eindeutig best. Folge finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Da übersichtlicher habe ich die gesamte Aufg. nochmal gepostet.
nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
(ich schreib ab sofort für untere Gaußklammer: "[ ]" !!!!!!!!)
Mit Hilfe des Tipps habe ich die Folge rekursiv definiert durch:
[mm] a_{n + 1} [/mm] = [mm] [10^{n + 1} [/mm] (x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}})]
[/mm]
zur (i) hatte ich noch keine Idee.
Zur (ii) Induktion:
IA: n = 1
[mm] \summe_{k=0}^{1} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] = x - [x] - [mm] (\bruch{10x - 10[x]}{10}) [/mm] = x - [x] - x + [x] = 0
also: 0 [mm] \le \summe_{k=0}^{1} \bruch{a_k}{10^{k}} \le \bruch{1}{10^{n}}
[/mm]
direkt zum IS:
n [mm] \to [/mm] n + 1
x - [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm]
= x - [mm] (\summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n + 1}}{10^{n + 1}})
[/mm]
= x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] - [mm] \bruch{[10^{n + 1} ( x - \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}})]}{10^{n + 1}} [/mm]
= x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] - [ x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}] [/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
Weil: x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} \ge [/mm] 0 (nach IV) und x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} \ge [/mm] [ x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}] [/mm] (nochmal "[ ]" = untere Gaußk.)
so weit richtig? wie könnte man denn noch zeigen das:
x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] - [ x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}] \le \bruch{1}{10^{n + 1}} [/mm] ?
und wie könnte man an die (i) rangehen?
Meine Frustschwelle ist bald überschritten... :(
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wer verbietet dir denn mod 10 zu rechnen? und immer den kleinsten repräsentanten?
und was hat das mit [mm] x\in [/mm] R zu tun?
Gruss leduart
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Hi, das x gehört zu der zweiten Unteraufgabe die ich noch nicht gepostet habe. Verbieten tut mir das (noch) keiner, ich weiß nur nicht wie ich das aufschreiben könnte. Also in der Form [mm] (a_n)_n\in\IN [/mm] = ...
Ich möchte die Lösung ja nicht mit Worten beschreiben, wenn du verstehst...
Wir hatten das Thema Restklassen mod n nur mal kurz im Vorkurs angeschnitten, ob das jetzt wirklich die beste Lösung für die Aufgabe ist weiß ich nicht.
Grüße, kullinarisch
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Guten Morgen kullinarisch,
> Hi, das x gehört zu der zweiten Unteraufgabe die ich noch
> nicht gepostet habe.
Du hast da etwas missverstanden:
(i) ist nicht eine eigenständige Teilaufgabe, sondern nur
eine von zwei (oder mehreren) Bedingungen, welche an
die gesuchte Folge gestellt werden.
> Verbieten tut mir das (noch) keiner,
> ich weiß nur nicht wie ich das aufschreiben könnte. Also
> in der Form [mm](a_n)_n\in\IN[/mm] = ...
> Ich möchte die Lösung ja nicht mit Worten beschreiben,
> wenn du verstehst...
> Wir hatten das Thema Restklassen mod n nur mal kurz im
> Vorkurs angeschnitten, ob das jetzt wirklich die beste
> Lösung für die Aufgabe ist weiß ich nicht.
>
> Grüße, kullinarisch
Ich kann mir eine mögliche vervollständigte Aufgabenstellung denken.
Die sähe etwa so aus:
| Aufgabe | Sei x [mm] \in \IR [/mm] , x [mm] \ge [/mm] 0. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Folge [mm] (a_n)_{n\ge0} [/mm] gibt,
welche die drei Bedingungen (i), (ii) und (iii) erfüllt:
(i) [mm] a_0 \in \IN_0 [/mm] , [mm] a_n \in [/mm] {0, 1,...,9} für alle [mm] n\in\IN [/mm] ;
(ii) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_n*10^{-n}\ [/mm] =\ x$
(iii) es gibt keine Zahl [mm] M\in\IN [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] a_k=9 [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] k\ge [/mm] M |
Habe ich damit den Kern der Aufgabe getroffen ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 So 04.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei x [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\ge[/mm] 0. Zeige, dass es eine eindeutig
> bestimmte Folge [mm](a_n)_n\ge0[/mm] gibt mit:
>
> (i) [mm]a_0 \in \IN, a_n \in[/mm] {0, 1,...,9};
da fehlt etwas in der Aufgabe (etwa sowas wie [mm] $a_n \to [/mm] x$ oder was auch immer). Natürlich gibt es viele Folgen mit [mm] $a_0 \in \IN$ [/mm] und [mm] $a_n \in \IN_0 \cap \{0,1,2,\ldots,9\}\,:$
[/mm]
- Etwa die Folge konstant [mm] $1\,,$
[/mm]
- oder die Folge [mm] $a_0=5$ [/mm] und [mm] $a_n=1$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 1$
- oder
[mm] $$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,q_5,a_6,a_7,a_8\ldots)\equiv(2,3,5,7,2,3,5,7,2,\ldots)\,.$$
[/mm]
Daher: Bitte Aufgabenstellung VOLLSTÄNDIG hinschreiben (alles, was zur Teilfaufgabe i) gehört!).
P.S.: Leduart's Frage "nach dem Sinn des [mm] $x\,$'s" [/mm] war auch ein Hinweis darauf, dass die Aufgabenstllung so noch nicht vollständig sei.
