet:
[mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] / [mm] (t^{2}+a) [/mm] = [mm] (t^{2}+(1-a)) r=1+(a^{2}+a) [/mm] , also
Wenn man das ganze wieder ohne Rest ausrechnet, erhält man:
[mm] (t^{2}+a) [/mm] * [mm] (t^{2}+(1-a)) [/mm] = [mm] t^{4}+t^{2}+(a-a^{2})
[/mm]
Somit weiß ich, dass a von folgender Form sein muss:
1 = [mm] a-a^{2}
[/mm]
Die Frage ist aber...Was sagt mir das?
Ich bitte um einen kleinen Hinweis...Danke...
MfG Trace
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 13.06.2006 | | Autor: | Trace |
Oh...ich seh gerade...
An der einen Stelle 4.Zeile muss das natürlich heißen
[mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] / [mm] (t^{2}+a) [/mm] = [mm] (t^{2}+(1-a)) [/mm] mit [mm] r=1+(a^{2}+a)
[/mm]
sorry...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Trace
Ich fand deinen ersten Ansatz eigentlich ganz gut:
Insgesamt hast du doch 3 Möglichkeiten:
1) r = 0
2) Grad r = 0
3) Grad r = 1
Zuerst hast du [mm] t^{4}+t^{2}+1 [/mm] durch [mm] t^{2}+t-1 [/mm] geteilt und heraus hast du (bis auf den Rest) [mm] t^{2}-t+3. [/mm] Also schreib doch:
[mm] (t^{2}+t-1)(t^{2}-t+3) [/mm] = [mm] t^4+t^2+4t-3 [/mm] = [mm] t^4+t^2+1+4t-4
[/mm]
und nun folgt
[mm] t^4+t^2+1 [/mm] = [mm] (t^{2}+t-1)(t^{2}-t+3)+ [/mm] (-4t+4)
damit hast du h = [mm] t^{2}-t+3 [/mm] und r = -4t+4 (das ist also 3) denn Grad r = 1)
Für r = 0 muss doch zwangsläufig
h = [mm] t^{2}-t+3+ \bruch{-4t+4}{t^{2}+t-1} [/mm]
Für Grad r = 0, (also r eine Konstante) gilt dann h = [mm] (t^{2}-t+3+ \bruch{-4t}{t^{2}+t-1}) [/mm] und r=4
Wegen der Irreduzibilität ist es doch so, dass [mm] t^4+t^2+1 [/mm] irreduzibel ist, wenn die Nullstellen nicht mehr im Körper liegen. Also berechne die Nullstellen (sind komplex) und dann weißt du im nächst kleineren Körper ist es irreduzibel.
Ich hoff das stimmt jetzt auf die Schnelle so.
Liebe Grüße Binie
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