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| Aufgabe | f: D [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel{x^{2}-9}
[/mm]
Für welche [mm] y\in\IR [/mm] ist die Gleichung y=f(x) lösbar bzw. eindeutig lösbar? |
Hallo, ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe, und wollte Fragen ob mir einer von euch vielleicht weiterhelfen kann.
Ich weiß nicht genau was gemeint ist.
y kann ja Werte von [mm] ]-\infty,\infty[ [/mm] annehmen,
allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich das mathematisch zeigen soll, ich kann ja nicht verschiedne x-Werte [mm] (]-\infty,-3]\cup[3,\infty[) [/mm] einsetzen und das so zeigen, oder muss man das genau so machen?
Und des weiteren weiß ich nicht genau, was mit eindeutig gemeint ist.
Der einzige Wert, der sich "nur" einmal ergibt ist ja die 0, also für ein x=-3 ...
ist das mit eindeutig gemeint? Und falls ja wie muss ich das dann zeigen?
Wenn mir da jemand helfen könnte, wie man das mathematisch zeigt, wäre ich euch sehr dankbar.
Liebe Grüße
Nicky-011
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 30.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du verwechselst etwas: [mm] x^2=4, x=\pm [/mm] 2
aber [mm] \sqrt(2)>0 [/mm] sonst wäre f(x) auch keine Funktion!
solltest du nicht erst D bestimmen?
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 30.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> f: D [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]f(x)=\wurzel{x^{2}-9}[/mm]
>
> Für welche [mm]y\in\IR[/mm] ist die Gleichung y=f(x) lösbar bzw.
> eindeutig lösbar?
> Hallo, ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe, und
> wollte Fragen ob mir einer von euch vielleicht weiterhelfen
> kann.
>
> Ich weiß nicht genau was gemeint ist.
Es ist ein y gegeben. Dann wird die Gleichung y = f(x) betrachtet. Gibt es ein oder mehrere x, die die Gleichung lösen?
> y kann ja Werte von [mm]]-\infty,\infty[[/mm] annehmen,
Nein. Probiere aus, für welche y aus -5, 0, 5 es Werte für x gibt.
> allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich das mathematisch
> zeigen soll, ich kann ja nicht verschiedne x-Werte
> [mm](]-\infty,-3]\cup[3,\infty[)[/mm] einsetzen und das so zeigen,
> oder muss man das genau so machen?
Es geht so nicht. Das ist allerdings ein Weg, sich mit dem Problem vertraut zu machen.
>
> Und des weiteren weiß ich nicht genau, was mit eindeutig
> gemeint ist.
> Der einzige Wert, der sich "nur" einmal ergibt ist ja die
> 0, also für ein x=-3 ...
> ist das mit eindeutig gemeint? Und falls ja wie muss ich
> das dann zeigen?
Eindeutig heißt: für welches y gibt es dann genau ein x? Für y = 0 gilt das nicht, neben x=-3 gibt es noch eine zweite Lösung.
>
> Wenn mir da jemand helfen könnte, wie man das mathematisch
> zeigt, wäre ich euch sehr dankbar.
Fang mit einer Beispielrechnung an. Nimm nicht gerade y=0. Probier es mal mit y = 4. Dann schreib die Gleichung hin und beginne mit Umformungen. Dabei musst Du immer aufpassen, ob es eine Äquivalenzumformung ist oder nicht.
Danach mach das Entsprechende für ein beliebiges y.
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>Fang mit einer Beispielrechnung an. Nimm nicht gerade y=0.
>Probier es mal mit y = 4. Dann schreib die Gleichung hin und beginne mit Umformungen.
>Dabei musst Du immer aufpassen, ob es eine Äquivalenzumformung ist oder nicht.
>Danach mach das Entsprechende für ein beliebiges y.
Meinst du jetzt das :
[mm] 4=\wurzel{x^2-9} [/mm]
[mm] 4^2=x^2-9
[/mm]
[mm] 25=x^2
[/mm]
[mm] x=\pm [/mm] 5 .... oder hab ich da jetzt was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Fr 31.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> >Fang mit einer Beispielrechnung an. Nimm nicht gerade y=0.