Gruß,
Marcel
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Ah.. das macht Sinn. Ihr habt natürlich Recht. Ja der zweite Teil sieht wirklich sehr ähnlich aus:
(ii) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt 0 [mm] \le [/mm] x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10^{n}}
[/mm]
Tipp: Wähle induktiv [mm] a_0 [/mm] = untere Gaußklammer (x), [mm] a_1 [/mm] = untere Gaußklammer (10(x - [mm] a_0)), a_2 [/mm] = untere Gaußklammer [mm] (10^{2}(x [/mm] - [mm] a_0 [/mm] - [mm] \bruch{a_1}{10}), a_3 [/mm] = ...,
Zeige, dass x = [mm] \summe_{k = 0}{\infty} \bruch{a_k}{10^{k}}. [/mm] Man schreibt dann x = [mm] a_0, a_1a_2a_3... [/mm] Diese Darstellung heißt die Dezimalbruchentwicklung von x.
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| Aufgabe | Sei x [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Folge [mm] (a_n)_n\ge0 [/mm] gibt mit:
(i) [mm] a_0 \in \IN, a_n \in [/mm] {0, 1,...,9}
(ii) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt 0 [mm] \le [/mm] x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10^{n}}
[/mm]
Tipp: Wähle induktiv [mm] a_0 [/mm] = untere Gaußklammer (x), [mm] a_1 [/mm] = untere Gaußklammer (10(x - [mm] a_0)), a_2 [/mm] = untere Gaußklammer [mm] (10^{2}(x [/mm] - [mm] a_0 [/mm] - [mm] \bruch{a_1}{10}), a_3 [/mm] = ...,
Zeige, dass x = [mm] \summe_{k = 0}{\infty} \bruch{a_k}{10^{k}}. [/mm] Man schreibt dann x = [mm] a_0, a_1a_2a_3... [/mm] Diese Darstellung heißt die Dezimalbruchentwicklung von x. |
Da übersichtlicher habe ich die gesamte Aufg. nochmal gepostet.
nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
(ich schreib ab sofort für untere Gaußklammer "[ ]" !!!)
Mit Hilfe des Tipps habe ich die Folge rekursiv definiert durch:
[mm] a_{n + 1} [/mm] = [mm] [10^{n + 1} [/mm] (x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}})]
[/mm]
zur (i) hatte ich noch keine Idee.
Zur (ii) Induktion:
IA: n = 1
[mm] \summe_{k=0}^{1} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] = x - [x] - [mm] (\bruch{10x - 10[x]}{10}) [/mm] = x - [x] - x + [x] = 0
also: 0 [mm] \le \summe_{k=0}^{1} \bruch{a_k}{10^{k}} \le \bruch{1}{10^{n}}
[/mm]
direkt zum IS:
n [mm] \to [/mm] n + 1
x - [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm]
= x - [mm] (\summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n + 1}}{10^{n + 1}})
[/mm]
= x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] - [mm] \bruch{[10^{n + 1} ( x - \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}})]}{10^{n + 1}} [/mm]
= x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] - [ x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}] [/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
Weil: x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} \ge [/mm] 0 (nach IV) und x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} \ge [/mm] [ x - [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}] [/mm] (nochmal "[ ]" = untere Gaußk.)
Wie könnte man jetzt noch zeigen, dass x - [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \bruch{a_k}{10^{k}} \le \bruch{1}{10^{n + 1}}
[/mm]
und wie könnte man an die (i) rangehen?
Meine Frustschwelle ist bald überschritten :(
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei x [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\ge[/mm] 0. Zeige, dass es eine eindeutig
> bestimmte Folge [mm](a_n)_n\ge0[/mm] gibt mit:
>
> (i) [mm]a_0 \in \IN, a_n \in[/mm] {0, 1,...,9}
>
> (ii) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt 0 [mm]\le[/mm] x - [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}}[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{10^{n}}[/mm]
>
> Tipp: Wähle induktiv [mm]a_0[/mm] = untere Gaußklammer (x), [mm]a_1[/mm] =
> untere Gaußklammer (10(x - [mm]a_0)), a_2[/mm] = untere
> Gaußklammer [mm](10^{2}(x[/mm] - [mm]a_0[/mm] - [mm]\bruch{a_1}{10}), a_3[/mm] =
> ...,
> Zeige, dass x = [mm]\summe_{k = 0}{\infty} \bruch{a_k}{10^{k}}.[/mm]
> Man schreibt dann x = [mm]a_0, a_1a_2a_3...[/mm] Diese Darstellung
> heißt die Dezimalbruchentwicklung von x.
> Da übersichtlicher habe ich die gesamte Aufg. nochmal
> gepostet.
>
> nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere
> Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
>
> (ich schreib ab sofort für untere Gaußklammer "[ ]" !!!)
>
> Mit Hilfe des Tipps habe ich die Folge rekursiv definiert
> durch:
>
> [mm]a_{n + 1}[/mm] = [mm][10^{n + 1}[/mm] (x - [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}})][/mm]
>
> zur (i) hatte ich noch keine Idee.
>
> Zur (ii) Induktion:
STOP. Wir hatten doch schon festgestellt, dass (i) alleine so nicht sein kann, weil es sehr viele Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gibt, die die Bedingung aus (i) erfüllen.
Es ist zwar wirklich auch ein wenig unschön formuliert, weil man die (i) und (ii) wirklich als getrennte Teile der Aufgabe verstehen könnte, aber hier kann es (s.o.) nur so zu verstehen sein, dass der Aufgabensteller meint:
Finde eine (eindeutig bestimmte) Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] so, dass (i) und (ii) beide gleichzeitig für die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gelten, oder anders formuliert:
Finde eine (eindeutig bestimmte) Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_0 \in \IN_0$ [/mm] und [mm] $a_n \in \{0,1,2,\ldots,9\}$ [/mm] (für jedes natürliche $n [mm] \ge [/mm] 1$) und
$$0 [mm] \le x-\summe_{k=0}^{n} \bruch{a_k}{10^{k}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{10^{n}}$$
[/mm]
für jedes natürliche [mm] $n\,.$
[/mm]
(i) und (ii) sind keine zwei getrennten Aufgaben, die sich auf eine jeweilige Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beziehen, sondern der Aufgabensteller sagt nur, dass diese BEIDEN BEDINGUNGEN an [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gestellt werden.
Ohne große drüber nachgedacht zu haben, aber ich denke, ähnliches sind auch Deine Überlegungen: Es geht hier wohl im Wesentlichen um eine Dezimalbruchdarstellung einer Zahl $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Ein wenig aufpassen muss man da generell wegen [mm] $...,...\overline{9}=...,...1$ [/mm] etc.. Ich hoffe Du verstehst, was ich damit andeute.
Ich hoffe, Dir ist die Aufgabenstellung nun klarer. Es gibt dort keinen Teil (i) zu bearbeiten, sondern (i) ist eine der Bedingungen, die die Folge erfüllen soll.
Gruß,
MArcel
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Hi, mich wundert wieso du denkst das mir das immer noch nicht klar sei? Es sind zwar Bedingungen, aber man muss doch trotzdem zeigen das sie erfüllt werden und genau das habe ich mit der Induktion versucht. Ich weiß das jedes Folgeglied die nächste Dezimalstelle hinter dem KOmma beschreibt.. bis alle genannt wurden, iwann sind die Glieder alle Null, es sei denn x ist irrational. Das die in dem Tipp gegebenen Folgeglieder in der Menge {0,1...,9} ist ja klar.. nur wie man das zeigt weißt ich nicht und das die Folge eindeutig ist auch nicht. Ich bin in der Tat etwas verwirrt..
ach und man muss die Folge doch gar nicht finden.. sie steht doch quasi im Tipp. Wie sie rekursiv def. aussieht habe ich ja geschrieben.
Zu deiner Andeutung. 0,9 (periode) = 1 ist das selbe weil ich keine Zahl finden kann die zwischen 0,9 periode und 1 ist. Trotzdem gibt es die 2 Darstellungen. Das spricht iwie gegen dei Eindeutigkeit der Folge und verwirrt mich zusätzlich. Ich frag mich wirklich wie man das zeigen soll, dass es nur eine Möglichkeit gibt. Ich komme ohne konkreten Denkanstoß nicht weiter, ich studiere seit 2 Monaten mir, fehlt die Erfahrung beim beweisen einfach. Ich saß da jetzt schon zu lange dran als das mir noch was gescheites einfallen würde!!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, mich wundert wieso du denkst das mir das immer noch
> nicht klar sei? Es sind zwar Bedingungen, aber man muss
> doch trotzdem zeigen das sie erfüllt werden und genau das
> habe ich mit der Induktion versucht.
naja, Du hast angefangen damit, dass Du zu (i) keine Idee hast, und dann willst Du (ii) per Induktion zeigen. Die Eindeutigkeit der Folge bedarf aber (i) und (ii), daher kannst Du (i) und (ii) nicht komplett trennen und einzeln behandeln. Irgendwo wird beim Beweis von (ii) der Teil (i) eingehen oder beim Beweis von (i) braucht man einen Teil von (ii).
Wenn Du schreibst: "Zu (ii): ...", so verstehe ich (und sicher auch viele andere) das so, als wenn Du nun den Unterteil (ii) der Aufgabe behandeln willst.
Wie auch immer: Wenn Dir nun klar ist, dass man an diese Folge beide Bedingungen stellt, dann sollte Dir auch klar sein, dass Du den Beweis nicht komplett trennen kannst. Beide Bedingungen werden irgendwann irgendwo "zusammenspielen" - es sei denn, der Aufgabensteller hätte zuviele Voraussetzungen an die Folge gestellt. (Das hieße dann, dass man die Voraussetzungen auch abschwächen könnte.)
Du kannst nun mit dem Tipp eine solche Folge konstruieren (das ist der Existenzbeweis einer solchen Folge: Du musst allerdings nachweisen, dass sie die geforderten Eigenschaften hat). Wichtig ist, dass Du zeigst, dass jede weitere Folge, die die Voraussetzungen erfüllt, mit der so konstruierten übereinstimmt. (Das ist der Beweis der Eindeutigkeit.)
Und ohne, dass ich es jetzt in irgendeiner Weise überlegt habe:
Ja, dieses irgendwas Komma Periode 9 = (10*irgendwas) könnte die Eindeutigkeit zerstören. Allerdings denke ich, dass der Aufgabensteller das mit seiner Forderung in (ii) (das zweite $< [mm] \ldots$ [/mm] ist wohl so wichtig, dass es nicht durch ein [mm] $\le$ [/mm] ersetzt werden dürfte) geregelt hat.
Also irgendwie ist schon klar, dass man mit dem Tipp eine Folge hat, die alle Eigenschaften aus (i) erfüllt. In (ii) steht in der ersten Ungleichung grob gesagt, dass das "Weglassen von Nachkommastellen" eine kleinere Zahl liefert (im Teil $0 [mm] \le x-\sum_1^n [/mm] ...$) - dazu musst Du nur die Summe auf die andere Seite der Ungleichung bringen. Dass man beim Weglassen von Nachkommastellen dann "bis auf den angegebenen Fehler (der steht in Abhängigkeit der Nachkommastelle, aber der man abschneidet)" das [mm] $x\,$ [/mm] approximiert (also, wenn man [mm] $\pi$ [/mm] etwa nur bis auf die dritte Nachkommastelle angibt: [mm] $3,141\,$ [/mm] ist bis auf einen Fehler [mm] $\le [/mm] 1/1000$ eine an [mm] $\pi$ [/mm] approximierte Zahl) besagt die zweite Ungleichung.