> >Probier es mal mit y = 4. Dann schreib die Gleichung hin
> und beginne mit Umformungen.
> >Dabei musst Du immer aufpassen, ob es eine
> Äquivalenzumformung ist oder nicht.
> >Danach mach das Entsprechende für ein beliebiges y.
>
>
> Meinst du jetzt das :
> [mm]4=\wurzel{x^2-9}[/mm]
> [mm]4^2=x^2-9[/mm]
> [mm]25=x^2[/mm]
> [mm]x=\pm[/mm] 5 .... oder hab ich da jetzt was falsch
> verstanden?
Du hast es richtig verstanden.
FRED
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Das zeigt mir doch dass für einen y-Wert 2 mögliche x-Werte gibt.
Aber wie kann ich damit die mir gegebene Aufgabenstellung beantworten?
In etwa so?
Für ein beliebiges y [mm] \in \IR^{+} [/mm] gibt es 2 mögliche [mm] x\in\IR [/mm] .... ??
Und wie komme ich auf eine eindeutige Lösung, bzw wie kann ich die berechnen?
Denn egal welchen Wert ich für y [mm] \in\IR^{+} [/mm] nehme und das nach x umstelle, ich erhalte immer ein [mm] \pm [/mm] x ... oder heißt das, dass es keine eindeutige Lösung gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Fr 31.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das zeigt mir doch dass für einen y-Wert 2 mögliche
> x-Werte gibt.
> Aber wie kann ich damit die mir gegebene Aufgabenstellung
> beantworten?
>
> In etwa so?
> Für ein beliebiges y [mm]\in \IR^{+}[/mm] gibt es 2 mögliche
> [mm]x\in\IR[/mm] .... ??
> Und wie komme ich auf eine eindeutige Lösung, bzw wie
> kann ich die berechnen?
> Denn egal welchen Wert ich für y [mm]\in\IR^{+}[/mm] nehme und
> das nach x umstelle, ich erhalte immer ein [mm]\pm[/mm] x ... oder
> heißt das, dass es keine eindeutige Lösung gibt?
Sei y [mm] \ge [/mm] 0. Dann:
$y=f(x) [mm] \gdw y^2=x^2-9 \gdw x^2=9+y^2 \gdw [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{9+y^2}$
[/mm]
Das bedeutet: ist y [mm] \ge [/mm] 0, so hat die Gleichung y=f(x) zwei Lösungen. Die Gleichung ist also nicht eindeutig lösbar.
So, nun überlege Dir, dass im Falle y<0 die Gl. y=f(x) keine Lösung hat.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Das zeigt mir doch dass für einen y-Wert 2 mögliche
> > x-Werte gibt.
> > Aber wie kann ich damit die mir gegebene
> Aufgabenstellung
> > beantworten?
> >
> > In etwa so?
> > Für ein beliebiges y [mm]\in \IR^{+}[/mm] gibt es 2 mögliche
> > [mm]x\in\IR[/mm] .... ??
> > Und wie komme ich auf eine eindeutige Lösung, bzw wie
> > kann ich die berechnen?
> > Denn egal welchen Wert ich für y [mm]\in\IR^{+}[/mm] nehme und
> > das nach x umstelle, ich erhalte immer ein [mm]\pm[/mm] x ... oder
> > heißt das, dass es keine eindeutige Lösung gibt?
>
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> Sei y [mm]\ge[/mm] 0. Dann:
>
> [mm]y=f(x) \gdw y^2=x^2-9 \gdw x^2=9+y^2 \gdw x= \pm \wurzel{9+y^2}[/mm]
wenngleich sie nicht falsch ist, würde ich letzte Rechnung gerne ein wenig
modifizieren zu:
Für (alle) $y [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
$y=f(x)$ [mm] $\iff$ $x^2=9+y^2$ $\iff$ $x^2-(9+y^2)=0$ $\iff$ $(x+\sqrt{9+y^2})*(x-\sqrt{9+y^2})=0\,.$
[/mm]
Das zeigt nochmal, wieso man für $p [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $x^2=p$ $\iff$ $x=\pm \sqrt{p}$
[/mm]
hat. (Oben ist [mm] $p=p(y)=9+y^2\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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