Mal im Ernst: Bevor Du nun groß drüber grübelst, wie Du die Aufgabe beweist: Mach' Dir mal klar, was die Forderungen an die Folge eigentlich bedeutet - eigentlich habe ich es oben hingeschrieben. Nimm' Dir mal eine konkrete Zahl $x [mm] \in \IR$ [/mm] vor und schau' Dir die Forderungen an, was sie da bedeuten. Konstruiere in diesem konkreten Falle mal die Folge entsprechend der Vorschrift und beweise dann, dass es für Dein konkretes [mm] $x\,$ [/mm] wirklich auch nur eine Folge gibt - nämlich die, die Du entsprechend der Vorschrift konstruiert hast - die die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt.
Dann wird Dir erstens klarer, was die Aussagen, die da stehen, eigentlich bedeuten und dass Du sie, ohne Beweis, schon seit Schulzeiten, ohne sie groß zu hinterfragen, angewendet hast. Zum anderen ist es vielleicht auch ein wenig weniger verwirrend, wenn dieser "Parameter [mm] $x\,$" [/mm] mal einen konkreten Wert hat. Wenn Dir das dann so gelingt, sollte es nur noch ein kleiner Transfer sein, etwa die Zahl [mm] $3,145684932748\ldots$ [/mm] an jeder Stelle im Beweis durch ein [mm] $x\,$ [/mm] wieder zu ersetzen und zu gucken, ob da nicht irgendwo ein logischer Schluß war, der nur wegen des konkreten Wertes für [mm] $x\,$ [/mm] gültig war. Wenn alle Folgerungen dann von der speziellen Wahl der [mm] $x\,$'s [/mm] unabhängig waren, dann kannst Du danach den Beweis passend umschreiben und dabei von Anfang an dann $x [mm] \in \IR$ [/mm] als beliebig, aber fest, gewählt stehen lassen.
Als banales Beispiel:
Ich behaupte, dass für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $(-x)^2=x^2\,.$ [/mm]
Test: $x=-2:$ [mm] $(-x)^2=(-(-2))^2=2^2=4$ [/mm] und [mm] $x^2=(-2)^2=4\,,$
[/mm]
passt.
Beweis für speziell $x=-2:$
Es ist ja
[mm] $$(-(-2))^2=((-1)*(-2)^2)=(-1)^2*(-2)^2=1*(-2)^2\,.$$
[/mm]
Und hier sieht man auch schon, dass das bei beliebigen $x [mm] \in \IR$ [/mm] genauso geht:
[mm] $$(-(-x))^2=((-1)*(-x)^2)=(-1)^2*(-x)^2=1*(-x)^2=(-x)^2\,.$$
[/mm]
Auch wenn das natürlich ein ganz banales Beispiel ist, wo das so klappt: Analog würde ich an Deiner Stelle an obige Aufgabe herangehen. Zumal Du ja selbst sagst, dass Du da schon ewig dran am grübeln bist. Manchmal hilft "das Behandeln einer konkreten Situation", um die Struktur zu erkennen, die man für "den Beweis einer allgemeineren Situation" braucht.
So, viel Gerede und schlussendlich doch nur ein Fazit: Mach' Dir das ganze mal für ein konkretes (nicht "zu triviales") $x [mm] \in \IR$ [/mm] klar. Danach schau', was Du benutzt hast und wie Du "bei einem anderen (oder sogar schon beliebigen, aber festen) $x [mm] \in \IR$" [/mm] vorgehen würdest.
Bzw. auch ein zweites Fazit: Mach' Dir klar, was "das Abschneiden der Nachkommastellen einer Zahl in Dezimaldarstellung" mit der Aufgabe zu tun hat bzw. wie gut so eine "abgeschnittene Zahl" an das [mm] $x\,$ [/mm] herankommt.
Mehr will ich dazu erstmal eigentlich auch gar nicht sagen - denn ich denke, wenn man das verstanden hat, bekommt man den Rest alleine hin. Und ich will die Aufgabe ja nicht einfach nur runterschreiben. Denn diese einfachen Erkenntnisse musst Du selbst machen, um Dir die Aussagen zu verinnerlichen. Wie gesagt: Ich bin mir sicher, dass Du die Behauptungen der Aussage eigentlich schon zu Schulzeiten benutzt hast. Bei Aufgaben wie "Berechne [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] bis auf die 5e Nachkommastelle und gib' eine Schranke für den Fehler dieser so gefundenen Zahl an".
P.S.:
Du kannst auch im Heuser, Lehrbuch der Analysis (I), unter dem Stichwort "Dezimalbruch" nachschlagen und Dir anschauen, wie dort mit Intervallschachtelungen argumentiert wird. Wenn Du Dir dann einen kleinen Zusammenhang darstellst, wie dieses "Intervallsplitting" dort mit der Gaußklammer zusammenhängt, wirst Du Deinen Beweis sicher hinbekommen. Nichtsdestotrotz rate ich Dir weiterhin: Behandle erstmal ein konkretes (nicht zuuu triviales) $x [mm] \in \IR$ [/mm] und bilde dafür dann die Folge [mm] $(a_n)_n\equiv (a_n(x))_n\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu deiner Andeutung. 0,9 (periode) = 1 ist das selbe weil
> ich keine Zahl finden kann die zwischen 0,9 periode und 1
> ist. Trotzdem gibt es die 2 Darstellungen. Das spricht iwie
> gegen dei Eindeutigkeit der Folge und verwirrt mich
> zusätzlich.
naja, diese Verwirrung will ich vielleicht doch noch komplett beseitigen. Diese Periodiziztät kann es nicht geben. Ich mach' Dir das auch mal an einem Beispiel klar:
Und zwar ist [mm] $0.04=0.03\overline{9}\,.$ [/mm] Aber die letzte Darstellung spiegelt nicht die gesuchte Dezimalbruchdarstellung wider, weil sie (ii) nicht erfüllt.
Warum? Nun ja:
Dort wäre [mm] $a_0=0\,,$ $a_1=0\,,$ $a_2=3$ [/mm] und [mm] $a_3=9\,.$ [/mm] (Wir hören sozusagen etwa bei der ersten 9 auf, wo die Periode beginnen würde. Wichtig ist eigentlich nur, dass wir eine Stelle rausgreifen, wo eine 9 der "periodischen 9en" auftaucht.) Wegen (ii) sollte daher
$$0 [mm] \le [/mm] 0.04-0.039 < [mm] 1/10^3=1/1000$$
[/mm]
sein. Es ist aber
$$0.04-0.039=0.001=1/1000$$
und $1/1000 [mm] \not [/mm] < [mm] 1/1000\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Während im Heuser sozusagen Dezimalbrüche niemals abbrechen können (er schreibt sowas sozusagen immer mittels Periode 9), ist es bei Dir oben umgekehrt:Dieses "Periode 9" kann es in Deiner Folge nicht geben.
Kurz nochmal am Bsp. erklärt: Heuser konstruiert die Folge [mm] $(a_n(0.04))_n$ [/mm] mittels der Darstellung [mm] $0.04=0.03\overline{9}=0.039999\ldots\,,$ [/mm] ihr bevorzugt es, [mm] $(a_n(0.4))_n$ [/mm] in der Darstellung [mm] $0.0400000\ldots$ [/mm] zu schreiben.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
erst einmal vielen Dank für die Mühe die du dir machst!
.. und wow, das Beispiel zu Eindeutigkeit ist wirklich einleuchtend.
Ich habe mir bereits angeschaut wie es mit einem x (sowas wie 1,45875) aussieht.
Zur Bed. (i) Das man immer in der Menge {0, 1, ...,9} landet ist offensichtlich, spätestens, wenn man die Folge konstruiert.
Und Bed. (ii) ist erfüllt, weil [mm] \bruch{1}{10^{n}} [/mm] immer eine Null weniger hinter dem Komma hat als "x - Summe bla".
Das es unter diesen 2 Bedingungen nur diese eine Darstellung gibt leuchtet nach deinem Beispiel ein.
Die Beweisführung ist mir jedoch trotz deiner Mühe und dem Bsp. nicht einleuchtend. Ich habe wirklich selten so eine Denkblockade gehabt..
Naja um das Bsp. iwie zu verallgemeinern würde mir nur folgendes einfallen:
Die Aufg. lautet ja "zeige..", was mich dazu verleiten würde das ganze sehr anschaulich zu halten, zu guter letzt, weil ich es auch nicht besser weiß. Wäre es ausreichend einfach mit einem x := [mm] a_0, a_1 a_2... a_n... [/mm] anfangen? Ich brauche ja iwie eine Darstellung für x und die im Tipp mit der unendlichen Reihe, darf ich ja nicht einfach benutzen. Für dieses dann z.z., dass Bed (i) erfüllt wird: Die ersten paar Glieder durch einsetzen und den Rest vllt mit Induktion.
Anschliessend (ii).. das würde ich dann auch analog zu dem Zahlenbeispiel machen, müsste funktionieren.
Und um zu zeigen, dass es nicht noch eine andere Folge gibt: da fällt mir nichts anderes dazu ein, als wie in deinem Bsp. vorzugehen. Um also z.z. das diese Periodenschreibweise nicht die Bedingungen erfüllt.
D.h. [mm] a_0, a_1 a_2... a_n.. [/mm] = [mm] a_0, a_1 a_2...b_{n-1} [/mm] (Periode) s.d. gilt: [mm] \neg \exists [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] s.d. [mm] a_n [/mm] < x < [mm] b_{n - 1}.
[/mm]
Dann die (ii) zum Widerspruch führen indem man die Differenz bildet.
Ich denke ich habe generell ein Problem etwas zu zeigen, das so offensichtlich ist. (Die Eindeutigkeit sei mal außen vor gelassen)
Grüße, kullinarisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> erst einmal vielen Dank für die Mühe die du dir machst!
>
> .. und wow, das Beispiel zu Eindeutigkeit ist wirklich
> einleuchtend.
>
> Ich habe mir bereits angeschaut wie es mit einem x (sowas
> wie 1,45875) aussieht.
> Zur Bed. (i) Das man immer in der Menge {0, 1, ...,9}
> landet ist offensichtlich, spätestens, wenn man die Folge
> konstruiert.
ich drücke das, was Du sagen willst, mal sauberer aus: Mit der angegebenen "Konstruktionsvorschrift" ist klar, dass man so jedenfalls EINE Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konstruiert, die schonmal die Bedingung(en aus) (i) erfüllt. Das liegt hier im Wesentlichen eigentlich an der Definition der Gaußklammer.
> Und Bed. (ii) ist erfüllt, weil [mm]\bruch{1}{10^{n}}[/mm] immer
> eine Null weniger hinter dem Komma hat als "x - Summe bla".
So gesehen schon. Verzwickt ist nur, dass man "bei dieser so einleuchtenden Argumentation" schon die Dezimalbruchentwicklung eigentlich benutzt - man kann also nicht direkt damit argumentieren. Wie habt ihr denn [mm] $\IR$ [/mm] konstruiert? Als Dedekindsche Schnitte, anhand des Vollständigkeitsaxiom oder als Vervollständigung von [mm] $\IQ$ [/mm] oder irgendwas in der Art, vermute ich. Bei einem sauberen Beweis musst Du das $x [mm] \in \IR$ [/mm] natürlich entsprechend "verstehen" - z.B. als Grenzwert einer (Cauchy-)Folge mit Werten in [mm] $\IQ\,.$ [/mm] Erst dann wird Dein Beweis auch sauber werden können.
> Das es unter diesen 2 Bedingungen nur diese eine
> Darstellung gibt leuchtet nach deinem Beispiel ein.
>
> Die Beweisführung ist mir jedoch trotz deiner Mühe und
> dem Bsp. nicht einleuchtend. Ich habe wirklich selten so
> eine Denkblockade gehabt..
Das kann auch, wie gesagt, an Eurer Definition von [mm] $\IR$ [/mm] liegen. Man kann - wenn man ein wenig in den Heuser guckt - da auch mit dem Intervallschachtelungsprinzip arbeiten.
> Naja um das Bsp. iwie zu verallgemeinern würde mir nur
> folgendes einfallen:
>
> Die Aufg. lautet ja "zeige..", was mich dazu verleiten
> würde das ganze sehr anschaulich zu halten, zu guter
> letzt, weil ich es auch nicht besser weiß.
Naja, das Wort "zeige" steht da nur, weil man nicht bei jeder Aufgabe die gleiche Formulierung "beweise" stehen haben will.
> Wäre es
> ausreichend einfach mit einem x := [mm]a_0, a_1 a_2... a_n...[/mm]
> anfangen?
S.o.. Eigentlich ist es eher der Sinn der Aufgabe, dass man (unter gegebenen Voraussetzungen an die [mm] $a_n$) [/mm] diese "eindeutige Dezimalbruchentwicklung" begründet. Also dass man das, was man schon seit Schulzeiten gemacht hat, auch machen durfte (wobei im Gegensatz zur Schule hier "strenger" auf die Eigenschaften der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eingegangen wurde.) Das kann man natürlich nur, wenn man [mm] $\IR$ [/mm] auf irgendeine Art "streng mathematisch definiert" hat. Wenn man [mm] $\IR$ [/mm] gerade irgendwie so einführt (also als Menge von "Dezimalbruchentwicklungen" - wobei das wegen der letzten Bezeichnung schon eine schlechte Definition wäre - aber Du weißt, denke ich, was ich meine), dann hätte man da nun wenig zu tun. Daher gehe ich davon aus, dass Du [mm] $\IR$ [/mm] "anders kennengelernt" hast - z.B. als Vervollständigung von [mm] $\IQ\,.$ [/mm] Oder vielleicht ist wenigstens bekannt, dass [mm] $\IR$ [/mm] die Vervollständigung von [mm] $\IQ$ [/mm] ist. [mm] ("$\IQ$ [/mm] liegt dicht in [mm] $\IR\,.$")
[/mm]
> Ich brauche ja iwie eine Darstellung für x und
> die im Tipp mit der unendlichen Reihe, darf ich ja nicht
> einfach benutzen. Für dieses dann z.z., dass Bed (i)
> erfüllt wird: Die ersten paar Glieder durch einsetzen und
> den Rest vllt mit Induktion.
Du wirst sicher nachweisen können, dass Bedingung (i) für die Folge, die so wie oben konstruiert wird, erfüllt ist. Das ist wegen der Verwendung der Gaußklammer wirklich etwas, was offensichtlich ist. Bei der Abschätzung aus (ii) brauchst Du irgendwas, wie Du $x [mm] \in \IR$ [/mm] beschreibst:
Z.B. "Sei [mm] $(q_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $q_n \to [/mm] x [mm] \in \IR\,.$" [/mm] oder sowas...
Heuser macht das z.B. mit dem Intervallschachtelungsprinzip.
> Anschliessend (ii).. das würde ich dann auch analog zu dem
> Zahlenbeispiel machen, müsste funktionieren.
>
> Und um zu zeigen, dass es nicht noch eine andere Folge
> gibt: da fällt mir nichts anderes dazu ein, als wie in
> deinem Bsp. vorzugehen. Um also z.z. das diese
> Periodenschreibweise nicht die Bedingungen erfüllt.
Also Du meinst zur Eindeutigkeit: Es wäre schlecht, zu sagen, dass nur die "Periode 9-Schreibweise" die Eindeutigkeit der Folge zerstören könnte. Das ist zwar eigentlich wirklich so, aber das kann man erstmal gar nicht so leicht begründen. Nur ist es natürlich naheliegend, wenn man das mal so in der Schule gelernt hat, mal zu prüfen, warum hier die "Periode 9-Schreibweise" durch irgendwelche Bedingungen entweder nicht erlaubt ist (das kann man ruhig dann dazuschreiben) oder warum nur sie erlaubt ist (im Heuser ist's, wie gesagt, eben genau so, dass dort [mm] $0.3000000000\ldots$ [/mm] z.B. nicht erlaubt wäre, sondern als [mm] $0.2\overline{9}$ [/mm] geschrieben werden würde.)
> D.h. [mm]a_0, a_1 a_2... a_n..[/mm] = [mm]a_0, a_1 a_2...b_{n-1}[/mm]
> (Periode) s.d. gilt: [mm]\neg \exists[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] s.d. [mm]a_n[/mm] < x <
> [mm]b_{n - 1}.[/mm]
>
> Dann die (ii) zum Widerspruch führen indem man die
> Differenz bildet.
>
> Ich denke ich habe generell ein Problem etwas zu zeigen,
> das so offensichtlich ist. (Die Eindeutigkeit sei mal
> außen vor gelassen)
Es ging mir darum, dass Du Dir erstmal klar wirst, was Du zeigen sollst und dass Du erkennst, wie "selbstverständlich" Du derartiges schon seit langem benutzt. Ganz "trivial" ist der Beweis dazu auch nicht wirklich - aber die Aussage ist "etwas, was alltäglich im Gebrauch ist". Und wärst Du ein Schüler, so würde ich es durchaus erlauben, dass Du
[mm] $$x=a_0+\sum_{k=1}^\infty a_k *10^{-k}$$
[/mm]
einfach annimmst und so vorgehst, wie Du es oben angedeutet hast. (Das ist im Prinzip das gleiche wie Deine anschaulische Notation [mm] $a_0,a_1a_2\ldots\,.$)
[/mm]
Aber eigentlich sollst Du hier genau das zeigen, dass sich jede reelle Zahl "so" darstellen läßt, wobei die [mm] $a_n$ [/mm] mit den Forderungen aus (i) und (ii) dann eindeutig bestimmt sind. Dazu musst Du erstmal nachschlagen, wie ihr nun genau [mm] $\IR$ [/mm] eingeführt habt bzw. welche (weiteren) Charakterisierungen ihr von [mm] $\IR$ [/mm] habt.
Heuser (schau bitte unbedingt demnächst mal in das Buch rein, das sollte in jeder Bibliothek einer Uni stehen, die Mathe auf dem Programm hat) geht so vor, dass er das Intervallschachtelungsprinzip verwendet. Wenn DU das schon kennst, versuch' mal, zu schauen, wie man es "bei der Konstruktionsvorschrift mit der Gaußklammer" verwenden könnte. Dann schau' rein, was Heuser an die [mm] $a_n$ [/mm] fordert und was ihr fordert und was das für einen Unterschied macht. Dann wirst Du sehen, dass da im Endeffekt im wesentlichen anstelle eines [mm] $\le$ [/mm] ein [mm] $<\,$ [/mm] und umgekehrt steht. Das führt dazu, dass "die Dezimalbruchdarstellung bei Euch eben "abbrechen" kann", während es beim Heuser niemals so sein kann, dass ab einer Stelle nur noch 0en auftauchen, sondern da können dann unendlich viele 9en aufeinander folgen.
Noch kurz zur Eindeutigkeit: Zwei Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] (aus einer gemeinsamen Menge [mm] $M\,$) [/mm] sind genau dann gleich, wenn sie an allen Stellen übereinstimmen, also [mm] $a_n=b_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Du hast also quasi zu zeigen: Wir nehmen an, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzgl. eines $x [mm] \in \IR$ [/mm] nach der Konstruktionsvorschrift konstruiert sei (und hast hoffentlich dann gezeigt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] dann sowohl (i) als auch (ii) erfüllt.) Nimm' nun an, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] eine weitere Folge sei, die die beiden Bedingungen (i) und (ii) erfüllt [mm] ($(b_n)_n$ [/mm] steht wegen (ii) dann auch in einem Bezug zu [mm] $x\,.$) [/mm] Dann nimm' an, es gäbe ein [mm] $k\,$ [/mm] mit [mm] $a_k \not=b_k$ [/mm] und zeige dann, dass daraus irgendein Widerspruch folgt.
Wie gesagt: Ich mag' es nicht, Sachen abzuschreiben, und um das alles nun selbst sauber zu formulieren bin ich ein wenig zu faul. Aber wenn Du Dir mal das ganze im Heuser anguckst - und wenn ihr bestenfalls sogar das Intervallschachtelungsprinzip benutzen dürft - und das verstehst, musst Du das ganze nur auf Deine Aufgabe übertragen. An manchen Stellen musst Du, wie gesagt, ein klein wenig aufpassen. Aber im wesentlichen ist das echt vollkommen analog. Das ist auch gut, dass es nicht identisch ist, denn Du sollst das ganze ja verstehen und nicht auswendig lernen 
Gruß,
Marcel
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Hallo,
das sind ja einige Ideen... Da merke ich wie beschränkt ich eigentlich gedacht habe.
Wir hatten [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] bewiesen, Intervallschachtelung, Cauchyfolgen, Vollständigkeitsaxiom Beschränktheit usw. Daran habe ich nicht gedacht.
Und das Heuser Buch muss ich mir wohl wirklich mal besorgen oder ausleihen. Naja mal schauen ob ich Die Aufg. noch bis morgen Vormittag hinbekomme -> Abgabe. Wenn die neuen Arbeitsblätter kommen hat man nämlich meist keine Zeit mehr für die Aufgaben die man nicht geschafft hat, wirklich schade.
Grüße und nochmals Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Di 06.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> das sind ja einige Ideen... Da merke ich wie beschränkt
> ich eigentlich gedacht habe.
> Wir hatten [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] bewiesen,
> Intervallschachtelung, Cauchyfolgen, Vollständigkeitsaxiom
> Beschränktheit usw. Daran habe ich nicht gedacht.
> Und das Heuser Buch muss ich mir wohl wirklich mal
> besorgen oder ausleihen. Naja mal schauen ob ich Die Aufg.
> noch bis morgen Vormittag hinbekomme -> Abgabe. Wenn die
> neuen Arbeitsblätter kommen hat man nämlich meist keine
> Zeit mehr für die Aufgaben die man nicht geschafft hat,
> wirklich schade.
das Buch bitte erstmal nur ausleihen - das ist "ein dicker Schinken" und es ist ein wenig Geschmackssache, ob man damit arbeiten kann.
Schlimmstenfalls löse die Aufgabe so, wie es ein Schüler tun würde, d.h. Du gehst davon aus
[mm] $$x=a_0+\sum_{k=1}^\infty a_k *10^{-k}\,.$$
[/mm]
Ist zwar unschön (weil man sich da eigentlich im Kreise dreht: man benutzt das, was man eigentlich zeigen soll), aber es zeigt immerhin, dass man sich mit der Aufgabe beschäftigt hat und sollte so 1 bis 2 von 4 Punkten vielleicht bringen. Jedenfalls bei einem "netten" Korrekteur. Aber wie gesagt: Ein wirklicher Beweis ist das nicht. Da braucht's schon "handfeste" Argumente, etwa die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Oder wie's Heuser macht: Intervallschachtelungsprinzip. Das ist ja der eigentliche "Kniff" an solchen Aufgaben, wenn man zeigen soll, dass das, was man schon seit Ewigkeiten macht, aus diesem "streng mathematisch" eingeführten Begriffen folgt. Anders gesagt: Dass die Theorie zu unseren "Erfahrungen" passt.
Gruß,
Marcel
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Ich merke schon, die Schule hat einen bleibenden Schaden bei mir hinterlassen :D Scherz beiseite, ich denke es wird auch noch etwas dauern bis man diese schulische Denkweise abgelegt hat. Das ich das dringend tun muss ist mir schon aufgefallen als ich ab = 0 [mm] \gdw [/mm] a = 0 v b = 0 zeigen musste.
Grüße, kullinarisch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich merke schon, die Schule hat einen bleibenden Schaden
> bei mir hinterlassen :D Scherz beiseite, ich denke es wird
> auch noch etwas dauern bis man diese schulische Denkweise
> abgelegt hat. Das ich das dringend tun muss ist mir schon
> aufgefallen als ich ab = 0 [mm]\gdw[/mm] a = 0 v b = 0 zeigen
> musste.
ja, das ist schon eine Umstellung - weil man in der Schule oft "mit Selbstverständlichkeiten" argumentiert, obwohl man sich da noch nicht darum gekümmert hatte, zu zeigen, dass das, was man als so selbstverständlich hingenommen hat, überhaupt selbstverständlich ist. Obiges ($ab=0 [mm] \gdw [/mm] a=0 [mm] \text{ oder }b=0$) [/mm] gilt z.B. in jedem Körper und folgt direkt aus den Axiomem eines Körpers - und der Beweis geht eigentlich genau so, wie man es "von den reellen Zahlen her machen würde". Und das finde ich z.B. gut beim Heuser: Er baut sein Buch auch so auf. D.h. er zeigt immer, wie das, was man nun axiomatisch herleitet, mit dem im Zusammenhang steht, "was man schon seit jeher macht" - oder er motiviert die Theorie und zeigt Zusammenhänge auf. Auch verweist er z.B. manchmal auf die Physik etc..
Das einzige "Manko" ist halt: Das Buch ist wirklich dick ^^
Aber mach' Dir auch keine Sorgen: Du scheinst mir motiviert und von daher wirst Du "den schulischen Schaden" ( ) hinter Dir gelassen haben und Dir die "Denkweise der universitären Mathematik" aneignen. 
Gruß,
Marcel
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Manko hin oder her :-P ich habs mir jetzt doch bestellt. Nicht zu guter letzt, weil mein Professor diese Buch u.a. ebenfalls empfiehlt.
Grüße, kullinarisch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Do 08.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
nur, um auf deine Frage zur Notation einzugehen:
Die Befehle in LaTeX sind
\lfloor{x}\rfloor für [mm]\lfloor{x}\rfloor[/mm]
und entsprechend \lceil{x}\rceil für [mm]\lceil{x}\rceil[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere
> Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
Ja: [mm] $\red{\lfloor \quad \rfloor \quad \lceil \quad \rceil}$ [/mm] (drauf klicken !)
Für solche Fragen zu TeX - Zeichen gibt es übrigens
eine ganz tolle Seite: ![[]](/images/popup.gif) deTeXify
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere
> > Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
>
> Ja: [mm]\red{\lfloor \quad \rfloor \quad \lceil \quad \rceil}[/mm]
> (drauf klicken !)
und noch ein wenig unabhängig von Latex: Ich kenne es so, dass man (oft) sogar
[mm] $$[\cdot]$$
[/mm]
im Sinne von
[mm] $$\lfloor \cdot \rfloor$$
[/mm]
benutzt:
[mm] $$[x]:=\max\{z \in \IZ \text{ mit }z \le x\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> > > nebenbei: Gibt es die Möglichkeit untere/obere
> > > Gaußklammern mit dem Formeleditor zu darzustellen?
> >
> > Ja: [mm]\red{\lfloor \quad \rfloor \quad \lceil \quad \rceil}[/mm] (drauf klicken !)
>
> und noch ein wenig unabhängig von Latex: Ich kenne es so,
> dass man (oft) sogar
> [mm][\cdot][/mm]
> im Sinne von
> [mm]\lfloor \cdot \rfloor[/mm]
> benutzt:
> [mm][x]:=\max\{z \in \IZ \text{ mit }z \le x\}\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Klar. Falls Gauß selbst solche Klammern eingeführt hat, waren
es bestimmt einfach die normalen [eckigen ] Klammern.
Das habe ich auch so kennengelernt.
Die Schreibweisen mit den [mm] \lfloor floor\rfloor [/mm] und [mm] \lceil ceiling\rceil [/mm] Klammern sind eine
neuere, aber sehr praktische, weil eingängige Erfindung.
(Kenneth Iverson, 1962)
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Klar. Falls Gauß selbst solche Klammern eingeführt hat,
> waren
> es bestimmt einfach die normalen [eckigen ] Klammern.
> Das habe ich auch so kennengelernt.
> Die Schreibweisen mit den [mm]\lfloor floor\rfloor[/mm] und [mm]\lceil ceiling\rceil[/mm]
> Klammern sind eine
> neuere, aber sehr praktische, weil eingängige Erfindung.
> (Kenneth Iverson, 1962)
ich finde sie auch sehr praktisch - und meines Erachtens sieht man gerade in der Informatik, wie praktisch diese Vereinbarungen sind. Man benutzt die eine "zum Aufrunden" und die andere zum Abrunden.
Auch, wenn man natürlich das Aufrunden als Abrunden der um 1 vergrößerten Zahl beschreiben kann... Aber die Symbolik ist sehr intuitiv, und daher echt 'ne sinnvolle Definition.
Viele Grüße,
Marcel
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